Esercizi: Punto medio di un segmento

Calcola le coordinate del punto medio del segmento di estremi $A(2, -4)$ e $B(-6, 8)$.

Il punto $M(1, 3)$ è il punto medio del segmento che unisce i punti $A(-2, 5)$ e $B$. Determina le coordinate dell'estremo $B$.

I punti $P(-3, -1)$ e $Q(5, 7)$ sono gli estremi del diametro di una circonferenza. Trova le coordinate del suo centro.

Trova il punto medio del segmento determinato dai punti di intersezione della retta $2x + 3y - 12 = 0$ con gli assi coordinati.

I vertici opposti di un quadrato si trovano nei punti $A(1, 1)$ e $C(7, 5)$. Determina le coordinate del centro del quadrato.

Per determinare le coordinate dell'estremo $B$ di un segmento di cui si conoscono l'origine $A(-3, 5)$ e il punto medio $M(1, -2)$, Marco ha eseguito nel suo compito il seguente calcolo:

1. a) Spiega in dettaglio quale punto geometrico ha in realtà calcolato Marco e perché il suo procedimento algebrico è sbagliato.
2. b) Imposta le equazioni corrette a partire dalla definizione di punto medio e trova le coordinate reali dell'estremo $B$.

Un drone di soccorso marittimo parte dalla base costiera $A(-7, 8)$ e vola in linea retta fino a localizzare un'imbarcazione in avaria in $B(3, -2)$, con coordinate espresse in chilometri rispetto alla torre di controllo.

1. a) Senza eseguire calcoli con formule, osserva i segni e i valori numerici delle coordinate di $A$ e $B$: stima con ragionamento in quale quadrante del piano cartesiano deve trovarsi il punto medio $M$ della traiettoria e individua tra quali numeri interi si troveranno la sua ascissa e la sua ordinata. Giustifica la tua deduzione a partire dalla posizione relativa dei due punti.
2. b) Calcola con esattezza le coordinate di $M$ applicando la media aritmetica e verifica se la tua stima precedente era corretta.

I punti medi dei lati di un triangolo sono $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ e $M_3(-1, 5)$. Imposta un sistema di equazioni e calcola le coordinate dei tre vertici del triangolo $A, B$ e $C$.

Tre vertici consecutivi di un parallelogramma sono $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(6, -1)$. Utilizzando la proprietà per cui le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel loro punto medio, trova le coordinate del quarto vertice $D$.

Determina il valore del parametro $k$ affinché il punto medio del segmento di estremi $A(-k, 2)$ e $B(4, k-1)$ appartenga alla bisettrice del primo quadrante ($y = x$).

Un fascio laser parte dall'emettitore $S(2, 8)$ e deve colpire il ricevitore $T(10, 8)$ dopo aver rimbalzato su uno specchio piano posto sulla retta $y = 5$. Verifica se il punto medio del segmento $ST$ coincide con il punto di impatto sullo specchio.

Trova l'equazione della mediana relativa al vertice $A$ nel triangolo di vertici $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ e $C(-3, 5)$.

Nella mappa territoriale di un comprensorio (con distanze in chilometri), la sede centrale di un corriere si trova in $A(1, 3)$ e una filiale in $C(9, 7)$. L'azienda progetta di costruire un magazzino intermedio di distribuzione nel punto medio $M$ del segmento $AC$.

1. a) Calcola le coordinate del centro di distribuzione $M$.
2. b) L'azienda vuole completare un'area logistica a forma di parallelogramma $ABCD$, in modo che $AC$ e $BD$ siano le sue diagonali. Se il secondo magazzino è situato in $B(2, 8)$, trova con ragionamento le coordinate del quarto magazzino $D$ usando la proprietà che le diagonali di un parallelogramma condividono rispetto al loro punto medio.
3. c) Un'autostrada rettilinea segue il tracciato della retta $r: x - 2y + 5 = 0$. Stabilisci analiticamente se il centro di distribuzione $M$ e il magazzino $D$ hanno accesso diretto all'autostrada (cioè se appartengono alla retta $r$).

Il punto $M(3, 2)$ è il punto medio di un segmento di estremi incogniti $A$ e $B$. Si sa inoltre che l'estremo $A$ si trova sulla retta $r: y = 2x - 1$, mentre l'estremo $B$ è appoggiato sull'asse delle ascisse ($y = 0$).

1. a) Scrivi le coordinate generiche dei punti $A$ e $B$ in funzione di un unico parametro indipendente per ciascuno.
2. b) Imposta e risolvi il sistema di equazioni lineari che determina in modo univoco le coordinate numeriche di $A$ e $B$.
3. c) Verifica analiticamente se il segmento $AB$ risulta perpendicolare alla retta $r$ calcolando i coefficienti angolari di entrambi.

Calcola le coordinate del punto simmetrico di $A(1, 5)$ rispetto alla retta $r: 2x - y - 3 = 0$.

Determina l'equazione del luogo geometrico dei punti medi di tutti i segmenti che uniscono l'origine degli assi con i punti della retta $3x + 4y - 12 = 0$.

Dimostra analiticamente che i punti medi dei lati del quadrilatero di vertici $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ e $D(-2,4)$ formano un parallelogramma (parallelogramma di Varignon) e calcolane l'area.

Il baricentro di un triangolo è il punto $G(2, 1)$. Se due dei suoi vertici sono $A(-1, 3)$ e $B(4, -2)$, trova le coordinate del terzo vertice $C$ basandoti sulla proprietà del baricentro rispetto ai punti medi dei lati.

Per determinare le coordinate del quarto vertice $D$ di un parallelogramma i cui primi tre vertici consecutivi sono $A(-2, 3)$, $B(4, 1)$ e $C(6, 7)$, due studenti propongono percorsi diversi:

• Lucia propone di calcolare il punto medio $M$ della diagonale $AC$ e di usare il fatto che $M$ è anche il punto medio della diagonale $BD$ per ricavare direttamente le coordinate di $D$.

• Sergio propone di trovare le equazioni implicite della retta parallela a $AB$ passante per $C$ e della retta parallela a $BC$ passante per $A$, e di ottenere $D$ come punto di intersezione delle due rette.

1. a) Risolvi il problema applicando il procedimento proposto da Lucia.
2. b) Risolvi il problema applicando il procedimento proposto da Sergio.
3. c) Confronta i due metodi: valuta il numero di operazioni algebriche e il rischio di errori di calcolo in ciascuno, giustificando quale sia più efficiente. La strategia di Lucia potrebbe essere applicata se il quadrilatero fosse un trapezio non parallelogramma? Motiva la tua risposta a partire dalle proprietà geometriche delle diagonali.

Una squadra di topografi che delimita una riserva naturale triangolare $ABC$ ha smarrito le coordinate dei tre vertici originali, ma conserva nei suoi registri le coordinate dei punti medi dei tre lati: $M_1(2, 1)$ (punto medio del lato $AB$), $M_2(5, 4)$ (punto medio del lato $BC$) e $M_3(1, 5)$ (punto medio del lato $CA$).

1. a) Imposta il sistema di equazioni che lega le coordinate incognite dei vertici a quelle dei punti medi dati e ottieni le coordinate esatte di $A$, $B$ e $C$.
2. b) Determina le coordinate del baricentro $G$ del triangolo originale $ABC$ e quelle del baricentro $G'$ del triangolo mediale $M_1M_2M_3$ formato dai punti medi. Che conclusione ricavi confrontando i due risultati?
3. c) Dimostra algebricamente che l'uguaglianza $G = G'$ vale in generale per qualsiasi triangolo del piano, indipendentemente dalle coordinate dei suoi vertici.