Esercizi: Angolo tra due rette. Parallelismo e perpendicolarità

Calcola l'angolo acuto formato dalle rette $r: 2x - y + 4 = 0$ e $s: 3x + y - 1 = 0$.

Determina l'equazione generale della retta parallela a $y = 3x - 5$ che passa per il punto $P(2, -1)$.

Trova l'equazione della retta perpendicolare a $x + 4y - 7 = 0$ che passa per l'origine degli assi. Esprimi il risultato in forma esplicita.

Date le rette $r: kx - 2y + 5 = 0$ e $s: 3x + 4y - 1 = 0$, trova il valore del parametro $k$ affinché le due rette siano parallele.

Trova il valore di $m$ affinché le rette $r: 5x + 2y = 0$ e $s: mx - 5y + 3 = 0$ siano perpendicolari.

Calcola l'angolo formato dalle rette date dalle loro equazioni esplicite $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.

Indica quali tra le seguenti rette sono parallele e quali perpendicolari tra loro:

• $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$

• $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$

• $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$

Determina l'angolo che la retta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ forma con la direzione positiva dell'asse delle ascisse.

Marco deve calcolare la misura dell'angolo formato dalle rette $r: 2x - y + 3 = 0$ e $s: 3x + y - 5 = 0$. Per farlo, ricava i loro coefficienti angolari ottenendo $m_r = 2$ e $m_s = -3$. Poi applica la formula dell'angolo:

Marco deduce che $\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ$ e argomenta: «Poiché un angolo geometrico tra rette non può essere negativo, gli sommo $180^\circ$ e la soluzione è $135^\circ$».

1. a) Indica i due errori concettuali commessi da Marco (uno nella formula applicata e uno nell'interpretare quale angolo definisca la posizione reciproca di due rette incidenti).
2. b) Spiega perché in geometria euclidea l'angolo tra due rette si considera sempre non ottuso, cioè compreso nell'intervallo $[0^\circ, 90^\circ]$ (o $[0, \pi/2]\text{ rad}$).
3. c) Correggi lo svolgimento e calcola la misura corretta dell'angolo acuto, esprimendola sia in gradi sessagesimali sia in radianti (in funzione di $\pi$).

Considera le rette $r: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$ e $s: y = \sqrt{3}x - 4$.

1. a) Senza ricorrere ancora alle formule per il calcolo dell'angolo tra rette, collega il coefficiente angolare di ciascuna retta al suo angolo di inclinazione rispetto al semiasse positivo delle ascisse ($m = \tan \theta$). A partire da tale relazione, stima con ragionamento il valore esatto dell'angolo acuto $\alpha$ che esse formano tra loro (sia in gradi sessagesimali sia in radianti).
2. b) Verifica analiticamente la tua stima calcolando l'angolo mediante il prodotto scalare dei loro vettori direttori con l'espressione $\cos \alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.
3. c) Verifica di nuovo il risultato applicando la formula della tangente a partire dai coefficienti angolari: $\tan \alpha = \left|\frac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r}\right|$. Perché i tre percorsi coincidono e quale utilità ha stimare prima di calcolare?

Nel progetto di un parco, un nuovo viale deve essere perpendicolare alla strada principale definita dall'equazione $3x - 4y + 10 = 0$. Inoltre, questo viale deve passare per il punto di intersezione delle strade secondarie $x + y - 2 = 0$ e $2x - y - 4 = 0$. Ricava l'equazione generale del nuovo viale.

Calcola i valori del parametro $k$ affinché la retta $kx + y - 2 = 0$ formi un angolo di $45^\circ$ con la retta di equazione $x - 2y + 1 = 0$.

Un raggio laser viaggia lungo la retta $y = -2x + 5$ e si riflette su uno specchio piano posto sull'asse delle ascisse. Calcola l'angolo di incidenza (angolo tra il raggio e la normale allo specchio) e determina l'equazione della retta che contiene il raggio riflesso.

Due aerei seguono traiettorie rettilinee sullo schermo di un radar date dalle equazioni $r: x - 3y + 2 = 0$ e $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina il valore (o i valori) di $k$ affinché le loro rotte si incrocino formando un angolo esatto di $60^\circ$.

Dato un triangolo di vertici $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ e $C(4, 6)$, trova l'equazione generale dell'altezza relativa al vertice $A$ e calcola l'angolo che questa altezza forma con il lato $AB$.

Nel piano di una struttura metallica, una trave di sostegno principale poggia sulla retta che passa per i nodi $P(-2, 4)$ e $Q(4, 1)$. Occorre saldare una seconda trave perpendicolare alla prima esattamente nel suo punto medio. Trova l'equazione esplicita della retta che definisce questa seconda trave.

Trova le coordinate della proiezione ortogonale dell'origine degli assi $(0,0)$ sulla retta di equazione $2x - 5y + 10 = 0$.

Due bracci robotici in una fabbrica si spostano su rotaie rettilinee. Il primo segue la retta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ e il secondo la retta $s: ax + 8y - 5 = 0$.

1. Determina $a$ affinché le rotaie siano parallele.

2. Trova l'equazione di una terza rotaia trasversale che sia perpendicolare a entrambe e che incroci la rotaia $r$ esattamente nel suo punto di intersezione con l'asse delle ordinate.

Si considerano le rette del piano $r: x - \sqrt{3}y + 6 = 0$ e la retta verticale $s: x = -3$.

1. a) Prova a calcolare l'angolo acuto tra $r$ e $s$ mediante la formula dei coefficienti angolari $\tan \alpha = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s}\right|$. Spiega quale limitazione matematica o indeterminazione sorge nell'assegnare un valore numerico a $m_s$ e perché questa formula non risulta direttamente applicabile.
2. b) Imposta il calcolo utilizzando i vettori direttori $\vec{u}_r$ e $\vec{u}_s$ insieme alla formula del coseno. Giustifica perché l'approccio vettoriale è più generale e vantaggioso in questo caso.
3. c) Ottieni il valore dell'angolo acuto $\alpha$ mediante il metodo vettoriale ed esprimilo sia in gradi sessagesimali sia in radianti (come frazione ridotta ai minimi termini di $\pi$).

In un progetto di infrastruttura ferroviaria di RFI nei dintorni di Roma, il binario principale si sviluppa sulla retta $r: 3x - 4y + 12 = 0$ (in un piano cartesiano con unità in chilometri). Un nuovo raccordo verso un terminal logistico è progettato sulla retta $s: x - 7y - 5 = 0$.

La normativa dell'Agenzia Nazionale per la Sicurezza delle Ferrovie (ANSFISA) stabilisce che, se l'angolo acuto di divergenza tra due tracciati è maggiore di $0,26\text{ rad}$ (circa $15^\circ$), non è ammissibile una deviazione diretta a velocità convenzionale e deve essere progettata una curva di transizione con decelerazione preventiva.

1. a) Modella la situazione calcolando l'angolo acuto $\alpha$ formato dai due binari. Determina il valore esatto di $\tan \alpha$ e la misura di $\alpha$ in gradi sessagesimali e in radianti (con tre cifre decimali).
2. b) Stabilisci, giustificando la conclusione con il calcolo precedente, se l'infrastruttura richieda obbligatoriamente tale curva di decelerazione.
3. c) Si progetta un binario secondario di fuga $t$ che parte dal punto in cui $r$ interseca l'asse delle ascisse ed è rigorosamente perpendicolare al binario principale $r$. Ricava l'equazione generale di $t$ verificando la perpendicolarità mediante la relazione tra i loro coefficienti angolari.

Trova le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette $r: 3x - 4y + 5 = 0$ e $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Dimostra analiticamente, utilizzando i loro vettori direttori o i loro coefficienti angolari, che le due bisettrici sono perpendicolari tra loro.

Le diagonali di un rombo sono contenute nelle rette $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: 2x - y - 3 = 0$. Sapendo che uno dei suoi vertici è $A(0, 2)$ e che la lunghezza del suo lato è $\sqrt{20}$, trova le coordinate degli altri tre vertici.

Un vertice di un triangolo equilatero è l'origine degli assi $(0,0)$ e il lato opposto è contenuto nella retta $x + y - 4 = 0$. Determina le equazioni generali delle rette che contengono gli altri due lati del triangolo sapendo che devono formare un angolo di $60^\circ$ con il lato dato.

Data la famiglia di rette dipendente dal parametro $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Dimostra che tutte le rette di questa famiglia passano per uno stesso punto fisso e calcolane le coordinate. Poi, trova il valore di $k$ per ottenere la retta della famiglia che è perpendicolare a $3x - y + 2 = 0$.

Un pannello solare è allineato con la retta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. I raggi del sole incidono parallelamente alla retta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcola l'angolo di incidenza dei raggi sul pannello. Se il pannello deve essere riorientato ruotando attorno al suo punto di intersezione con l'asse $OY$ in modo che i raggi incidano perfettamente perpendicolari alla sua superficie, qual è la nuova equazione generale della retta che definisce il pannello?

Due vertici opposti di un quadrato sono $A(-1, 3)$ e $C(5, 1)$. Trova le equazioni delle rette che contengono i quattro lati del quadrato, calcolando prima il suo centro e le direzioni delle sue diagonali.

Determina l'equazione generale della retta simmetrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ rispetto alla retta $s: x + y - 1 = 0$.

Dimostra che se due rette $r: ax + by + c = 0$ e $s: a'x + b'y + c' = 0$ si intersecano formando un angolo $\alpha$, si ha $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utilizza questo risultato per trovare le equazioni generali delle rette che passano per $P(1,1)$ e formano un angolo $\alpha$ tale che $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ con la retta $2x - y + 3 = 0$.

Un'antenna per le comunicazioni si trova nel punto $P(2, 1)$. Occorre installare una linea di fibra ottica sotterranea in linea retta, rappresentata da $s$, in modo che formi un angolo acuto di $\frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$) con una condotta idrica già costruita che segue la retta $r: 2x - y + 5 = 0$.

1. a) Imposta l'equazione che deve soddisfare il coefficiente angolare $m$ della retta $s$ a partire dalla formula $\tan \alpha = \left|\frac{m - m_r}{1 + m \cdot m_r}\right|$. Risolvendo algebricamente l'equazione con valore assoluto, giustifica perché emergono due possibili coefficienti angolari e calcolali.
2. b) Ricava le equazioni generali delle due rette soluzione, $s_1$ e $s_2$, che passano per il punto $P$.
3. c) Dimostra che $s_1$ e $s_2$ sono perpendicolari tra loro verificando sia il prodotto dei loro coefficienti angolari sia il prodotto scalare dei loro vettori direttori.
4. d) Interpreta geometricamente il risultato del punto c): spiega, senza ricorrere al calcolo algebrico, perché due rette che formano lo stesso angolo di $45^\circ$ ai due lati di una data retta di riferimento devono necessariamente essere perpendicolari tra loro.

Considera la famiglia di rette $r_k: kx + (k - 1)y - 3 = 0$, dove $k \in \mathbb{R}$, e la retta fissa $s: 2x - y + 1 = 0$.

1. a) Determina il valore di $k$ per il quale $r_k$ è perpendicolare a $s$, verificando la condizione sia con il prodotto dei coefficienti angolari sia mediante il prodotto scalare dei vettori direttori.
2. b) Trova il valore di $k$ per il quale $r_k$ e $s$ sono parallele.
3. c) Si vuole che l'angolo acuto tra $r_k$ e $s$ sia esattamente $\alpha = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$). Imposta l'equazione corrispondente (mediante coefficienti angolari o vettori), risolvila e determina quanti valori di $k$ soddisfano tale condizione.
4. d) Esprimi l'equazione della famiglia nella forma $A(x,y) + k\cdot B(x,y) = 0$ per dimostrare che tutte le rette $r_k$ passano per uno stesso punto fisso $Q$ (fascio di rette proprio). Utilizzando questa proprietà geometrica, giustifica perché era prevedibile ottenere esattamente due valori di $k$ nel punto c), uno nel punto a) e uno nel punto b).