Esercizi: Problemi

Sono stati misurati il tempo in ore ($X$) e la distanza percorsa in km ($Y$) da un ciclista in $5$ tappe, ottenendo le seguenti coppie di valori $(x_i, y_i)$: $(2, 45)$, $(3, 65)$, $(4, 85)$, $(2, 40)$ e $(5, 110)$. Calcola la covarianza di questa distribuzione bidimensionale.

La retta di regressione di $Y$ su $X$ di una distribuzione bidimensionale è data dall'equazione $y = 3,2x - 1,5$. Se la media aritmetica della variabile $X$ è $\bar{x} = 4,5$, determina il valore della media aritmetica della variabile $Y$, $\bar{y}$.

In uno studio sul peso ($X$, in kg) e sull'altezza ($Y$, in cm) di un gruppo di studenti, si è ottenuto un coefficiente di correlazione lineare $r = 0,85$. Se le deviazioni standard marginali sono $S_x = 12$ e $S_y = 8$, calcola il valore esatto della covarianza $S_{xy}$.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra l'età di un gruppo di veicoli ($X$, in anni) e il loro valore di mercato attuale ($Y$, in migliaia di euro). Osservando la forma della nuvola di punti, indica il segno che avrà la covarianza e se la correlazione lineare tra le due variabili è forte o debole.

Per stimare il consumo elettrico mensile ($Y$, in kWh) in funzione del numero di persone che abitano in un'abitazione ($X$), è stata ottenuta la retta di regressione $y = 45x + 120$ con coefficiente di correlazione $r = 0,92$. Stima il consumo per un'abitazione con $4$ persone e indica se la stima è molto attendibile o poco attendibile, giustificando brevemente la tua risposta.

Nella seguente tabella di contingenza sono riportati i dati di $100$ pezzi di ceramica, classificati secondo la dimensione ($X$: Piccolo=$1$, Grande=$2$) e la qualità ($Y$: Difettoso=$0$, Ottimo=$1$). Scrivi la tabella della distribuzione marginale della variabile $Y$ e calcola la sua media $\bar{y}$.

Di una distribuzione bidimensionale sono noti i seguenti parametri statistici: $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$, la varianza marginale di $X$, $S_x^2 = 16$, e la covarianza $S_{xy} = 24$. Scrivi l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

In uno studio che mette in relazione il budget di marketing di diverse aziende ($X$) con i loro utili annui ($Y$), si è calcolato che il coefficiente di correlazione lineare è $r = 0,7$. Quale percentuale della variabilità degli utili è spiegata dal budget di marketing secondo il modello di regressione lineare proposto?

In una verifica di Statistica bidimensionale, Marco deve analizzare la relazione tra due variabili a partire dalle equazioni delle loro rette di regressione:

• Retta di regressione di $Y$ su $X$: $y = -0,75x + 12$

• Retta di regressione di $X$ su $Y$: $x = -0,48y + 10$

Marco scrive nella sua risoluzione:

1. «Il coefficiente di correlazione lineare è $r = \sqrt{(-0,75) \cdot (-0,48)} = \sqrt{0,36} = 0,6$, quindi la correlazione tra le variabili è positiva e moderata.»

2. «La covarianza della distribuzione è direttamente il coefficiente angolare della prima retta, cioè $\sigma_{xy} = -0,75$.»

Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Marco, calcolando il valore corretto di $r$. Argomenta inoltre se sia possibile o meno determinare il valore numerico di $\sigma_{xy}$ disponendo soltanto delle equazioni delle rette.

Una stazione sciistica delle Alpi registra l'altitudine in centinaia di metri ($X$) e la temperatura media in $^{\circ}\text{C}$ durante una giornata invernale ($Y$) in cinque punti del suo comprensorio sciistico:

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo analitico, stima con ragionamento il segno della covarianza e del coefficiente di correlazione lineare $r$, indicando se ti aspetti una relazione lineare debole o forte in base alla natura del fenomeno fisico.
2. b) Calcola le medie $\bar{x}$ e $\bar{y}$, la covarianza $\sigma_{xy}$, le deviazioni standard $\sigma_x$ e $\sigma_y$, e il valore esatto di $r$.
3. c) Verifica se il valore di $r$ ottenuto conferma la tua stima iniziale e valuta se un adattamento lineare è adeguato per prevedere le temperature ad altre quote della montagna.

In un laboratorio di fisica è stato misurato l'allungamento di una molla elastica ($Y$, in cm) appendendovi masse diverse ($X$, in kg). I risultati ottenuti nell'esperimento sono:

$X$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$

$Y$: $2,1$, $3,9$, $6,2$, $7,8$, $10,1$, $12,2$

Calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$ e l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

Un'azienda tecnologica vuole prevedere il numero di vendite di un nuovo smartphone ($Y$, in migliaia di unità) in funzione delle menzioni giornaliere sui social network ($X$, in migliaia). Sono stati raccolti i dati di $8$ lanci precedenti, ottenendo le seguenti sommatorie:

$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.

Calcola la covarianza, il coefficiente di correlazione lineare e stima le vendite che si otterranno se si registrano $25$ mila menzioni nel giorno del lancio.

Il diagramma di dispersione allegato rappresenta la relazione tra la temperatura media mensile ($X$, in $^\circ\text{C}$) e il consumo di gas naturale ($Y$, in $\text{m}^3$) in una città durante l'ultimo anno. Sapendo che le medie marginali sono $\bar{x} = 15$ e $\bar{y} = 120$, e che il coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$ è $-3,5$, trova l'equazione di tale retta e stima il consumo di gas per un mese con temperatura media di $8 \ ^\circ\text{C}$.

Studiando la relazione statistica tra due variabili $X$ e $Y$, sono state ottenute le seguenti rette di regressione:

Retta di $Y$ su $X$: $y = 0,5x + 4$

Retta di $X$ su $Y$: $x = 1,5y - 3$

Calcola le coordinate del baricentro della distribuzione bidimensionale $(\bar{x}, \bar{y})$.

È stato condotto uno studio sul numero di ore di allenamento settimanale ($X$) e il risultato ottenuto in una gara di atletica ($Y$, in secondi) in un gruppo di corridori. Dopo l'analisi, si sa che $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 45$, $S_x = 3$, $S_y = 2$ e la covarianza è $S_{xy} = -4,8$.

Calcola la retta di regressione di $X$ su $Y$ e stima quante ore settimanali si è allenato un atleta che ha ottenuto un tempo di $42$ secondi nella gara.

La seguente tabella a doppia entrata mostra la distribuzione di $50$ famiglie secondo il numero di figli ($X$) e il numero di veicoli che possiedono ($Y$):

Calcola la media e la deviazione standard della distribuzione condizionata del numero di veicoli posseduti dalle famiglie sapendo che hanno esattamente $1$ figlio (cioè la distribuzione $Y|X=1$).

Il coefficiente di correlazione tra il reddito mensile ($X$, in euro) e la spesa per il tempo libero ($Y$, in euro) di un gruppo di persone è $r = 0,75$. Se decidiamo di esprimere il reddito in migliaia di euro ($X' = \frac{X}{1000}$) e di aumentare la spesa per il tempo libero di una quantità fissa di $50$ euro a causa di un sussidio ($Y' = Y + 50$), qual è il nuovo coefficiente di correlazione lineare tra $X'$ e $Y'$? Giustifica la tua risposta usando le proprietà della covarianza e delle deviazioni standard.

Per una distribuzione bidimensionale sono noti i seguenti dati: dimensione del campione $n = 10$, medie marginali $\bar{x} = 5$ e $\bar{y} = 8$, varianze marginali $S_x^2 = 4$ e $S_y^2 = 9$. Inoltre, l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 1,2x + 2$.

Calcola il valore esatto della covarianza $S_{xy}$ e il coefficiente di correlazione lineare $r$.

In una prova di controllo qualità industriale si misurano due variabili, $X$ e $Y$, ottenendo le prime quattro coppie di dati $(x_i, y_i)$: $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$ e $(4, 7)$. La quinta coppia registrata è $(5, k)$, dove $k$ è un valore reale positivo in attesa di convalida.

1. a) Esprimi in funzione di $k$ le medie marginali $\bar{x}$ e $\bar{y}$, la varianza $\sigma_x^2$ e la covarianza $\sigma_{xy}$.
2. b) Sapendo che la retta di regressione di $Y$ su $X$ deve passare esattamente per l'origine degli assi $(0, 0)$, deduci il valore esatto che deve assumere $k$.
3. c) Con il valore trovato di $k$, determina l'equazione di tale retta di regressione e calcola il coefficiente di determinazione $R^2$ per giustificare se la retta trovata ha sufficiente capacità esplicativa.

A partire da un campione dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) sul tenore di vita in cinque comuni di medie dimensioni d'Italia, si mettono in relazione il reddito medio disponibile annuo per famiglia ($X$, in decine di migliaia di euro) e la spesa media annua per svago e cultura ($Y$, in centinaia di euro):

1. a) Modellizza la relazione lineare determinando l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.
2. b) Interpreta il significato socioeconomico concreto del coefficiente angolare ottenuto e del termine noto nel contesto dello studio.
3. c) Usa il modello per prevedere la spesa per lo svago attesa in un comune con un reddito medio per famiglia di $45\,000$ € ($x = 4,5$) e in un altro con $120\,000$ € ($x = 12$). Confronta con ragionamento l'attendibilità delle due previsioni distinguendo tra interpolazione ed estrapolazione.
4. d) Se si volesse stimare il reddito di un comune a partire dalla sua spesa culturale, giustifica se sarebbe matematicamente corretto ricavare $x$ direttamente dall'equazione ottenuta al punto a).

Le rette di regressione di una distribuzione bidimensionale sono date dalle equazioni $y = -0,5x + 8$ (retta di $Y$ su $X$) e $x = -1,28y + 10$ (retta di $X$ su $Y$).

Calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$ e trova le medie marginali $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

In uno studio statistico su due variabili $X$ e $Y$, è stato effettuato un cambio di variabile standardizzando o riscalando i dati originali nella forma $U = \frac{X - 10}{5}$ e $V = \frac{Y - 20}{2}$. Si sa che la retta di regressione di $V$ su $U$ è $v = 0,8u + 1,5$.

Trova, annullando il cambio di variabile, l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$ nella sua forma esplicita $y = mx + n$.

Una fabbrica studia la relazione tra l'anzianità delle sue macchine ($X$, in anni) e il costo annuo di manutenzione ($Y$, in centinaia di euro). Sono stati raccolti i dati di $4$ macchine, ma per un errore informatico si è perso il costo di manutenzione di una di esse. Le coppie $(x_i, y_i)$ sono: $(2, 4)$, $(3, 5)$, $(5, k)$, $(6, 9)$.

Sapendo che la media marginale del costo di manutenzione delle quattro macchine è $\bar{y} = 6,5$, determina il valore di $k$ e, successivamente, calcola l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

Dimostra matematicamente, utilizzando le espressioni dei coefficienti angolari delle rette di regressione in funzione della covarianza e delle varianze marginali, che se il coefficiente di correlazione lineare è perfetto ($r = 1$ o $r = -1$), le due rette di regressione (quella di $Y$ su $X$ e quella di $X$ su $Y$) sono rette coincidenti.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la crescita di una colonia di batteri ($Y$, in migliaia) in funzione del tempo ($X$, in ore). La nuvola di punti suggerisce una crescita esponenziale del tipo $Y = A \cdot e^{BX}$.

Per linearizzare il modello, è stato proposto il cambio di variabile $Z = \ln(Y)$. Se eseguendo l'adattamento di regressione lineare di $Z$ su $X$ otteniamo la retta $z = 0,4x + 1,2$, determina i valori numerici delle costanti $A$ e $B$ del modello esponenziale originale.

Si ha la seguente tabella di frequenze congiunte (frequenze assolute) per due variabili qualitative $X$ e $Y$:

Determina il valore esatto del parametro $k$ sapendo che le variabili $X$ e $Y$ sono statisticamente indipendenti.

In uno studio statistico, la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 2x - 3$ e la retta di regressione di $X$ su $Y$ è $x = 0,4y + 2$. Sapendo che la varianza marginale della variabile $X$ è $S_x^2 = 5$, calcola il valore della varianza marginale di $Y$, $S_y^2$, e il valore della covarianza $S_{xy}$.

Sono stati studiati due gruppi di dipendenti di una stessa azienda multinazionale per analizzare la relazione tra gli anni di esperienza ($X$) e lo stipendio mensile ($Y$).

Nel Gruppo A, formato da $10$ dipendenti, si è ottenuto: $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, e una covarianza $S_{xy,A} = 200$.

Nel Gruppo B, formato da $20$ dipendenti, si è ottenuto: $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, e una covarianza $S_{xy,B} = 350$.

Calcola la covarianza totale $S_{xy}$ se si decidesse di riunire i $30$ dipendenti in un'unica distribuzione bidimensionale.

Si studia l'evoluzione del numero di veicoli elettrici immatricolati ($Y$, in decine) in un comprensorio in base all'anno trascorso ($X$). La serie storica osservata è:

Per ottenere la retta di regressione di $Y$ su $X$ e il coefficiente di correlazione $r$, si propongono due alternative:

• Percorso 1 (Diretto): Calcolare le sommatorie $\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$, $\sum y_i^2$ e $\sum x_i y_i$ direttamente sui dati numerici originali.

• Percorso 2 (Cambio di variabile): Definire $U = X - 2022$ e $V = Y - 122$, calcolare la retta di regressione di $V$ su $U$ ($v = m \cdot u + n$) e invertire algebricamente la trasformazione sostituendo $u = x - 2022$ e $v = y - 122$.

1. a) Confronta i due percorsi: dimostra teoricamente che un cambio di origine $U = X - h$ e $V = Y - k$ non altera la covarianza ($\sigma_{uv} = \sigma_{xy}$) né le varianze marginali, e giustifica quale dei due metodi sia preferibile rispetto al rischio di errori di calcolo o di arrotondamento.
2. b) Applica il Percorso 2 per trovare la retta di regressione di $V$ su $U$.
3. c) Annulla il cambio di variabile per dedurre la retta di regressione di $Y$ su $X$ e calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$.

Due centri di ricerca A e B analizzano, su campioni indipendenti di studenti, la relazione tra le ore settimanali di utilizzo ricreativo degli schermi ($X$) e il voto medio ($Y$). Sorprendentemente, entrambi i centri ottengono esattamente le stesse equazioni di regressione:

• Retta di $Y$ su $X$: $y = -0,25x + 9$

• Retta di $X$ su $Y$: $x = -y + 15$

1. a) Dimostra che il coefficiente di correlazione lineare $r$ e il baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ sono necessariamente identici in entrambi gli studi, calcolandone i valori numerici esatti.
2. b) Il gruppo A riferisce che la varianza delle ore di schermo nel suo campione è $\sigma_{x,A}^2 = 16$, mentre il gruppo B afferma che nel suo è $\sigma_{x,B}^2 = 4$. Dimostra se è possibile che entrambi i gruppi abbiano ragione contemporaneamente calcolando, per ciascun centro, la covarianza $\sigma_{xy}$ e la varianza dei voti $\sigma_y^2$. Spiega a partire da questo risultato perché i coefficienti angolari di regressione non bastano da soli a ricostruire la covarianza.
3. c) Se i due campioni vengono uniti in un unico collettivo di $100$ studenti ($N_A = 60$ del centro A e $N_B = 40$ del centro B), calcola la covarianza complessiva sfruttando il fatto che condividono lo stesso baricentro e argomenta se la retta di regressione di $Y$ su $X$ dell'insieme totale differirà da quella ottenuta dai centri separatamente.

Sfida del tema. In che modo l'altitudine condiziona il clima del nostro paese? Trasformati in analista climatico ed elabora un rapporto sintetico utilizzando GeoGebra o un foglio di calcolo.

1. Raccolta dei dati: Consulta il sito dell'Aeronautica Militare (Servizio Meteorologico) e raccogli in una tabella l'altitudine ($x$, in metri) e la temperatura media annua ($y$, in °C) di $10$ capoluoghi di provincia italiani di diverse zone geografiche.

2. Studio bidimensionale: Inserisci i dati nel software. Calcola le medie ($\bar{x}$, $\bar{y}$), le deviazioni standard, la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ($r$). Rappresenta la nuvola di punti e determina la retta di regressione di $y$ su $x$.

3. Previsione e causalità: Stima la temperatura attesa per un comune situato a $1250\text{ m}$ e argomenta l'attendibilità del tuo risultato. Verifica se un modello non lineare (esponenziale o di potenza) migliorerebbe l'adattamento e rifletti se l'altitudine sia la causa diretta della variazione termica o se intervengano variabili latenti.

Consegna un breve rapporto (una pagina) con la tabella, i grafici e la tua giustificazione argomentata.

Si valuterà:

• Rigore nel calcolo delle statistiche bidimensionali e della retta di regressione con strumenti digitali.

• Abilità nella rappresentazione grafica e nell'interpretazione del coefficiente $r$.

• Spirito critico nell'estrapolare valori e nel discutere di causalità rispetto a correlazione.