Esercizi: Funzione esponenziale

Data la funzione esponenziale $f(x) = 3^x$, calcola i valori numerici di $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ e $f(\frac{1}{2})$. Esprimi i risultati in forma esatta, usando radici o frazioni se necessario.

Classifica le seguenti funzioni esponenziali in crescenti o decrescenti, giustificando la risposta in base al valore della loro base:

• $f(x) = 4^x$

• $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

• $h(x) = 0,8^x$

• $i(x) = e^x$

Determina il dominio, il codominio e l'equazione dell'asintoto orizzontale della funzione $f(x) = 2^x - 5$.

Risolvi la seguente equazione esponenziale uguagliando le basi ai due lati dell'uguaglianza:

$5^{2x-1} = 125$

Una popolazione di batteri si raddoppia ogni ora. Se inizialmente nella coltura ci sono $150$ batteri, scrivi la funzione $P(t)$ che modellizza il numero di batteri in funzione del tempo $t$ (espresso in ore). Quanti batteri ci saranno nella coltura dopo $4$ ore?

Calcola analiticamente le coordinate dei punti di intersezione con l'asse delle ascisse e con l'asse delle ordinate della funzione $f(x) = 3^{x+1} - 9$.

Associa ciascuno dei grafici contrassegnati con A, B, C e D nella seguente figura alla sua funzione esponenziale corrispondente. Le funzioni sono: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$.

Esprimi entrambi i membri dell'equazione come potenze di base $2$ e risolvi:

$8^x = \frac{1}{4}$

Marco deve risolvere l'equazione esponenziale $3 \cdot 2^{x+1} = 48$. Nel compito in classe scrive il seguente svolgimento:

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Marco nei primi due passaggi della sua risoluzione.
2. b) Risolvi correttamente l'equazione passo dopo passo, indicando in modo esplicito quale proprietà delle potenze o delle funzioni esponenziali giustifica ogni trasformazione.

Il valore di stima di un'utilitaria acquistata nuova in Italia per $16\,000$ € si deprezza ogni anno del $20\,\%$, per cui il suo valore dopo $t$ anni è dato da $V(t) = 16\,000 \cdot 0,8^t$.

1. a) Senza impostare equazioni formali, stima in modo ragionato tra quali due anni interi consecutivi il valore dell'auto scenderà per la prima volta sotto la metà del suo prezzo originale ($8\,000$ €). Per giustificare la tua stima, calcola in modo semplice e limita i valori di $V(1)$, $V(2)$, $V(3)$ e $V(4)$.
2. b) Verifica la tua stima calcolando i valori numerici esatti di $V(3)$ e $V(4)$ in forma decimale. Sulla base dei risultati, stabilisci se l'auto perde ogni anno la stessa quantità assoluta di euro oppure no, e spiega come ciò si collega alla decrescita esponenziale.

Determina l'espressione analitica di una funzione esponenziale della forma $f(x) = k \cdot a^x$ sapendo che il suo grafico passa per i punti $(0, 3)$ e $(2, 12)$.

Si investono $5000$ euro in un deposito bancario che offre un interesse composto annuo del $3\%$.

• Scrivi la funzione che determina il capitale accumulato $C(t)$ dopo $t$ anni.

• Calcola il capitale totale che si sarà accumulato dopo $10$ anni.

Risolvi la seguente equazione esponenziale eseguendo un opportuno cambio di variabile:

$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$

Determina il dominio della seguente funzione:

$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$

Un isotopo radioattivo ha un tempo di dimezzamento (tempo necessario affinché la sua massa iniziale si riduca alla metà) di $8$ giorni. Partendo da un campione iniziale di $200$ grammi:

• Scrivi la funzione $M(t)$ che fornisce la massa residua dell'isotopo in funzione del tempo $t$ in giorni.

• Quale massa di tale isotopo rimarrà dopo $24$ giorni?

Risolvi la seguente equazione esponenziale applicando i logaritmi:

$4^{x-1} = 15$

Esprimi il risultato in forma esatta utilizzando i logaritmi e fornisci anche un'approssimazione arrotondata a due cifre decimali.

A partire dalla funzione $f(x) = 2^x$, spiega in dettaglio quali trasformazioni geometriche occorre applicare al suo grafico per ottenere il grafico della funzione $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determina il dominio, il codominio e l'equazione dell'asintoto orizzontale di $g(x)$.

Il valore di mercato di un macchinario industriale decresce esponenzialmente nel tempo. È stato acquistato per $40000$ euro e si sa che ogni anno perde il $15\%$ del suo valore rispetto all'anno immediatamente precedente.

• Scrivi la funzione $V(t)$ che dà il valore del macchinario in funzione degli anni trascorsi.

• Quale sarà il suo valore dopo $5$ anni?

• Quanto tempo esatto deve trascorrere perché il suo valore si riduca alla metà?

Costruisci un'equazione esponenziale che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni:

1. Si risolve eseguendo il cambio di variabile $t = 2^x$, trasformandosi in un'equazione di secondo grado nella variabile $t$.

2. Risolvendo l'equazione di secondo grado in $t$ si ottengono due radici reali distinte, ma l'equazione esponenziale originale nella variabile $x$ ha un'unica soluzione reale, che deve essere esattamente $x = 3$.

3. Il termine noto dell'equazione di secondo grado in $t$ deve essere un numero intero strettamente negativo.

1. a) Imposta l'equazione in $t$ e stabilisci quale valore deve avere la seconda radice affinché non generi alcuna soluzione reale quando si torna alla variabile originale.
2. b) Scrivi l'equazione esponenziale completa nella variabile $x$, sviluppata nella forma $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ con $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
3. c) Verifica analiticamente che, risolvendo la tua equazione esponenziale, l'unica soluzione reale ottenuta è $x = 3$.

Secondo i censimenti del Ministero dell'Ambiente e della Sicurezza Energetica, la popolazione di lince iberica nella penisola iberica è passata da circa $100$ esemplari nell'anno $2002$ ($t = 0$) a circa $1\,600$ esemplari nell'anno $2022$ ($t = 20$). Supponendo un modello di crescita esponenziale della forma $P(t) = P_0 \cdot a^t$, dove $t$ è il tempo in anni trascorso da $2002$:

1. a) Determina i valori esatti della costante $P_0$ e della base di crescita annuale $a$. Esprimi la base $a$ come potenza irriducibile di base $2$.
2. b) A partire dal valore di $a$, calcola il tasso di crescita percentuale annuo medio previsto da questo modello, arrotondando a $0,1\,\%$.
3. c) Utilizzando soltanto le proprietà delle potenze di base $2$ (senza ricorrere ad approssimazioni decimali né a logaritmi), determina in quale anno il modello prevederebbe che la popolazione raggiunga i $6\,400$ linci. Spiega perché un modello puramente esponenziale smette di essere biologicamente realistico se proiettato a lunghissimo termine.

La diffusione di un virus in una popolazione isolata di $10000$ abitanti segue un modello di crescita logistica dato dalla funzione:

$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$

dove $P(t)$ è il numero di persone contagiate e $t$ è il tempo trascorso in giorni dall'inizio del focolaio.

• Calcola il numero iniziale di contagiati all'istante $t = 0$.

• Determina quante persone saranno contagiate dopo $10$ giorni.

• Calcola il tempo esatto necessario affinché metà della popolazione sia contagiata.

Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali:

Data la funzione $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, esegui uno studio analitico per determinare:

• Il suo dominio.

• I punti di intersezione con gli assi coordinati.

• Le equazioni dei suoi asintoti orizzontali e verticali, se esistono.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua in tutto $\mathbb{R}$:

Risolvi la seguente equazione esponenziale, raccogliendo a fattor comune dopo aver applicato le proprietà delle potenze:

$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$

Secondo la legge del raffreddamento di Newton, la temperatura di un oggetto all'istante $t$ (in minuti) è data dall'espressione $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, dove $T_a$ è la temperatura ambiente e $T_0$ la temperatura iniziale dell'oggetto. Una tazza di caffè a $90^\circ\text{C}$ viene lasciata in una stanza mantenuta a temperatura costante di $20^\circ\text{C}$. Se dopo $10$ minuti la temperatura del caffè è scesa a $60^\circ\text{C}$:

• Calcola il valore esatto della costante di raffreddamento $k$.

• Determina il tempo totale trascorso dall'inizio affinché il caffè raggiunga una temperatura di $30^\circ\text{C}$.

Determina analiticamente gli intervalli di segno costante (cioè gli intervalli in cui la funzione è strettamente positiva e quelli in cui è strettamente negativa) della funzione:

$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$

Nel grafico a lato sono rappresentate le funzioni $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$, insieme alla retta orizzontale $y = e$.

Determina analiticamente le coordinate del punto di intersezione tra le funzioni $f(x)$ e $g(x)$. Calcola poi l'area esatta del triangolo i cui vertici sono tale punto di intersezione e i due punti in cui le curve intersecano la retta $y = e$.

Si considerano le due seguenti equazioni esponenziali:

Equazione 1: $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 21$

Equazione 2: $9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0$

Hai a disposizione tre possibili strategie algebriche:

• Strategia A: Prendere i logaritmi di entrambi i membri come primo passo diretto.

• Strategia B: Raccogliere a fattor comune la potenza di base $3$ con esponente minore.

• Strategia C: Applicare le proprietà delle potenze per trasformare l'espressione mediante il cambio di variabile $t = 3^x$.

1. a) Giustifica perché la Strategia A non è praticabile come primo passo in entrambe le equazioni, individuando l'errore algebrico tipico associato a $\log(u + v)$.
2. b) Per ciascuna equazione, scegli in modo motivato quale sia la strategia ottimale tra la B e la C, indicando quale struttura algebrica specifica dell'equazione motiva la tua scelta.
3. c) Risolvi passo dopo passo entrambe le equazioni utilizzando in ciascun caso la strategia che hai giustificato come ottimale.

Alla stazione meteorologica di Asiago (Vicenza), durante una notte invernale la temperatura esterna si mantiene costante a $T_a = -5$ ºC. Un contenitore termico con un liquido a temperatura iniziale $T_0 = 75$ ºC viene collocato all'esterno. La sua temperatura evolve seguendo la legge del raffreddamento di Newton:

dove $t$ è il tempo trascorso in minuti e $a \in (0, 1)$ è la base di decrescita termica al minuto.

1. a) Dopo $15$ minuti di esposizione, la temperatura del liquido è di $35$ ºC. Calcola il valore esatto della base $a$ in forma di potenza irriducibile e scrivi l'espressione analitica finale di $T(t)$.
2. b) Dimostra formalmente che $T(t)$ è una funzione strettamente decrescente per ogni $t \ge 0$. Determina l'asintoto orizzontale della funzione per $t \to +\infty$ e interpreta il suo significato fisico nel contesto dell'esperimento.
3. c) Uno studente afferma che, aspettando abbastanza a lungo, il termometro segnerà esattamente $-5$ ºC. Imposta l'equazione corrispondente e dimostra, a partire dal codominio della funzione esponenziale, perché il modello matematico continuo smentisce tale affermazione. Spiega brevemente perché nasce questa differenza tra la previsione teorica e la realtà fisica della termodinamica.