Esercizi: Regressione non lineare e causalità

In un adattamento lineare ai minimi quadrati si è ottenuto un coefficiente di correlazione $r = -0,9$. Calcola il coefficiente di determinazione $r^2$ e interpreta il suo significato: quale percentuale della variazione della variabile $y$ è spiegata dalla variazione di $x$?

Le tre nuvole di punti della figura corrispondono a tre studi diversi. Per ciascuna di esse, indica quale tipo di modello sembra più adeguato — lineare ($y = a + bx$), quadratico ($y = a + bx + cx^2$) o esponenziale ($y = a \cdot b^x$) — e giustifica brevemente la tua scelta.

Stabilisci se la seguente affermazione è vera o falsa: «Il coefficiente di correlazione tra le vendite di gelati e il numero di annegamenti in piscina è alto e positivo; quindi vendere più gelati provoca più annegamenti». Se è falsa, spiega l'errore di interpretazione e indica una variabile che potrebbe spiegare entrambe contemporaneamente.

In due studi statistici sono stati ottenuti i coefficienti di correlazione $r_1 = 0,8$ e $r_2 = -0,95$. Quale dei due adattamenti lineari permette di fare previsioni più affidabili? Spiega perché il segno del coefficiente non influisce sull'affidabilità.

Un osservatorio meteorologico di un capoluogo dell'entroterra registra le temperature in una calda giornata di luglio dalle 08:00 ($x = 0$) alle 20:00 ($x = 12$). I termometri segnano $21\,^\circ\text{C}$ al mattino presto, raggiungono un massimo di $41\,^\circ\text{C}$ verso le 16:00 ($x = 8$) e scendono a $33\,^\circ\text{C}$ alle 20:00. Un gruppo di studenti è indeciso tra tre modelli per adattare i dati: il lineare $y = a + bx$, l'esponenziale $y = a \cdot b^x$ ($a > 0$, $b > 0$) e il quadratico $y = ax^2 + bx + c$.

1. a) Confronta le proprietà grafiche e di crescita dei tre modelli e scarta motivatamente due di essi spiegando perché il loro comportamento è fisicamente incompatibile con l'andamento della temperatura in quell'intervallo.
2. b) Per il modello che hai ritenuto idoneo, indica giustificando quale segno deve avere il parametro $a$ per riflettere l'esistenza di una temperatura massima giornaliera.
3. c) Se calcolando il coefficiente di correlazione lineare si ottiene un valore basso di $r = 0,38$, uno studente afferma: «Poiché $r$ è così basso, è dimostrato che l'ora del giorno influisce appena sulla temperatura». Spiega quale errore concettuale commette nell'interpretare questo valore di $r$.

Lucia analizza la svalutazione del valore di mercato di un veicolo elettrico nel mercato dell'usato italiano in funzione della sua età $x$ (in anni). Per adattare un modello esponenziale decrescente $y = a \cdot b^x$ ($y > 0$), applica la trasformazione logaritmica naturale $z = \ln y$ e ottiene, con i minimi quadrati, la retta:

Nelle conclusioni del suo lavoro di fine corso, Lucia scrive:

«Il prezzo di listino del veicolo nuovo è di $a = 10,2$ euro e ogni anno che passa il suo valore viene moltiplicato per $b = -0,15$. Poiché il coefficiente di correlazione della retta trasformata è $r = -0,98$, il passare del tempo è la causa diretta e unica di tutta la perdita di valore dell'automobile».

1. a) Individua i due errori algebrici che commette Lucia nel ricavare i parametri $a$ e $b$ dalla retta linearizzata e calcola i loro valori corretti (puoi lasciarli espressi come potenze del numero $e$ e darne un'approssimazione con due decimali).
2. b) Individua l'errore concettuale nella sua affermazione sulla causalità e proponi almeno una variabile latente o indipendente dagli anni dell'auto che influisca anch'essa in modo decisivo sul suo valore di rivendita.

Si sospetta che la variabile $y$ dipenda quadraticamente da $x$. Con i cinque dati della tabella

sono state calcolate le somme $\sum x_i = 10$, $\sum x_i^2 = 30$, $\sum x_i^3 = 100$, $\sum x_i^4 = 354$, $\sum y_i = 25$, $\sum x_i y_i = 60$ e $\sum x_i^2 y_i = 204$.

1. a) Imposta il sistema di tre equazioni che devono soddisfare i coefficienti della parabola di regressione $y = a x^2 + bx + c$.

1. b) Risolvilo e scrivi l'equazione dell'adattamento quadratico.

1. c) Stima il valore di $y$ per $x = 5$ e commenta l'affidabilità di questa previsione.

Il numero di utenti di un'applicazione cresce in modo approssimativamente esponenziale: $y = a \cdot b^x$, dove $x$ sono i mesi trascorsi. Passando ai logaritmi naturali, $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$, in modo che le coppie $(x, \ln y)$ si adattino a una retta. I dati linearizzati sono:

1. a) Verifica che i quattro punti linearizzati si trovano esattamente su una retta e trova la sua equazione.

1. b) Deduci i valori di $a$ e $b$ (esprimi $a$ e $b$ come potenze di $e$ e approssimale con due decimali).

1. c) Stima il numero di utenti dopo $6$ mesi.

Per gli stessi dati sono stati provati due modelli: un adattamento lineare con $r = 0,84$ e un adattamento quadratico con coefficiente di determinazione $r^2 = 0,93$.

1. a) Calcola il coefficiente di determinazione del modello lineare.

1. b) Quale percentuale della variazione di $y$ spiega ciascun modello?

1. c) Quale sceglieresti per fare previsioni? Giustifica la tua risposta.

In una città si osserva una correlazione $r = 0,92$ tra il numero di camion dei vigili del fuoco che intervengono in un incendio e i danni economici che questo provoca. Un politico afferma: «Per ridurre i danni degli incendi, dovremmo mandare meno camion dei vigili del fuoco». Analizza la fallacia del suo ragionamento, individua la variabile che spiega la correlazione e formula una conclusione corretta a partire dallo stesso dato.

Con i dati di una distribuzione bidimensionale in cui $x$ varia tra $10$ e $30$, con $\bar{x} = 20$ e $r = 0,97$, è stata ottenuta una retta di regressione. Due studenti la usano per stimare $y$: uno per $x = 22$ e l'altro per $x = 55$.

1. a) Quale stima è più affidabile? Motiva la risposta usando la posizione di ciascun valore rispetto all'intervallo dei dati e a $\bar{x}$.

1. b) Come si chiama il tipo di previsione che si fa al di fuori dell'intervallo dei dati e perché è rischiosa?

La figura mostra la percentuale di famiglie italiane con connessione in fibra ottica in funzione degli anni trascorsi dal 2015, secondo dati dell'ISTAT.

1. a) Adatta una retta di regressione ai primi cinque dati usando le medie $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 64,6$ e i valori $s_{xy} = 55,2$, $s_x^2 = 8$.

1. b) Prevedi la percentuale per $x = 12$ (anno 2027) con questa retta.

1. c) Osservando la forma della nuvola di punti completa, critica la validità di questa previsione a lungo termine: quale limite naturale ha la variabile e quale tipo di modello sarebbe più sensato?

Uno studente, dopo aver calcolato un coefficiente di correlazione $r = 0,4$, scrive nella sua relazione: «Poiché $r = 0,4$, il $40\,\%$ della variazione di $y$ è dovuto alla variazione di $x$». Individua l'errore concettuale, correggilo calcolando la percentuale corretta e valuta se l'adattamento lineare è adeguato per fare previsioni con quei dati.

In un laboratorio di Fisica si misura il periodo $T$ di un pendolo in funzione della sua lunghezza $L$, e si sospetta una relazione di potenza $T = a \cdot L^b$. Passando ai logaritmi, $\ln T = \ln a + b \cdot \ln L$. I dati linearizzati sono:

1. a) Adatta una retta ai dati linearizzati e scrivi la sua equazione.

1. b) Deduci i valori di $a$ e $b$.

1. c) Confronta il valore ottenuto di $b$ con quello previsto dalla Fisica, $b = \frac{1}{2}$, e commenta il risultato.

Un gruppo di biologi monitora in una zona umida del Delta del Po la diffusione di una specie vegetale invasiva. Si misura la superficie interessata $y$ (in $\text{m}^2$) in funzione del tempo trascorso $x$ (in settimane) dall'inizio del monitoraggio, ottenendo le seguenti misurazioni:

• Dopo $x = 0$ settimane: $y = 10\text{ m}^2$.

• Dopo $x = 2$ settimane: $y = 40\text{ m}^2$.

• Dopo $x = 4$ settimane: $y = 160\text{ m}^2$.

1. a) Osserva l'andamento della variazione dei dati e fai una stima intuitiva di quale superficie occuperà la pianta invasiva dopo $x = 5$ settimane e dopo $x = 6$ settimane, spiegando il ragionamento che hai utilizzato.
2. b) Per verificare matematicamente la tua stima, applica la trasformazione logaritmica $z = \ln y$ alle tre coppie di dati. Dimostra che i punti trasformati $(x, z)$ sono perfettamente allineati su una retta $z = \ln a + x \cdot \ln b$ e calcola i valori esatti dei parametri $a$ e $b$ del modello esponenziale $y = a \cdot b^x$.
3. c) Sostituisci $x = 5$ nel modello analitico ottenuto, verifica se coincide con la tua stima precedente e valuta se questo modello esponenziale resta verosimile per prevedere la superficie occupata dopo un anno intero ($x = 52$ settimane), tenendo conto dei limiti fisici dell'ecosistema.

La Polizia Stradale effettua prove di sicurezza stradale per modellizzare la distanza totale di frenata di emergenza $y$ (in metri) di un'autovettura su asfalto bagnato in funzione della velocità iniziale $x$ (misurata in decine di km/h, cioè $x = 2$ rappresenta $20\text{ km/h}$). I risultati sperimentali sono i seguenti:

• Per $x = 2$: $y = 4\text{ m}$.

• Per $x = 4$: $y = 16\text{ m}$.

• Per $x = 8$: $y = 64\text{ m}$.

1. a) Si sospetta che la relazione risponda a un modello di potenza $y = a \cdot x^b$. Applica la doppia trasformazione logaritmica naturale ($w = \ln x$ e $z = \ln y$) ed esprimi le coordinate trasformate $(w_i, z_i)$ in funzione di $\ln 2$.
2. b) Verifica che i tre punti trasformati appartengono a una stessa retta $z = \ln a + b \cdot w$, calcola algebricamente il suo coefficiente angolare $b$ e la sua ordinata all'origine $\ln a$, e scrivi l'equazione definitiva del modello di potenza $y = f(x)$.
3. c) Interpreta il valore numerico dell'esponente $b$ basandoti sulla fisica (formula dell'energia cinetica, $E_c = \frac{1}{2}m v^2$). Perché questo modello evidenzia che raddoppiare la velocità di guida comporta un aumento molto più drastico del rischio d'impatto?

Il consumo di un'auto elettrica, in $\text{kWh}$ ogni $100\ \text{km}$, è stato misurato a diverse velocità e i dati compaiono nella figura:

1. a) Rappresenta mentalmente (o abbozza) la nuvola di punti e spiega perché un modello quadratico è più adeguato di uno lineare.

1. b) Calcola le somme necessarie $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$, $\sum x_i^4$, $\sum y_i$, $\sum x_i y_i$, $\sum x_i^2 y_i$ e imposta il sistema dell'adattamento quadratico.

1. c) Risolvi il sistema e scrivi l'equazione della parabola di regressione (arrotonda i coefficienti a quattro decimali).

1. d) Trova la velocità di consumo minimo secondo il modello e prevedi il consumo a $140\ \text{km/h}$, valutando l'affidabilità di questa previsione.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In vari distretti di una regione europea si è osservata una correlazione $r = 0,85$ tra il numero di cicogne censite e il numero di nascite registrate.

1. a) Spiega perché sarebbe assurdo concludere che le cicogne «portano» i bambini, identificando il tipo di correlazione che presenta questo esempio.

1. b) Proponi una variabile nascosta plausibile che spieghi la correlazione e spiega come agisce su entrambe le variabili.

1. c) Progetta brevemente quali dati raccoglieresti e quale calcolo faresti per smascherare la relazione spuria.

In una distribuzione bidimensionale, la retta di regressione di $y$ su $x$ ha coefficiente angolare $m_{yx} = 1,2$ e la retta di regressione di $x$ su $y$ ha coefficiente angolare $m_{xy} = 0,75$.

1. a) Utilizzando la relazione $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$, calcola il coefficiente di determinazione.

1. b) Deduci il valore del coefficiente di correlazione $r$, motivandone il segno.

1. c) Interpreta il valore di $r^2$ come percentuale di variazione spiegata e valuta l'affidabilità delle previsioni fatte con quelle rette.

La superficie di un lago coperta da una pianta invasiva è stata misurata per $5$ mesi:

1. a) Rappresenta le coppie $(x, \ln y)$, verifica che si allineano ragionevolmente e adatta una retta ai dati linearizzati (prendi $\ln y$ con due decimali).

1. b) Scrivi il modello esponenziale $y = a \cdot b^x$ corrispondente e calcola il tasso di crescita mensile in percentuale.

1. c) Prevedi la superficie coperta nel mese $8$ e, sapendo che il lago ha $1.500\ \text{m}^2$, commenta quale problema presenta l'estrapolazione di questo modello a lungo termine.

Per modellizzare la traiettoria di un proiettile in una prova balistica si prende un campione di $N = 5$ punti con ascisse simmetriche rispetto all'origine: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 1$ e $x_5 = 2$. Si vuole adattare una parabola ai minimi quadrati $y = ax^2 + bx + c$, il cui sistema generale di equazioni normali è:

1. a) Calcola le somme $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$ e $\sum x_i^4$. Spiega quale proprietà della simmetria delle $x_i$ fa sì che il parametro $b$ risulti completamente disaccoppiato da $a$ e $c$, semplificando il sistema di 3 equazioni in due blocchi indipendenti.
2. b) Imposta il problema inverso: si vuole che la curva adattata abbia vertice in $(0, 4)$ con concavità verso il basso, risultando esattamente il modello $y = -0,5x^2 + 4$. Se la somma delle ordinate osservate è $\sum y_i = 15$, deduci quale valore esatto deve assumere la somma pesata $\sum x_i^2 y_i$ affinché il modello soddisfi il sistema dei minimi quadrati.
3. c) Costruisci una tabella con cinque valori concreti $(x_i, y_i)$ che soddisfino contemporaneamente la simmetria $y_1 = y_5$, $y_2 = y_4$, $\sum y_i = 15$ e che si adattino a tale parabola. Se calcolassi il tradizionale coefficiente di correlazione lineare $r$ per quei 5 punti, quale valore esatto otterresti? Spiega l'apparente paradosso tra il valore di $r$ e la forza della dipendenza funzionale esistente.

Uno studio dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) sullo sviluppo socioeconomico nei comuni dell'Italia rurale analizza la relazione tra la copertura in fibra ottica ($x$, in $\%$ di famiglie connesse) e la produttività agricola media ($y$, in migliaia di euro per azienda all'anno). Per adattare i dati di 50 comuni, un gruppo di econometria prova due linearizzazioni logaritmiche:

• Opzione 1 (regressione di $\ln y$ su $x$): ottiene la retta $z = 1,38 + 0,02 x$ con coefficiente di determinazione $R_1^2 = 0,82$.

• Opzione 2 (regressione di $\ln y$ su $\ln x$): ottiene la retta $z = 0,69 + 0,55 w$ (dove $w = \ln x$) con coefficiente di determinazione $R_2^2 = 0,95$.

1. a) Annulla algebricamente le trasformazioni e scrivi l'espressione esplicita $y = f(x)$ che corrisponde a ciascuno dei due modelli (puoi approssimare a due cifre decimali i coefficienti che coinvolgono potenze di $e$).
2. b) Analizza il comportamento del tasso di crescita della produttività nei due modelli quando la copertura in fibra $x$ diventa molto grande. Giustifica quale dei due riflette meglio il principio economico dei rendimenti decrescenti (per cui ogni punto percentuale in più di copertura apporta un incremento di produttività sempre minore) e confrontalo con il criterio statistico fornito dal coefficiente $R^2$.
3. c) Il sindaco di un comune conclude in consiglio comunale: «Poiché il modello di potenza ha un adattamento eccellente di $R^2 = 0,95$, investire tutto il bilancio disponibile per raggiungere il $100\,\%$ di fibra ottica garantirà direttamente che la produttività dei nostri agricoltori raggiunga il massimo previsto». Fai una critica metodologica di questa conclusione analizzando perché una correlazione non implica causalità e indicando almeno due variabili nascoste (o fattori di confondimento) che probabilmente spiegano contemporaneamente un'alta connettività e un'alta produttività.