Esercizi: Funzione valore assoluto

Esprimi la funzione $f(x) = |3x - 6|$ come funzione definita a tratti, indicando chiaramente gli intervalli corrispondenti a ciascuna espressione algebrica.

Calcola il valore numerico della funzione $g(x) = |-x^2 + 4x|$ nei punti $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ e $x = 5$.

Determina il dominio e il codominio della funzione $h(x) = |x| + 5$. Giustifica la risposta basandoti sulle proprietà del valore assoluto.

Dato il seguente grafico di una funzione con valore assoluto, deduci la sua espressione analitica della forma $y = |x - a|$.

Risolvi l'equazione $|2x - 8| = 0$ e spiega che cosa rappresenta geometricamente questo risultato rispetto al grafico della funzione $f(x) = |2x - 8|$.

Data la seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$

Scrivi la sua espressione analitica in forma compatta utilizzando il valore assoluto.

Esprimi come funzione definita a tratti la funzione quadratica con valore assoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.

Determina le coordinate esatte dei punti di intersezione con gli assi cartesiani della funzione $h(x) = |x - 3| - 5$.

Lucia sta risolvendo l'equazione $|2x - 8| = -4$ nel suo compito in classe e scrive il seguente ragionamento:

«Poiché il valore assoluto si sdoppia in due possibilità:

1) $2x - 8 = -4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

2) $-(2x - 8) = -4 \implies -2x + 8 = -4 \implies -2x = -12 \implies x = 6$.

Quindi l'equazione ha due soluzioni: $x = 2$ e $x = 6$».

1. a) Senza risolvere di nuovo l'equazione, verifica per sostituzione diretta se i valori $x = 2$ e $x = 6$ sono davvero soluzioni dell'equazione originale $|2x - 8| = -4$. Che cosa osservi?
2. b) Individua e spiega l'errore concettuale commesso da Lucia prima di iniziare a ricavare l'incognita. Qual è la risposta corretta e motivata sul numero di soluzioni di tale equazione?

Una funzione con valore assoluto della forma $f(x) = |x - a| + b$ ha le seguenti caratteristiche nel piano cartesiano:

• Il suo grafico ha forma di «V» con vertice nel punto $(4, -3)$.

• Taglia l'asse delle ascisse (asse $X$) in due punti simmetrici rispetto alla verticale del vertice.

1. a) Determina in modo motivato i valori dei parametri $a$ e $b$.
2. b) Trova analiticamente i due punti di intersezione con l'asse $X$, risolvendo l'equazione $f(x) = 0$.
3. c) Riscrivi $f(x)$ come funzione definita a tratti e motiva se il vertice trovato corrisponde a un minimo assoluto o a un massimo assoluto della funzione.

In un laboratorio, la deviazione della temperatura di una reazione chimica rispetto alla temperatura ideale di $22^\circ\text{C}$ è data dalla funzione $D(t) = |2t - 12|$, dove $t$ è il tempo in minuti. Esprimi $D(t)$ come funzione a tratti e determina in quale istante la deviazione è nulla.

Il margine di profitto di un'azienda, in migliaia di euro, rispetto al suo obiettivo annuale è modellizzato dalla funzione $M(x) = |x^2 - 40x + 300|$, dove $x$ è il numero di mesi trascorsi. Esprimi la funzione a tratti per individuare in quali periodi l'azienda è stata esattamente sull'obiettivo, al di sotto (prima di applicare il valore assoluto) o al di sopra.

Semplifica l'espressione della funzione $f(x) = 2x + |x - 4|$ scrivendola come funzione definita a tratti. Quindi calcola il tasso di variazione medio nell'intervallo $[2, 6]$.

In una simulazione di biliardo, una palla rimbalza contro la sponda situata sull'asse delle ascisse. La traiettoria della palla segue la funzione $y = 4 - |x - 3|$, dove $x$ e $y$ sono misurate in unità della griglia del simulatore.

Determina analiticamente (senza disegnare il grafico, o usandolo solo per verificare):

1. a) Le coordinate del punto in cui la palla raggiunge la sua massima distanza dalla sponda.

1. b) Le coordinate dei punti in cui la palla urterebbe l'asse X.

Trova analiticamente i punti di intersezione tra la funzione con valore assoluto $f(x) = |3x - 2|$ e la funzione costante $g(x) = 7$.

Una macchina taglia barre di metallo con una lunghezza obiettivo di $250\text{ mm}$. La funzione errore di taglio è definita come $E(x) = |x - 250|$. Se il controllo di qualità richiede che $E(x) \le 1,5$, imposta la disequazione corrispondente e determina l'intervallo delle lunghezze valide per le barre.

Esprimi la funzione $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ come funzione definita a tratti. Indica in quale intervallo o intervalli la parabola originale $y = x^2 - 5x + 6$ è stata riflessa rispetto all'asse delle ascisse.

Determina le coordinate del vertice e i punti di intersezione con gli assi della funzione $f(x) = -|2x - 6| + 8$. I rami di questa funzione si aprono verso le ordinate positive o negative?

In una tappa di montagna del Giro d'Italia, nel passaggio sulle Alpi, il profilo altimetrico di un tratto di $20\text{ km}$ è modellizzato dalla funzione:

$h(x) = 60 \cdot |x - 8| + 450$

dove $x$ è la distanza percorsa in chilometri dall'inizio del tratto ($0 \le x \le 20$) e $h(x)$ è l'altitudine sul livello del mare in metri.

1. a) Individua le coordinate del vertice del grafico di $h(x)$ e interpreta il suo significato fisico nella corsa (punto chilometrico e altitudine del fondovalle).
2. b) Esprimi la funzione $h(x)$ come funzione definita a tratti per l'intervallo di dominio $[0, 20]$.
3. c) L'organizzazione stabilisce un rifornimento liquido in tutti i punti del tratto in cui l'altitudine non supera i $690\text{ m}$. Imposta una disequazione con valore assoluto per questa condizione e calcola il tratto chilometrico (intervallo di $x$) in cui sarà situata tale zona di rifornimento.

Si considerano la funzione $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$ e la retta orizzontale $y = 3$.

1. a) Stima in modo motivato:

• Trova le radici e le coordinate del vertice della parabola interna $g(x) = x^2 - 6x + 5$.

• Spiega come agisce il valore assoluto sulla parte di parabola che si trova sotto l'asse $X$ e deduci qual è l'altezza massima raggiunta dalla «cresta» riflessa.

• A partire dall'altezza di quella cresta e dal comportamento generale del grafico, stima in modo giustificato quante soluzioni reali avrà l'equazione $|x^2 - 6x + 5| = 3$.

1. b) Verifica algebricamente:

• Risolvi l'equazione $|x^2 - 6x + 5| = 3$ impostando le due equazioni che nascono eliminando il valore assoluto.

• Trova tutte le soluzioni esatte e conferma se la tua stima precedente sul numero di soluzioni era corretta.

Data la funzione $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determina il valore del parametro $k$ sapendo che il grafico della funzione tocca l'asse delle ascisse in un solo punto. Per tale valore di $k$, esprimi $f(x)$ senza utilizzare il valore assoluto.

Esprimi la funzione razionale con valore assoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ come funzione definita a tratti. Quindi determina il suo dominio e le equazioni dei suoi asintoti orizzontali e verticali.

Il seguente grafico mostra una funzione con valore assoluto annidato della forma $f(x) = ||x| - c|$. Osserva i vertici e i punti di intersezione, deduci il valore di $c$ e scrivi l'espressione della funzione a tratti per l'intervallo $x \in [-4, 4]$.

L'errore di quota di un drone da ispezione durante una manovra è modellizzato dalla somma di due valori assoluti: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, dove $t$ è il tempo in secondi. Esprimi la funzione $E(t)$ senza utilizzare valori assoluti nell'intervallo di tempo $t \in [1, 3]$.

Trova analiticamente i punti di intersezione delle funzioni $f(x) = |x + 1|$ e $g(x) = |2x - 5|$. Suggerimento: analizza i diversi casi in base al segno delle espressioni dentro il valore assoluto.

Nell'elaborazione dei segnali, un'onda triangolare invertita può essere modellizzata con la funzione $S(t) = A - |B t - C|$. Determina i parametri $A, B, C > 0$ sapendo che il segnale raggiunge il suo valore massimo di $12\text{ V}$ nell'istante $t = 5\text{ s}$, e che attraversa l'asse delle ascisse (valore $0\text{ V}$) negli istanti $t = 2\text{ s}$ e $t = 8\text{ s}$.

Il grafico mostrato corrisponde alla funzione $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partire dai punti singolari osservabili (radici e massimo locale), imposta un sistema di equazioni e determina i valori dei parametri $b$ e $c$.

Trova il dominio di definizione della funzione irrazionale $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. A tale scopo, imposta e risolvi la corrispondente disequazione con valore assoluto.

Per risolvere l'equazione $|x - 2| + |x - 6| = 8$, due studenti propongono strade diverse:

• Metodo 1 (analitico a tratti): Studiare il segno dei binomi sulla retta reale, scomporre l'espressione in tre intervalli ($(-\infty, 2)$, $[2, 6)$ e $[6, +\infty)$), risolvere l'equazione in ciascun tratto e verificare la validità delle soluzioni.

• Metodo 2 (geometrico delle distanze): Interpretare $|x - a|$ come la «distanza tra $x$ e $a$» sulla retta reale, considerando la distanza fissa tra i punti $2$ e $6$.

1. a) Applica il Metodo 1: esprimi $f(x) = |x - 2| + |x - 6|$ come funzione definita a tratti e ottieni algebricamente le soluzioni dell'equazione.
2. b) Applica il Metodo 2: ragiona su quale sia la somma delle distanze da $2$ e da $6$ per qualsiasi punto situato all'interno del segmento $[2, 6]$ e deduci geometricamente le due soluzioni dell'equazione quando tale somma deve essere $8$.
3. c) Scegli e giustifica il metodo: Se ora ti chiedono di risolvere l'equazione $|x - 2| + |x - 6| = 3$, quale dei due metodi permette di dare una risposta giustificata immediatamente senza fare lunghe operazioni? Spiega qual è questa conclusione.

Considera la famiglia di funzioni quadratiche con valore assoluto data da $f_k(x) = |x^2 - 4x + k|$, dove $k \in \mathbb{R}$ è una costante.

1. a) Determina in modo motivato per quali valori del parametro $k$ il grafico di $f_k(x)$ non subisce alcuna riflessione rispetto all'asse $X$ (cioè coincide in tutto il suo dominio con la parabola originale $y = x^2 - 4x + k$).
2. b) Giustifica, studiando le radici del polinomio interno, quanti punti angolosi (punti sull'asse $X$ in cui la funzione cambia bruscamente direzione) ha il grafico di $f_k(x)$ in ciascuno di questi tre casi: $k > 4$, $k = 4$ e $k < 4$.
3. c) Problema inverso: Sapendo che la retta orizzontale $y = 5$ interseca il grafico di $f_k(x)$ in esattamente tre punti distinti, deduci in modo giustificato il valore del parametro $k$ e calcola le coordinate esatte di questi tre punti di intersezione.

Sfida del tema. Ricerca la domanda elettrica sul sito di Terna per un'intera giornata. Il tuo prodotto finale sarà una breve relazione analitica realizzata con l'aiuto di GeoGebra o di un foglio di calcolo.

1. Dati e derivata: Scarica i dati orari $D(t)$ di $24$ ore. Modellizza la curva e individua dominio, codominio e monotonia. Determina e interpreta graficamente i picchi e le valli di consumo risolvendo $D'(t) = 0$.

2. Composizione, inversa e trasformazioni: Se il prezzo orario medio è $C(x) = 0,15x$ €/MWh, trova in modo motivato la funzione composta $(C \circ D)(t)$. Seleziona un tratto mattutino strettamente crescente per dedurre e interpretare la funzione inversa $D^{-1}$. Applica poi una traslazione $D(t - 2)$ per simulare un ritardo nelle abitudini di consumo.

3. Parità e valore assoluto: Centra l'asse temporale alle $12{,}0$ h e verifica formalmente se la curva presenta parità (simmetria pari o dispari). Progetta la funzione di deviazione $F(t) = |D(t) - D_{\text{media}}|$, analizzando l'effetto del valore assoluto sui suoi punti critici.

Verranno valutati:

• Rigore nella caratterizzazione di $D(t)$ e nell'interpretazione grafica della funzione derivata.

• Precisione nel calcolo e nel significato della funzione composta, dell'inversa locale e della traslazione.

• Adeguata giustificazione matematica della parità e dell'operatore valore assoluto.

• Chiarezza espositiva e correttezza grafica nelle evidenze fornite con GeoGebra.