Esercizi: Funzione razionale

Calcola il dominio della funzione razionale $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.

Determina le coordinate dei punti di intersezione con gli assi cartesiani della funzione $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.

Determina le equazioni degli asintoti verticali e orizzontali della funzione $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.

Studia il segno della funzione razionale $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando chiaramente gli intervalli della retta reale in cui la funzione assume valori positivi e in cui assume valori negativi.

Trova il valore di $x$ per cui la funzione $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ assume esattamente il valore $f(x) = 5$.

Data la funzione $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, spiega quali trasformazioni geometriche elementari (traslazioni orizzontali e verticali) sono state applicate al grafico dell'iperbole di base $y = \frac{1}{x}$ per ottenerla.

Verifica analiticamente se la funzione $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ è pari, dispari o non presenta simmetria rispetto agli assi coordinati.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.

Elena afferma in classe quanto segue: «Per la funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$, poiché i valori che annullano il denominatore sono $x = 3$ e $x = -2$, il grafico ha necessariamente due asintoti verticali: le rette $x = 3$ e $x = -2$». a) Individua l'errore concettuale commesso da Elena e spiega dettagliatamente perché l'annullamento del denominatore non basta da solo ad assicurare un asintoto verticale. b) Correggi la sua analisi determinando che cosa accade veramente in $x = 3$ e in $x = -2$ (distinguendo tra asintoto verticale e discontinuità eliminabile con punto vuoto). c) Scrivi le equazioni di tutti gli asintoti (verticali e orizzontali) che la funzione possiede realmente.

Una funzione di proporzionalità inversa traslata ha la forma canonica $f(x) = \frac{k}{x - h} + v$, con $k \neq 0$. a) Determina i valori dei parametri $h$, $v$ e $k$ affinché la funzione abbia come asintoti le rette $x = -2$ e $y = 3$ e il suo grafico intersechi l'asse delle ordinate nel punto $(0, 1)$. b) A partire dall'espressione ottenuta, indica le coordinate del suo centro di simmetria e calcola il punto esatto di intersezione con l'asse delle ascisse ($y = 0$). c) Giustifica con una tabella dei segni il segno assunto dalla funzione nei tre intervalli delimitati dal suo asintoto verticale e dalla sua radice.

Il costo medio di produzione (in euro) di $x$ unità di un componente elettronico è dato dalla funzione $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcola il costo medio di fabbricazione di 100 unità e determina il valore a cui tende il costo medio se la produzione diventa infinitamente grande, interpretando il risultato nel contesto del problema.

Determina l'equazione dell'asintoto obliquo della funzione razionale $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.

Un serbatoio contiene inizialmente 500 litri di acqua pura. Si inizia a pompare una soluzione salina con una concentrazione di 40 g/L a una velocità di 10 L/min. La concentrazione di sale nel serbatoio dopo $t$ minuti è data dalla funzione $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. In quale istante la concentrazione sarà esattamente di 25 g/L? Qual è l'equazione dell'asintoto orizzontale di questa funzione e che significato fisico ha?

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ abbia un asintoto verticale in $x = 2$ e un asintoto orizzontale in $y = \frac{5}{3}$.

Due operai lavorano insieme per dipingere un muro. L'operaio più giovane impiegherebbe $x$ ore a farlo da solo, mentre l'operaio più anziano impiegherebbe $x+3$ ore. Il tempo totale $T(x)$ che impiegano lavorando contemporaneamente è dato dalla funzione $T(x) = \frac{x(x+3)}{2x+3}$. Se lavorando insieme riescono a terminare il lavoro in esattamente 2 ore, quanto tempo avrebbe impiegato l'operaio giovane a dipingere il muro da solo?

Determina il dominio, le intersezioni con gli assi coordinati e le equazioni di tutti gli asintoti della funzione razionale $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.

Calcola l'espressione analitica della funzione inversa di $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ e specifica qual è il dominio di questa nuova funzione $f^{-1}(x)$.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina il suo dominio, i suoi asintoti (verticali, orizzontali od obliqui) e studia la posizione della curva rispetto al suo asintoto obliquo quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Considera la funzione razionale $f(x) = \frac{6x - 5}{2x + 4}$. a) Stima senza calcolare: per valori di $x$ estremamente grandi in valore assoluto (come $x = 1\,000\,000$ o $x = -1\,000\,000$), a quale valore intero si avvicinerà $f(x)$? Motiva la tua previsione analizzando il peso relativo dei termini del numeratore e del denominatore. b) Stima il segno laterale: senza fare divisioni complesse, deduci soltanto il segno del numeratore e del denominatore per un valore leggermente maggiore di $-2$ (per esempio $x = -1,99$) e per uno leggermente minore (per esempio $x = -2,01$). Verso $+\infty$ o verso $-\infty$ tenderà la funzione da ciascun lato? c) Verifica formalmente: calcola in modo rigoroso l'asintoto orizzontale e l'asintoto verticale mediante i limiti corrispondenti: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -2^+} f(x)$ e $\lim_{x \to -2^-} f(x)$. Valuta se le tue stime intuitive precedenti erano corrette.

Un treno merci effettua il percorso di andata e ritorno tra Torino e il porto di Genova (distanza per senso: $300\text{ km}$). Nel viaggio di andata viaggia a una velocità media costante $v$ (in $\text{km/h}$). Nel viaggio di ritorno, a causa di restrizioni di carico dell'infrastruttura ferroviaria, è costretto a ridurre la sua velocità media di $20\text{ km/h}$ rispetto a quella di andata. a) Imposta e semplifica in un'unica frazione algebrica la funzione $T(v)$ che esprime il tempo totale impiegato nel viaggio completo (andata e ritorno) in funzione di $v$. b) Determina il dominio matematicamente ammissibile di $T(v)$ e confrontalo con il dominio che ha senso fisico reale in questo percorso. c) Modella la velocità media globale del viaggio completo, definita come $V_m(v) = \frac{600}{T(v)}$, ottenendo una funzione razionale semplificata. d) Analizza e interpreta nel contesto reale del viaggio il comportamento asintotico: che cosa accade al tempo totale se $v \to +\infty$ e che cosa accade se la velocità di andata si avvicina a $20\text{ km/h}$?

Trova i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ della funzione razionale $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sapendo che ha un asintoto obliquo di equazione $y = 2x+1$ e che il suo grafico passa per il punto di coordinate $(4, 15)$.

Analizza in dettaglio la funzione razionale $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina il suo dominio, semplifica l'espressione algebrica indicando per quali valori la semplificazione è valida, trova le equazioni dei suoi asintoti e spiega quale fenomeno grafico si verifica esattamente nel punto di ascissa $x = 2$.

Discuti, in funzione del parametro reale $k$, l'esistenza di asintoti verticali per la funzione $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina l'intervallo dei valori di $k$ per i quali la funzione non ha alcun asintoto verticale.

A partire dal seguente grafico di una funzione razionale, determina il suo dominio, le equazioni dei suoi asintoti (verticali e orizzontali) e le intersezioni con gli assi. Quindi proponi un'espressione algebrica del tipo $f(x) = \frac{ax^2}{x^2+b}$ che si adatti perfettamente a tutte queste caratteristiche visive.

La concentrazione $C(t)$ di un farmaco nel flusso sanguigno $t$ ore dopo la sua somministrazione intramuscolare è data dall'espressione $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (misurata in mg/L). Senza usare strumenti di derivazione, dimostra in modo puramente algebrico che la concentrazione massima non può mai superare i $5$ mg/L e determina in quale istante esatto $t$ viene raggiunta tale concentrazione massima. (Suggerimento: imposta l'uguaglianza $C = \frac{30t}{t^2+9}$ come equazione di secondo grado nella variabile $t$ e analizza la condizione che il suo discriminante deve soddisfare affinché il tempo sia un numero reale).

Sia data la funzione razionale $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Dimostra analiticamente che la funzione composta $(f \circ f)(x) = x$ per ogni valore di $x$ appartenente al suo dominio. Quale conclusione geometrica sul grafico di $f(x)$ puoi trarre da questo risultato in relazione alla bisettrice $y = x$?

Determina i valori del parametro reale $m$ per i quali la retta di equazione $y = mx$ interseca la curva razionale $y = \frac{1}{x-2}$ in esattamente un unico punto. Interpreta geometricamente che cosa rappresentano queste rette specifiche per la curva.

La popolazione di una specie di pesce in un lago protetto segue un modello di crescita dato dalla funzione $P(t) = \frac{2000t^2+500}{t^2+1}$, dove $t \ge 0$ è misurato in anni dall'inizio dello studio. Determina la popolazione iniziale, la popolazione a lunghissimo termine (limite per $t \to +\infty$) e dimostra algebricamente che la popolazione è sempre crescente al passare del tempo. (Suggerimento: prova a esprimere la frazione nella forma $A - \frac{B}{t^2+1}$ eseguendo la divisione tra polinomi).

Si vuole calcolare l'asintoto obliquo $y = mx + n$ della funzione razionale $f(x) = \frac{2x^3 - x^2 + 4}{x^2 + 2}$ e determinare se la curva si trova sopra o sotto tale asintoto in $+\infty$ e in $-\infty$. Si propongono due procedimenti: Metodo A (limiti analitici), calcolando $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$, e valutando poi la differenza $f(x) - (mx + n)$ in valori numerici concreti (come $x = 100$ e $x = -100$); e Metodo B (divisione euclidea), eseguendo la divisione tra polinomi per esprimere $f(x) = (mx + n) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ e deducendo l'asintoto e la posizione relativa analiticamente dal resto. a) Applica entrambi i metodi per trovare l'equazione della retta asintoto obliquo. b) Utilizzando il metodo B, dimostra con rigore algebrico (senza tentativi numerici) la posizione della curva rispetto all'asintoto quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$. c) Confronta criticamente i due metodi: spiega perché il metodo B è più diretto e conclusivo per le funzioni razionali, e motiva in quali situazioni o con quale tipo di funzioni non polinomiali il metodo B risulta inapplicabile e diventa indispensabile ricorrere al metodo A.

Progetta l'espressione analitica di una funzione razionale $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ che soddisfi simultaneamente le seguenti condizioni: 1. Il suo dominio è $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$. 2. In $x = 2$ presenta un asintoto verticale, ma in $x = -1$ ha una discontinuità eliminabile (esiste $\lim_{x \to -1} f(x)$ ed è finito; cioè un punto "buco"). 3. Il suo unico asintoto orizzontale è la retta $y = 3$. 4. Il grafico della funzione interseca il proprio asintoto orizzontale nel punto di ascissa $x = 4$. 5. Passa per il punto di intersezione con l'asse delle ordinate $(0, 6)$. a) Dimostra con ragionamento perché non è possibile che, dopo aver semplificato il fattore comune responsabile della discontinuità eliminabile, il denominatore rimanente sia di grado 1, deducendo qual è il grado minimo indispensabile che devono avere $P(x)$ e $Q(x)$ per permettere alla curva di intersecare il suo asintoto orizzontale senza aggiungere altri asintoti verticali al dominio. b) Ottieni i polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ che soddisfano tutte le condizioni e verifica formalmente ciascuna di esse.