Esercizi: Tabella e grafico di una funzione

Data la funzione lineare $f(x) = 2x - 3$:

1. a) Completa una tabella di valori per $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
2. b) Rappresenta graficamente la funzione nel piano cartesiano utilizzando i punti ottenuti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Considera la funzione quadratica $f(x) = x^2 - 4$:

1. a) Calcola le immagini per $x = -3, -2, 0, 2, 3$ e organizza i risultati in una tabella.
2. b) Disegna il grafico della funzione e identifica le coordinate del suo vertice.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Osserva il seguente grafico di una funzione $f(x)$ definita da tratti rettilinei:

A partire dal grafico, determina:

1. a) Il dominio e il codominio della funzione.
2. b) Il valore di $f(-2)$ e $f(1)$.

Data la funzione irrazionale $f(x) = \sqrt{x+2}$:

1. a) Determina analiticamente il suo dominio.
2. b) Completa una tabella di valori per $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ e utilizzala per abbozzare il grafico.

Calcola analiticamente i punti di intersezione con l'asse delle ascisse (asse X) e con l'asse delle ordinate (asse Y) della funzione razionale $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.

Data la funzione valore assoluto $f(x) = |2x - 5|$:

1. a) Calcola la funzione nei punti $x = 0; 2; 2,5; 3; 5$ e costruisci una tabella di valori.
2. b) Rappresenta graficamente la funzione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Identifica se la seguente tabella di valori corrisponde a una funzione lineare o a una funzione quadratica calcolando le differenze tra valori consecutivi di $y$. Quindi ottieni la sua espressione analitica $y = f(x)$.

Il costo $C(t)$ in euro di lasciare un'auto in un parcheggio è dato dalla funzione $C(t) = 2 + 1,5t$, dove $t$ è il tempo in ore.

1. a) Costruisci una tabella di valori per le prime 4 ore ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Rappresenta graficamente la funzione in quell'intervallo.

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Marco deve rappresentare la funzione a tratti $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$ e decide di calcolare il valore nel punto di frontiera $x = 2$ per la sua tabella di valori. Sul quaderno scrive: «Poiché $x = 2$ è il punto di cambio, sostituisco in entrambi i rami: $f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ e $f(2) = 2^2 - 3 = 1$; quindi il punto $(2, 5)$ e il punto $(2, 1)$ appartengono al grafico».\na) Identifica l'errore concettuale commesso da Marco e spiega perché la sua affermazione contraddice la definizione matematica di funzione.\nb) Indica qual è l'unico valore corretto per $f(2)$, giustificando quale tratto corrisponde secondo la condizione data.\nc) Per analizzare il comportamento del grafico subito dopo la frontiera senza commettere l'errore di Marco, quale valore di $x$ proporresti per la tabella e quale valore della funzione si ottiene?

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{3}{x - 4}$:\na) Prima di calcolare alcun valore esatto, stima quale segno e quale ordine di grandezza (molto vicino a zero o molto grande in valore assoluto) ti aspetti che assuma $f(x)$ quando valutiamo in valori molto vicini a $4$, come $x = 3,9$ e $x = 4,1$. Giustifica la tua previsione a partire dai segni del numeratore e del denominatore.\nb) Verifica la tua stima calcolando i valori della funzione per $x = 3,9$; $x = 3,99$; $x = 4,01$ e $x = 4,1$, e organizzali in una tabella di valori.\nc) A partire dai risultati numerici ottenuti, interpreta cosa accade geometricamente sulla retta $x = 4$ e motiva se si tratta di un asintoto verticale.

La temperatura $T$ (in $^\circ\text{C}$) di un forno industriale dall'accensione è data dalla funzione $T(t) = 20 + 15t$, dove $t$ si misura in minuti.

1. a) Qual è la temperatura iniziale del forno?
2. b) Costruisci una tabella di valori per $t = 0, 5, 10, 15$.
3. c) Quanto tempo deve trascorrere perché il forno raggiunga i $200^\circ\text{C}$?

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Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. a) Costruisci una tabella di valori calcolando la funzione in $x = -2; 0; 0,99; 1; 2; 3$.
2. b) Rappresenta graficamente la funzione e indica se è continua in $x = 1$.

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Considera la funzione quadratica $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

1. a) Calcola analiticamente le coordinate del suo vertice e i punti di intersezione con gli assi.
2. b) Crea una tabella di valori prendendo due punti a sinistra del vertice e due a destra.
3. c) Rappresenta graficamente la parabola.

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Il seguente grafico mostra l'andamento della temperatura $T$ (in $^\circ\text{C}$) di una tazza di caffè in funzione del tempo $t$ (in minuti) da quando viene servita.

A partire dal grafico:

1. a) Indica la temperatura iniziale del caffè.
2. b) Verso quale valore tende la temperatura al passare di molto tempo? Che significato fisico ha l'asintoto orizzontale?
3. c) La funzione è crescente o decrescente? Giustifica la risposta.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{4}{x-2}$:

1. a) Determina il suo dominio.
2. b) Costruisci una tabella di valori calcolando la funzione in punti vicini a $x = 2$ da sinistra e da destra ($x = 1,9; 1,99; 2,1; 2,01$).
3. c) A partire dai risultati ottenuti, quale elemento grafico presenta la funzione in $x = 2$?

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In un laboratorio si studia la crescita di una popolazione di batteri. Il numero di batteri $N(t)$ in migliaia è dato dalla funzione $N(t) = 100 \cdot 2^t$, dove $t$ è il tempo in ore.

1. a) Costruisci una tabella di valori per le prime 4 ore ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Rappresenta graficamente la funzione. Che tipo di crescita si osserva?

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Considera la funzione $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.

1. a) Calcola analiticamente il suo dominio.
2. b) Costruisci una tabella di valori per $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
3. c) Rappresenta graficamente la funzione e indica qual è il suo codominio.

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Data la funzione valore assoluto $f(x) = |x^2 - 4|$:

1. a) Esprimi la funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto.
2. b) Trova i punti di intersezione con gli assi.
3. c) Costruisci una tabella di valori nell'intervallo $[-3, 3]$ e disegna il suo grafico.

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In una località italiana, la bolletta mensile dell'acqua è strutturata in due fasce di consumo per incentivare il risparmio:\n- Fascia 1: se il consumo mensile $x$ non supera $15\text{ m}^3$, si applica una quota fissa di $6\text{ \euro}$ più $0,50\text{ \euro}$ per ogni metro cubo consumato.\n- Fascia 2: se il consumo supera $15\text{ m}^3$, i primi $15\text{ m}^3$ vengono fatturati secondo la Fascia 1, e ogni metro cubo aggiuntivo che eccede $15$ si paga a $1,20\text{ \euro}$.\na) Scrivi l'espressione analitica del costo totale $C(x)$ (in euro) in funzione dei metri cubi $x$ consumati ($x \ge 0$) come funzione definita a tratti.\nb) Elabora una tabella di valori strategica che comprenda il consumo nullo ($x = 0$), il punto di confine del cambio di fascia e un valore per ciascun lato del cambio ($x = 14$ e $x = 16$).\nc) Determina se la bolletta subisce un salto brusco passando da $15\text{ m}^3$ a un consumo leggermente superiore oppure se il costo varia in modo continuo. Giustifica la risposta usando i valori della tua tabella.

Si vuole progettare la formula analitica di una funzione razionale della forma $f(x) = \dfrac{ax + b}{x - c}$ in modo che soddisfi le seguenti caratteristiche osservate nella sua tabella di valori chiave:\n1. Il suo grafico interseca l'asse delle ascisse unicamente nel punto $(4, 0)$.\n2. Il suo grafico interseca l'asse delle ordinate nel punto $(0, -2)$.\n3. La funzione non è definita in $x = 2$, presentando su tale retta un asintoto verticale.\na) Determina con ragionamento i valori delle costanti reali $a$, $b$ e $c$.\nb) Con la funzione ottenuta, costruisci una tabella di valori strategica che contempli i punti di intersezione con gli assi e due valori situati immediatamente prima e dopo il valore escluso ($x = 1,9$ e $x = 2,1$).\nc) Spiega che cosa accade ai valori di $f(x)$ quando la variabile $x$ assume valori positivi sempre più grandi ($x = 100$, $x = 1000$) e deduci l'equazione del suo asintoto orizzontale.

Il profitto mensile $B(x)$, in euro, di una fabbrica di componenti elettronici in funzione del numero di unità prodotte $x$ è modellizzato dalla funzione $B(x) = -5x^2 + 300x - 4000$.

1. a) Trova i punti di pareggio (produzione per cui il profitto è zero).
2. b) Genera una tabella di valori strategica che comprenda i punti di pareggio e il vertice.
3. c) Quante unità devono essere prodotte per massimizzare il profitto e qual è tale profitto massimo?

Una funzione quadratica della forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ passa per i punti $(0, 3)$, $(1, 0)$ e $(2, -1)$.

1. a) Imposta e risolvi il sistema di equazioni per trovare i valori di $a, b$ e $c$.
2. b) Con l'espressione analitica ottenuta, calcola il vertice e costruisci una tabella di valori per rappresentare la parabola.

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Data la funzione definita a tratti dipendente da un parametro $k$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

1. a) Trova il valore di $k$ affinché i due rami della funzione si "colleghino" nel punto $x = 2$ (cioè affinché la funzione sia continua).
2. b) Con il valore di $k$ trovato, costruisci una tabella di valori nell'intervallo $[0, 4]$ e disegna il grafico della funzione.

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La massa $M(t)$ in grammi di un isotopo radioattivo diminuisce nel tempo $t$ (in giorni) secondo la funzione esponenziale $M(t) = M_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{T}}$, dove $M_0$ è la massa iniziale e $T$ è il tempo di dimezzamento.

Sapendo che all'istante $t=0$ c'erano $200\text{ g}$ di sostanza e che dopo $60\text{ giorni}$ ne restano $50\text{ g}$:

1. a) Calcola il valore dei parametri $M_0$ e $T$.
2. b) Costruisci una tabella di valori per $t = 0, 30, 60, 90, 120$ e disegna il grafico.

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Osserva il seguente grafico di una funzione razionale della forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:

A partire dalle informazioni fornite dal grafico (asintoti e punti di intersezione):

1. a) Determina il dominio e il codominio della funzione.
2. b) Deduci l'espressione analitica della funzione $f(x)$.

Data la funzione logaritmica $f(x) = \log_2(x+4)$:

1. a) Determina analiticamente il suo dominio e l'equazione del suo asintoto verticale.
2. b) Costruisci una tabella di valori scegliendo valori strategici di $x$ che diano come risultato potenze esatte di base 2 per l'argomento del logaritmo.
3. c) Rappresenta il grafico della funzione.

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Si vuole costruire un recinto rettangolare sfruttando un muro già esistente per uno dei lati. Si dispone di $20\text{ m}$ di rete metallica per gli altri tre lati.

1. a) Esprimi l'area $A(x)$ del recinto in funzione della lunghezza $x$ di uno dei lati perpendicolari al muro.
2. b) Determina il dominio di validità della funzione $A(x)$ nel contesto del problema.
3. c) Costruisci una tabella di valori e usala per disegnare il grafico e trovare le dimensioni che massimizzano l'area.

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Nella figura seguente sono mostrati il grafico della funzione esponenziale $f(x) = 2^x$ e la retta $y = x$.

1. a) A partire dai punti evidenziati sulla curva blu di $f(x)$, costruisci una tabella di valori per la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Disegna sul quaderno il grafico della funzione inversa sfruttando la simmetria rispetto alla retta $y=x$.
3. c) Scrivi l'espressione analitica di $f^{-1}(x)$.

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Per rappresentare il grafico della funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$, due studenti propongono metodi diversi:\n- Metodo di Lucia: costruire direttamente una tabella con sette interi consecutivi: $x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, sostituendo direttamente nella formula data.\n- Metodo di Davide: prima di calcolare i punti, studiare il dominio della funzione, scomporre in fattori il numeratore per vedere se si semplifica con il denominatore in $x \ne 1$, e poi costruire una tabella strategica con i punti di intersezione e valori vicini alle discontinuità.\na) Se si segue il metodo di Lucia, quale problema insormontabile sorge esattamente in $x = 1$? Potrebbe portare a dedurre erroneamente che la retta $x = 1$ è un asintoto verticale?\nb) Sviluppa il metodo di Davide: semplifica l'espressione di $f(x)$ per ogni $x \ne 1$ e calcola i valori di $f(x)$ per $x = 0,99$ e $x = 1,01$. Questi valori crescono senza limite come in un asintoto o si avvicinano a un numero finito?\nc) Confronta i due metodi e giustifica quale sia più affidabile per evitare interpretazioni grafiche false. Descrivi con precisione quale elemento geometrico compare nel grafico nel punto di ascissa $x = 1$ (indicandone le coordinate).

Durante un episodio di inquinamento atmosferico in una città, la concentrazione di biossido di azoto $C(t)$ (in $\mu\text{g}/\text{m}^3$) durante le prime $24$ ore è modellizzata da una funzione definita a tratti:\n- Tratto iniziale ($0 \le t \le 6$): la concentrazione segue una parabola $C(t) = -t^2 + bt + c$, il cui vertice (massimo del tratto) viene raggiunto esattamente alle $t = 4\text{ h}$ con un livello di $36\text{ }\mu\text{g}/\text{m}^3$.\n- Tratto successivo ($6 < t \le 24$): vengono attivate misure di restrizione del traffico e la concentrazione decresce secondo la funzione razionale $C(t) = \dfrac{k}{t - 2} + 12$.\na) Determina le costanti $b$ e $c$ a partire dall'informazione sul vertice e trova la concentrazione all'istante iniziale $t = 0$.\nb) Calcola il valore del parametro $k$ affinché la concentrazione non subisca una discontinuità nel passaggio da un tratto all'altro ($t = 6$).\nc) Progetta una tabella di valori strategica per l'intervallo $[0, 24]$ che contenga: l'inizio, l'intersezione con l'asse verticale, il vertice, il punto di raccordo, un punto successivo ($t = 12$) e l'estremo finale ($t = 24$). A partire dalla tabella, ragiona su quale sia il valore minimo a cui tenderebbe la concentrazione se le restrizioni si protraessero indefinitamente nel tempo.