Esercizi: Dimostrazioni per induzione

Dimostra per induzione che, per ogni $n \ge 1$, vale:

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Dimostra per induzione che, per ogni $n \ge 1$, vale:

$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

Verifica che la proposizione $P(n)$: «$2^n > n$» è vera per $n = 1, 2, 3$ e dimostrala per induzione per ogni $n \ge 1$.

Dimostra per induzione che, per ogni $n \ge 1$:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Dimostra per induzione che, per ogni $n \ge 1$, il numero $7^n - 1$ è divisibile per 6.

Una successione è definita per ricorrenza da $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 2n + 2$.

1. a) Calcola i primi cinque termini.

1. b) Congettura una formula per $a_n$ e dimostrala per induzione.

Dimostra per induzione che, per ogni $n \ge 5$, vale $2^n > n^2$. Spiega perché la proposizione è falsa per $n = 3$ e per $n = 4$ e perché il passo base deve essere $n = 5$.

Sia $a_n$ la successione definita da $a_1 = 1$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n$.

1. a) Calcola $a_3, a_4, a_5$.

1. b) Dimostra per induzione (con ipotesi su due passi precedenti) che $a_n = 2^n - 1$ per ogni $n \ge 1$.

Dimostra per induzione la disuguaglianza di Bernoulli: per ogni numero reale $x \ge -1$ e per ogni intero $n \ge 1$,

$(1+x)^n \ge 1 + nx$.

Indica esplicitamente dove nel passo induttivo si usa l'ipotesi $x \ge -1$.