Esercizi: Limite di una successione

Determina se la successione il cui termine generale è $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ è convergente, divergente o indeterminata. Se è convergente, indica qual è il suo limite.

Calcola il limite della seguente successione polinomiale quando $n$ tende a infinito:

$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$

Trova il limite della successione razionale data dall'espressione:

$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$

Calcola il limite della seguente successione, individuando prima i gradi del numeratore e del denominatore:

$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$

Determina il valore a cui tende la successione $e_n$ per valori molto grandi di $n$:

$e_n = \frac{n^4 + 2n^2 - 7}{5n^2 - 3n + 1}$

Studia il comportamento e calcola il limite della successione di tipo esponenziale:

$f_n = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$

Applicando la definizione del numero $e$, calcola il limite della seguente successione:

$g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$

Calcola il limite della successione che coinvolge una radice quadrata semplice al numeratore:

$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$

Luca sta risolvendo il limite della successione $a_n = \dfrac{3n + (-1)^n \cdot 4}{2n - 1}$ e scrive nel suo compito: «Poiché il termine $(-1)^n$ alterna indefinitamente tra $-1$ e $1$, la successione salta continuamente e, quindi, è una successione indeterminata che non ha limite». Individua l'errore concettuale di Luca, spiega perché la sua affermazione è falsa e calcola correttamente $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$, classificando la successione come convergente, divergente o indeterminata.

Considera la successione di termine generale $a_n = \dfrac{4n^2 - 5}{2n^2 + 3n}$. Prima di operare formalmente, calcola con due cifre decimali il valore dei termini per $n = 10$, $n = 100$ e $n = 1000$, e fai a partire da essi una stima motivata del valore a cui pensi si avvicini la successione. Successivamente, calcola il limite in modo analitico mediante il confronto dei gradi dei polinomi e verifica se la tua stima iniziale era corretta, indicando se la successione è convergente o divergente.

La temperatura in gradi Celsius di un pezzo di metallo che si raffredda in una stanza segue la successione $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, dove $n$ è il tempo trascorso in minuti. Calcola il limite della successione $T_n$ quando $n \to \infty$ e interpreta il risultato nel contesto del problema.

Risolvi l'indeterminazione che si presenta nel calcolare il limite della seguente differenza di successioni razionali:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n}{n + 2} - n \right)$

Calcola il limite della seguente successione irrazionale, moltiplicando e dividendo per l'espressione coniugata per risolvere l'indeterminazione:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$

La popolazione di pesci di un impianto di piscicoltura sostenibile cresce secondo il modello matematico $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, dove $n$ rappresenta il numero di giorni dall'introduzione degli avannotti. Determina la capacità portante dell'ambiente, cioè il limite della popolazione di pesci a lungo termine.

Calcola il limite della successione, trasformando l'espressione per applicare il limite del numero $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$

Si depositano $5000$ euro in un fondo di investimento che offre un interesse annuo del $3,5\%$. Se l'istituto capitalizza gli interessi $n$ volte all'anno, il capitale accumulato dopo $10$ anni è dato dalla successione $C_n = 5000 \cdot \left(1 + \frac{0,035}{n}\right)^{10n}$. Calcola il capitale limite che si otterrebbe se la capitalizzazione fosse continua ($n \to \infty$).

Trova il limite della seguente successione, sviluppando prima i prodotti notevoli del numeratore per individuare i termini di grado maggiore:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n+2)^2 - (3n-2)^2}{n+5}$

A partire da un quadrato di area $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, si costruisce una successione di quadrati unendo i punti medi dei lati del quadrato precedente, come mostra la figura. Sapendo che l'area di ogni nuovo quadrato è la metà dell'area del quadrato precedente, calcola il limite della somma delle aree degli infiniti quadrati così costruiti: $S_\infty = \lim_{n \to \infty} (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$.

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) proietta l'evoluzione della popolazione di un piccolo comune rurale del Piemonte. Secondo questo modello, la popolazione $P_n$ (espressa in centinaia di abitanti) dopo $n$ decenni trascorsi dal 2020 è data dalla successione $P_n = \dfrac{18n + 45}{3n + 5}$. Calcola la popolazione iniziale stimata nel 2020 ($n = 0$), quella prevista per il 2040 ($n = 2$) e il limite $\displaystyle\lim_{n \to \infty} P_n$. A partire da quest'ultimo valore, interpreta nel contesto del problema se il modello prevede la scomparsa del paese per spopolamento o la sua stabilizzazione a lungo termine, indicando a quale numero esatto di abitanti tenderebbe.

Progetta il termine generale di una successione razionale $a_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ (con $P(n)$ e $Q(n)$ polinomi di grado 1 a coefficienti interi) che soddisfi contemporaneamente tre condizioni: il suo primo termine deve essere $a_1 = 2$, deve essere strettamente crescente per ogni $n \geq 1$ e il suo limite per $n \to \infty$ deve essere esattamente $5$. Una volta trovata la tua formula per $a_n$, calcola a partire da quale numero naturale $N$ si verifica che la distanza tra i termini della successione e il suo limite è minore di $\varepsilon = 0,02$ (cioè $|a_n - 5| < 0,02$ per ogni $n > N$).

Trova i valori dei parametri reali $a$ e $b$ (con $b > 0$) affinché valga la seguente uguaglianza:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + an + 2} - bn \right) = 4$

Data la successione $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sappiamo che il suo limite è $L = 4$. Utilizzando la definizione formale di limite, scopri a partire da quale termine $n$ la distanza tra i termini della successione e il suo limite è strettamente minore di un millesimo, cioè $|a_n - 4| < 0,001$.

Risolvi il seguente limite che dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$, prestando particolare attenzione alle operazioni algebriche nell'esponente:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 - n + 3}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2 - 1}$

La figura mostra le prime tre iterazioni nella costruzione della curva di Koch. Se partiamo da un segmento iniziale di lunghezza $L_0 = 1$ metro (riquadro A), a ogni passo $n$ la lunghezza totale della curva si moltiplica per $\frac{4}{3}$ rispetto al passo precedente. Scrivi l'espressione della lunghezza $L_n$ al passo $n$ e calcola $\lim_{n \to \infty} L_n$. Quale conclusione geometrica si ricava da questo risultato?

Calcola il limite della seguente successione, che presenta una doppia radice quadrata e richiede di applicare con attenzione la tecnica del coniugato:

$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \sqrt{n^2 + 4} - n \right)$

Un paziente riceve una dose giornaliera di un farmaco. Dopo l'assorbimento e l'eliminazione nel corso della giornata, la concentrazione del farmaco nel sangue subito prima della dose successiva segue la relazione di ricorrenza $C_n = 15 + C_{n-1} \cdot 0,4$, dove $15 \text{ mg/L}$ è l'apporto della nuova dose e il fattore $0,4$ indica che rimane il $40\%$ del farmaco del giorno precedente. Se la concentrazione iniziale è $C_1 = 15$, calcola la concentrazione di equilibrio nel sangue a lungo termine, cioè $\lim_{n \to \infty} C_n$.

Si definisce una successione mediante la seguente legge di ricorrenza: il primo termine è $a_1 = \sqrt{6}$, e ogni termine successivo si ottiene come $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$. Assumendo che la successione sia crescente e limitata superiormente (quindi convergente e con un limite $L$), imposta l'equazione che deve soddisfare il limite e trovalo.

Un cavo elastico ad alta tecnologia viene sottoposto a prove di tensione iterative. La sua lunghezza iniziale a riposo è di $20$ metri. Nella prima prova si allunga di $4$ metri. In ogni prova successiva, il materiale perde elasticità e si allunga del $75\%$ di quanto si era allungato nella prova immediatamente precedente. La lunghezza totale dopo $n$ prove è data da $L_n = 20 + \sum_{k=1}^n 4 \cdot (0,75)^{k-1}$. Calcola la lunghezza massima teorica che raggiungerà il cavo se viene sottoposto a infinite prove.

Per calcolare il limite della successione $a_n = \sqrt{4n^2 + 7n} - 2n$, due studenti discutono quale strategia seguire. Candela propone una scorciatoia: «Poiché $7n$ cresce molto più lentamente di $4n^2$, possiamo trascurarlo dentro la radice; così resta $\sqrt{4n^2} - 2n = 2n - 2n = 0$, quindi il limite è $0$». Daniele sostiene che ciò non è valido perché si tratta di una forma indeterminata $\infty - \infty$ e bisogna moltiplicare e dividere per il coniugato. Risolvi il limite applicando il metodo rigoroso di Daniele, spiega perché la scorciatoia di Candela porta a un risultato errato e analizza cosa accadrebbe se la successione fosse $b_n = \sqrt{4n^2 + 7n} - 3n$: in questo secondo caso è ancora necessario il coniugato o esiste una deduzione diretta basata sugli ordini di grandezza?

Data la successione $a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$: calcola innanzitutto $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ e dimostra formalmente tale risultato applicando la definizione rigorosa di limite, ricavando una formula che fornisca il valore minimo di $N \in \mathbb{N}$ in funzione di qualsiasi margine $\varepsilon > 0$. Usa la tua formula per calcolare $N$ quando $\varepsilon = 0,001$. Infine, un compagno osserva che per $n = 100$ la distanza tra termini consecutivi è già molto piccola ($|a_{101} - a_{100}| < 0,001$) e deduce che, quindi, $a_{100}$ deve già distare dal suo limite meno di $0,001$. Verifica numericamente se la sua deduzione è vera o falsa per questo termine e spiega la differenza concettuale tra la vicinanza di due termini consecutivi e la vicinanza di un termine al suo limite.