Esercizi: Progressioni aritmetiche

Scrivi il termine generale e calcola il ventesimo termine della seguente progressione aritmetica: $7, 11, 15, 19, \dots$

In una progressione aritmetica, il primo termine è $a_1 = -5$ e la differenza è $d = \frac{3}{2}$. Calcola il valore del termine che occupa la posizione $40$.

Data la successione definita dal termine generale $b_n = 5 - 3n$, dimostra che si tratta di una progressione aritmetica e determina il valore della sua differenza.

Calcola la somma dei primi $30$ termini di una progressione aritmetica sapendo che il primo termine è $a_1 = 4$ e il trentesimo termine è $a_{30} = 91$.

L'ottavo termine di una progressione aritmetica è $32$ e la sua differenza è $d = 4$. Determina il primo termine $a_1$ e l'espressione del suo termine generale $a_n$.

Verifica se il numero $102$ appartiene alla progressione aritmetica il cui termine generale è $c_n = 4n - 6$. In caso affermativo, indica quale posizione occupa nella successione.

Calcola la somma dei primi $50$ multipli positivi di $6$ (cioè la somma della successione $6, 12, 18, \dots$).

I primi tre termini di una progressione aritmetica sono $x$, $x+4$ e $2x-1$. Calcola il valore numerico di $x$ e scrivi quali sono quei tre primi termini.

Marco deve risolvere il seguente esercizio: «Interpola $3$ medi aritmetici tra i numeri $8$ e $28$». Nel suo compito scrive quanto segue:

«Poiché bisogna inserire $3$ numeri, la differenza tra termini consecutivi si calcola dividendo la distanza totale per $3$:

Quindi i termini richiesti sono: $8 + 6,67 = 14,67$; $14,67 + 6,67 = 21,34$; e $21,34 + 6,67 = 28,01$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Marco e spiega, usando l'idea di «intervalli» o «salti» tra i termini, perché il suo denominatore è sbagliato.
2. b) Correggi lo svolgimento calcolando il valore esatto della differenza $d$ e scrivi i $3$ medi aritmetici corretti.

Alessandro prepara una corsa podistica di $10\text{ km}$ nel suo comune. La sua allenatrice gli ha prescritto un piano di $20$ giorni consecutivi di corsa: il primo giorno percorrerà $2\text{ km}$ e, ogni giorno successivo, aumenterà la distanza esattamente di $300\text{ m}$ ($0,3\text{ km}$) rispetto al giorno precedente.

1. a) Prima di applicare qualsiasi formula, fai una stima ragionata del volume totale: se corresse tutti i giorni al ritmo del primo giorno accumulerebbe $40\text{ km}$, e se corresse tutti i giorni la distanza dell'ultimo giorno accumulerebbe molto di più. Stima mentalmente tra quali due valori tondi (multipli di $10$) si troverà la somma totale e rispondi se ritieni verosimile che superi i $100\text{ km}$.
2. b) Modella la distanza giornaliera mediante una progressione aritmetica, determina la distanza che correrà il giorno $20$ e calcola con la formula della somma il totale esatto dei chilometri percorsi durante i $20$ giorni.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta e rifletti se l'incremento giornaliero proposto sia adeguato per evitare infortuni.

Un'impresa edile stabilisce un piano di bonus mensili per motivare i suoi dipendenti. Il primo mese un dipendente riceve $50$ €, il secondo mese $65$ €, il terzo mese $80$ €, e così via. Quanto denaro in totale avrà ricevuto il dipendente a titolo di bonus al termine di $2$ anni completi di lavoro?

Una ciclista inizia il suo piano di allenamento percorrendo $12$ km il primo giorno. Per migliorare la resistenza, ogni giorno aumenta la distanza del percorso di $1,5$ km rispetto al giorno precedente. In quale giorno dell'allenamento percorrerà esattamente $42$ km? Quanti chilometri totali avrà percorso sommando tutti i giorni fino a quel giorno incluso?

In una progressione aritmetica si sa che il quarto termine è $15$ e il decimo termine è $39$. Imposta un sistema di equazioni per calcolare la differenza $d$ e il primo termine $a_1$. Poi determina la somma dei primi $20$ termini di tale progressione.

Interpola cinque medi aritmetici tra i numeri $-8$ e $22$. Scrivi la progressione aritmetica completa che ne risulta indicando la sua differenza.

Un teatro ha le poltrone disposte a ventaglio. La prima fila ha $20$ poltrone, la seconda $24$, la terza $28$, e così via in progressione aritmetica. Se il teatro ha in totale $15$ file, quante poltrone ci sono nell'ultima fila? Qual è la capienza totale (numero totale di poltrone) del teatro?

Un oggetto in caduta libera su un pianeta immaginario percorre $4,9$ m nel primo secondo. In ogni secondo successivo, la distanza percorsa durante quel secondo aumenta di $9,8$ m rispetto alla distanza percorsa nel secondo precedente. Quale distanza percorre l'oggetto esclusivamente durante il decimo secondo della sua caduta?

In una progressione aritmetica, il primo termine è $a_1 = 3$ e la differenza è $d = 2$. Se la somma dei primi $n$ termini è $S_n = 360$, imposta la corrispondente equazione di secondo grado e determina il numero di termini $n$ che sono stati sommati.

Per rimboschire un bosco dopo un incendio, una squadra forestale pianta alberi in modo progressivo. La prima settimana riescono a piantare $120$ alberi, ma a causa della stanchezza accumulata e della minore disponibilità di terreno accessibile, ogni settimana piantano $5$ alberi in meno rispetto alla settimana precedente. Quante settimane trascorreranno prima che la squadra abbia piantato un totale esatto di $1470$ alberi? (Nota: analizza matematicamente le possibili soluzioni e giustifica quale abbia senso nel contesto del problema).

Dopo gli incendi boschivi che hanno colpito la zona dell'Appennino abruzzese, un gruppo ambientalista organizza giornate domenicali di rimboschimento con specie autoctone. Durante la prima settimana riescono a piantare $140$ piantine. Nelle settimane successive, grazie all'arrivo continuo di nuovi volontari, riescono a piantare ogni settimana $25$ piantine in più rispetto alla precedente.

1. a) Scrivi l'espressione del termine generale $a_n$ che determina quante piantine vengono piantate nella settimana $n$.
2. b) L'obiettivo della campagna comunale è raggiungere un totale cumulato di almeno $3\,500$ piantine piantate. Imposta l'equazione di secondo grado che permette di stabilire in quale settimana si raggiungerà tale traguardo.
3. c) Risolvi l'equazione, indica quante settimane complete di lavoro saranno necessarie e interpreta il significato algebrico della soluzione negativa scartandola con un argomento legato al contesto.

In una progressione aritmetica si sa che il termine in quinta posizione vale $a_5 = 19$ e il termine in diciottesima posizione vale $a_{18} = 71$. Per determinare la differenza $d$ e il primo termine $a_1$, due studenti propongono strade diverse:

• Paola imposta un sistema di due equazioni lineari in due incognite a partire dalla formula classica:

• Sergio propone di collegare direttamente i due termini contando il numero di salti tra di essi:

1. a) Risolvi il problema seguendo entrambi i metodi e verifica che si ottengono gli stessi valori per $d$ e $a_1$.
2. b) Giustifica quale metodo risulta più efficiente in questo caso (minor numero di passaggi operativi e minor rischio di errore algebrico).
3. c) Utilizzando il metodo che ritieni più vantaggioso, stabilisci formalmente se il numero $250$ può essere un termine di questa successione o se è impossibile che le appartenga.

In una progressione aritmetica di differenza $d = 3$, il primo termine è $a_1 = -10$. Calcola la somma dei termini compresi tra la posizione $20$ e la posizione $40$, entrambe incluse.

Gli angoli interni di un esagono convesso sono in progressione aritmetica. Se si sa che l'angolo maggiore misura $140^\circ$, calcola la misura degli altri cinque angoli interni dell'esagono. (Ricorda che la somma degli angoli interni di un poligono di $n$ lati è $180^\circ \cdot (n-2)$).

Determina i valori del parametro $k$ affinché le espressioni algebriche $k^2 - 2$, $3k + 1$ e $k^2 + 4k$ siano tre termini consecutivi di una progressione aritmetica. Per ogni valore di $k$ trovato, scrivi i tre termini corrispondenti.

La somma dei primi $n$ termini di una successione è data dall'espressione $S_n = 2n^2 + 5n$. Trova l'espressione matematica del termine generale $a_n$ e dimostra rigorosamente che tale successione è una progressione aritmetica.

In un magazzino industriale si accatastano tubi di acciaio cilindrici in modo che ogni fila abbia esattamente un tubo in meno della fila immediatamente inferiore su cui si appoggia. Se la fila più alta (la sommità) ha $1$ un solo tubo e in totale ci sono $210$ tubi accatastati, quante file di tubi compongono la catasta? Quanti tubi ci sono nella fila di base appoggiata al suolo?

Trova tre numeri in progressione aritmetica sapendo che la loro somma è $24$ e che la somma dei loro quadrati è $242$.

Dimostra algebricamente che se i numeri $a^2$, $b^2$ e $c^2$ sono in progressione aritmetica, allora anche i numeri $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ e $\frac{1}{a+b}$ formano una progressione aritmetica.

Un'azienda acquista un macchinario industriale per $32000$ € e concorda di pagarlo in rate mensili che formano una progressione aritmetica. Se si sa che la prima rata da pagare è di $500$ € e l'ultima rata sarà di $2700$ €, in quanti mesi l'azienda estinguerà il suo debito? Qual è l'incremento mensile esatto della rata rispetto al mese precedente?

Invece di darti i termini di una progressione aritmetica per calcolarne la somma, si conosce soltanto la funzione polinomiale che fornisce la somma cumulata dei suoi primi $n$ termini:

1. a) Deduci in modo motivato il valore del primo termine $a_1$ valutando opportunamente $S_1$.
2. b) A partire dal principio concettuale $a_n = S_n - S_{n-1}$ (per ogni $n \ge 2$), ricava l'espressione semplificata del termine generale $a_n$ in funzione di $n$.
3. c) Dimostra formalmente che la successione ottenuta è una progressione aritmetica calcolando la differenza $a_n - a_{n-1}$ e verificando che è costante.
4. d) Imposta ora il problema inverso complementare: costruisci l'espressione algebrica della somma $S_n$ corrispondente a una progressione aritmetica il cui primo termine sia $a_1 = 10$ e la cui differenza sia $d = -3$. Verifica che la tua espressione è corretta calcolando con essa $S_4$ e confrontandola con la somma manuale dei primi quattro termini.

Un auditorium comunale a Bologna prevede di rinnovare le poltrone della platea principale con una disposizione a trapezio scalinato. La normativa tecnica e il progetto dello spazio impongono le seguenti condizioni:

1. La prima fila (la più vicina al palco) avrà $a_1 = 15$ posti.

2. Ogni fila successiva avrà esattamente $2$ posti in più della precedente ($d = 2$).

3. Per sicurezza e larghezza delle vie di evacuazione, la capienza totale del locale non può superare in nessun caso i $650$ spettatori, ma il comune richiede di massimizzare la capienza senza superare tale limite.

4. La profondità fisica della sala non permette di costruire più di $25$ file.

1. a) Modella algebricamente la capienza cumulata $S_n$ in funzione del numero di file $n$.
2. b) Imposta la disequazione della capienza $S_n \le 650$, risolvi l'equazione di secondo grado associata e determina, giustificando la scelta nell'insieme dei numeri naturali, il numero esatto di file $n$ da installare per ottenere la capienza massima consentita.
3. c) Indica quante poltrone ci saranno nell'ultima fila installata e a quanto ammonta la capienza totale definitiva dell'auditorium.
4. d) Se per motivi di visibilità tecnica si decide infine di eliminare le prime $5$ file complete (con il pubblico che inizia a sedersi a partire da quella che prima era la fila $6$) mantenendo però la stessa ultima fila calcolata nel punto precedente, quante poltrone utilizzabili rimarranno nell'auditorium? Risolvilo applicando le proprietà della somma delle progressioni aritmetiche senza calcolare fila per fila.