Esercizi: Operazioni con le successioni. Forme indeterminate

Calcola il limite della successione $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.

Determina il valore del limite della successione $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.

Trova il limite della successione $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.

Risolvi la forma indeterminata $\infty - \infty$ nella seguente successione operando prima sulle frazioni algebriche:

$d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$

Calcola il limite della successione di tipo esponenziale $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.

Risolvi il seguente limite con radicali moltiplicando e dividendo per l'espressione coniugata:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$

Date le successioni $a_n = \frac{2n}{n+1}$ e $b_n = 3n^2$, calcola i limiti $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ e $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.

Trova il limite della successione $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.

In una verifica di Matematica, Marco deve calcolare il limite $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3}{n} - 2n \right)$. Scrive sul suo foglio: «Poiché $\lim \frac{2n^2+3}{n} = \infty$ e $\lim 2n = \infty$, allora il risultato è $\infty - \infty = 0$».

1. a) Spiega in modo motivato perché l'argomentazione di Marco è matematicamente scorretta e cosa significa in realtà che $\infty - \infty$ sia una forma indeterminata.
2. b) Risolvi il limite in modo rigoroso trasformando l'espressione mediante un denominatore comune.

Data la successione di termine generale $a_n = \frac{6n^2 + 50n}{2n^2 - 7}$:

1. a) Calcola mentalmente o con l'aiuto della calcolatrice i termini $a_{10}$, $a_{100}$ e $a_{1000}$ (arrotondando a due cifre decimali) e, a partire da essi, formula una stima motivata sul valore a cui tende la successione quando $n \to \infty$.
2. b) Calcola in modo formale $\lim_{n \to \infty} a_n$ applicando le regole operative per i quozienti di polinomi (dividendo numeratore e denominatore per la massima potenza di $n$).
3. c) Confronta la tua stima iniziale con il risultato esatto ottenuto e rifletti sull'influenza del termine lineare $50n$ man mano che $n$ diventa arbitrariamente grande.

Il numero di follower di un canale di divulgazione scientifica cresce secondo la successione $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, dove $n$ è il tempo in mesi e $S_n$ il numero di follower in migliaia. Verso quale valore si stabilizza il pubblico del canale a lunghissimo termine?

La deviazione in millimetri di un braccio robotico alla sua iterazione $n$ è data dalla successione $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcola l'errore di deviazione limite quando il numero di iterazioni tende a infinito.

Individua la forma indeterminata e calcola il limite della successione $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.

Un analista finanziario studia il rendimento di un fondo di investimento il cui tasso di rendimento nel mese $n$ segue la successione $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina il rendimento limite risolvendo la corrispondente forma indeterminata.

Risolvi la forma indeterminata nella successione con radicali iterati al numeratore e al denominatore:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$

La temperatura di un componente elettronico in un processo di raffreddamento iterativo segue la successione $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ in gradi Celsius sopra la temperatura ambiente. Determina il limite di questa temperatura.

Calcola il limite della differenza di frazioni algebriche:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$

L'indice di migrazione netta di una regione è stimato secondo la successione $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendenza limite di questo indice quando $n \to \infty$.

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) pubblica periodicamente indicatori sulla sostenibilità urbana. In un comprensorio italiano che ha avviato un piano intensivo di riciclaggio dei rifiuti tecnologici, la percentuale di apparecchi raccolti correttamente dopo $n$ anni di campagna è modellizzata dalla successione:

1. a) Determina la percentuale di raccolta stimata per il primo anno ($n = 1$) e per il quarto anno ($n = 4$).
2. b) Calcola $\lim_{n \to \infty} P_n$ descrivendo ogni passaggio nella risoluzione della forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$.
3. c) L'Unione Europea stabilisce come obiettivo che i comuni superino in modo continuativo il $80\,\%$ di raccolta differenziata. A partire dal valore del limite ottenuto, interpreta se questo comprensorio riuscirà a lungo termine a stabilizzarsi al di sopra di tale traguardo o se il piano risulterà insufficiente.

Progetta il termine generale di una successione razionale $a_n = \frac{p\cdot n + q}{r\cdot n + s}$ (con $p, q, r, s \in \mathbb{R}$ e $r \neq 0$) che soddisfi simultaneamente le tre condizioni seguenti:

1) Il suo limite all'infinito sia esattamente $4$: $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$.

2) Il suo primo termine sia $a_1 = 1$.

3) La successione sia strettamente crescente per ogni $n \ge 1$ (cioè $a_{n+1} > a_n$).

Spiega passo dopo passo la deduzione dei valori che scegli per i coefficienti e dimostra algebricamente che la successione proposta è strettamente crescente per ogni $n \ge 1$.

Trova il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché il limite della successione $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sia uguale a $5$.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché valga l'uguaglianza:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$

In un processo di cristallizzazione, la concentrazione di un reagente segue la successione $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Se si sa che la concentrazione limite a lungo termine è $e^6$, quale deve essere il valore del parametro $a$?

Risolvi il seguente limite che combina la somma dei primi $n$ termini di una progressione aritmetica e una forma indeterminata polinomiale:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$

Risolvi la forma indeterminata $\infty - \infty$ generata dalla differenza di due radici quadrate di polinomi di secondo grado:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$

Dimostra, calcolando il limite, a quale valore tende la successione definita da $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.

L'inflazione cumulata in un modello teorico macroeconomico è data dalla successione $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina il limite dell'inflazione quando $n \to \infty$.

Nello studio dell'energia cinetica relativistica a basse velocità si utilizza un'approssimazione matematica che coinvolge la successione $E_n = n^2 \left( \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} - 1 \right)$. Determina il valore del limite della successione $E_n$ quando $n \to \infty$.

Per risolvere il limite $\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt{n^2 - 2n}\right)$, tre studenti del primo anno di liceo propongono strategie diverse:

• Lucia (Metodo A): raccoglie $n$ a fattor comune scrivendo $n\left(\sqrt{1 + \frac{6}{n}} - \sqrt{1 - \frac{2}{n}}\right)$, sostituisce $\frac{6}{n} \to 0$ e $\frac{2}{n} \to 0$, e conclude che il limite è $\infty \cdot (1 - 1) = \infty \cdot 0 = 0$.

• Davide (Metodo B): moltiplica e divide per il coniugato dell'espressione per trasformare la forma indeterminata $\infty - \infty$ in un rapporto di infiniti.

• Elena (Metodo C): completa i quadrati dentro ogni radice osservando che $n^2 + 6n = (n+3)^2 - 9$ e che $n^2 - 2n = (n-1)^2 - 1$. Ragiona che per valori enormi di $n$, i numeri $-9$ e $-1$ sono trascurabili rispetto ai quadrati, perciò approssima la differenza con $(n+3) - (n-1) = 4$.

Compiti:

1) Spiega con precisione perché il ragionamento di Lucia è scorretto e in quale punto commette un errore logico.

2) Sviluppa completamente il calcolo applicando il Metodo B di Davide e ottieni il valore esatto del limite.

3) Confronta la validità formale del metodo di Davide con l'approssimazione euristica di Elena: la proposta di Elena può considerarsi una dimostrazione rigorosa in un compito in classe o solo una congettura intuitiva? Giustifica la tua risposta.

Considera la famiglia di successioni dipendente da due parametri reali $a, b \in \mathbb{R}$ data da:

1. a) Analizza che tipo di comportamento o forma indeterminata presenta $\lim_{n \to \infty} x_n$ quando $a < 0$, quando $a = 0$ e quando $a > 0$ con $a \neq 3$. Deduci con ragionamento quale valore deve necessariamente avere il parametro $a$ affinché il limite sia un numero reale finito.
2. b) Fissato tale valore di $a$, determina il valore esatto del parametro $b$ affinché valga l'uguaglianza $\lim_{n \to \infty} x_n = -1$.
3. c) Con i parametri $a$ e $b$ trovati, analizza se i termini della successione si avvicinano a $-1$ per eccesso (valori maggiori di $-1$) o per difetto (valori minori di $-1$) per valori grandi di $n$. Giustifica la tua conclusione studiando il segno della differenza $x_n - (-1)$.