Esercizi: Equazioni di secondo grado

Risolvi la seguente equazione di secondo grado completa applicando la formula risolutiva:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Trova le soluzioni della seguente equazione di secondo grado spuria, raccogliendo a fattor comune:

$3x^2 - 12x = 0$

Risolvi la seguente equazione di secondo grado pura ricavando direttamente l'incognita:

$2x^2 - 18 = 0$

Senza risolvere l'equazione, determina il numero di soluzioni reali che ha calcolando il valore del suo discriminante:

$5x^2 - 3x + 2 = 0$

Data l'equazione $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcola la somma e il prodotto delle sue radici utilizzando le relazioni tra coefficienti e radici, senza risolvere l'equazione.

Marco deve risolvere in un compito in classe l'equazione quadratica $5x^2 - 15x = 0$. Sul suo foglio scrive il seguente svolgimento:

1) Trasporto il termine: $5x^2 = 15x$.

2) Divido entrambi i membri per $x$: $\frac{5x^2}{x} = \frac{15x}{x} \implies 5x = 15$.

3) Ricavo l'incognita: $x = \frac{15}{5} = 3$.

Conclusione di Marco: «L'unica soluzione dell'equazione è $x = 3$».

1. a) Individua e spiega con precisione algebrica l'errore commesso da Marco nel passaggio 2 e quale conseguenza diretta ha sul numero di soluzioni trovate.
2. b) Risolvi correttamente l'equazione raccogliendo a fattor comune e giustifica perché la legge di annullamento del prodotto ($A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ o } B = 0$) garantisce che non si perda nessuna soluzione.

Date le seguenti tre equazioni di secondo grado:

(A) $3x^2 - 75 = 0$

(B) $2x^2 + 8x = 0$

(C) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Un compagno afferma che la strategia più sicura e rapida consiste nell'applicare sistematicamente la formula risolutiva $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ a tutte e tre allo stesso modo.

1. a) Confronta, per ciascuna delle equazioni, l'uso della formula risolutiva con il metodo specifico più diretto (estrazione della radice quadrata, scomposizione mediante raccoglimento a fattor comune o relazioni tra coefficienti e radici con il calcolo mentale). Giustifica con ragionamento quale metodo minimizza il rischio di commettere errori di calcolo in ciascun caso.
2. b) Risolvi ciascuna delle equazioni applicando il procedimento ottimale che hai giustificato.

In un esperimento di fisica viene lanciato verticalmente verso l'alto un razzo ad acqua. La sua altezza $h$ in metri rispetto al suolo, in funzione del tempo $t$ in secondi, è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina in quale istante o in quali istanti il razzo si trova esattamente a $17$ metri di altezza.

Determina il valore (o i valori) del parametro $k$ affinché l'equazione $x^2 - kx + 9 = 0$ abbia un'unica soluzione reale doppia.

Si vuole incorniciare una fotografia alta $20 \text{ cm}$ e larga $30 \text{ cm}$ con una cornice di legno di larghezza uniforme $x$. Se l'area totale della cornice (esclusa la fotografia) è di $216 \text{ cm}^2$, imposta un'equazione e trova la larghezza della cornice.

Il prodotto di due numeri interi dispari consecutivi è $323$. Imposta un'equazione di secondo grado e risolvila per trovare quali sono i due numeri. Esiste più di una coppia possibile?

Nell'equazione parametrica $2x^2 + mx + 15 = 0$ si sa che una delle soluzioni è $x = 3$. Senza usare la formula risolutiva, calcola il valore del parametro $m$ e trova l'altra soluzione.

Considera l'equazione di secondo grado $x^2 - 19x + 84 = 0$.

1. a) Senza calcolare il discriminante né applicare la formula risolutiva, usa le relazioni tra radici e coefficienti ($x_1 + x_2 = 19$, $x_1 \cdot x_2 = 84$) per stimare e delimitare in modo motivato tra quali valori devono trovarsi le soluzioni. Deduci prima il segno di entrambe le radici e prova con coppie di numeri interi poste a distanze simmetriche rispetto alla metà della somma ($9,5$) fino a proporre una stima fondata delle soluzioni.
2. b) Risolvi formalmente l'equazione con la formula risolutiva e confronta il risultato ottenuto con la tua stima iniziale. Spiega perché conoscere in anticipo la somma e il prodotto delle radici permette di individuare subito eventuali errori di calcolo nella risoluzione.

L'agenzia meteorologica registra, durante una giornata di allerta caldo a Bologna, che la temperatura $T$ (in gradi Celsius) a partire dalle 12:00 è modellizzata dalla funzione $T(t) = -t^2 + 8t + 28$, dove $t$ rappresenta il tempo trascorso in ore dalle 12:00 ($t \in [0, 8]$).

1. a) Il piano comunale di emergenza prevede misure preventive per il lavoro all'aperto quando la temperatura raggiunge o supera i $43\text{ }^\circ\text{C}$. Imposta la corrispondente equazione di secondo grado e determina a quali ore esatte del pomeriggio tali misure vengono attivate e disattivate.
2. b) Un rapporto preliminare afferma che in qualche momento del pomeriggio si raggiungeranno i $46\text{ }^\circ\text{C}$. Senza risolvere l'equazione completa associata a quel valore, analizza il segno del suo discriminante e concludi in modo motivato se tale affermazione è plausibile secondo il modello termico.

Discuti il numero di soluzioni reali dell'equazione $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ al variare dei diversi valori che può assumere il parametro $m$.

In un triangolo rettangolo di cateti $6 \text{ cm}$ e $8 \text{ cm}$ si inscrive un rettangolo in modo che due dei suoi lati stiano sui cateti e uno dei suoi vertici sull'ipotenusa. Se l'area del rettangolo deve essere esattamente $12 \text{ cm}^2$, imposta un'equazione di secondo grado e trova le possibili dimensioni del rettangolo.

Risolvi la seguente equazione di quarto grado effettuando un'opportuna sostituzione di variabile per trasformarla in un'equazione di secondo grado:

$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$

Un gruppo di amici decide di noleggiare una barca a vela per il fine settimana per un costo totale di $360$ euro, che concordano di pagare in parti uguali. All'ultimo momento due degli amici non possono partecipare, e gli altri devono quindi pagare $9$ euro in più ciascuno per coprire il costo totale. Imposta un'equazione riconducibile al secondo grado per determinare quanti amici formavano il gruppo originario.

Si vuole determinare un'equazione di secondo grado monica ($x^2 + bx + c = 0$, con $b, c \in \mathbb{R}$) le cui soluzioni incognite $x_1$ e $x_2$ verifichino contemporaneamente due condizioni algebriche:

1) La distanza tra le due radici sulla retta reale è uguale a $4$ ($|x_1 - x_2| = 4$).

2) La somma dei loro inversi è $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{2}{3}$.

1. a) Basandoti sulle relazioni tra radici e coefficienti e usando l'identità algebrica $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 \cdot x_2$, imposta un sistema che metta in relazione direttamente i coefficienti $b$ e $c$ senza calcolare in anticipo le singole radici.
2. b) Risolvi il sistema per dedurre quante equazioni di secondo grado distinte soddisfano contemporaneamente entrambi i requisiti. Scrivi ciascuna delle equazioni ottenute, trova le rispettive soluzioni e verifica che soddisfino le condizioni originarie.

Un treno ad alta velocità di Trenitalia percorre il tragitto diretto tra Roma e Napoli, separate da una distanza ferroviaria di $390\text{ km}$. In condizioni normali il convoglio viaggia a una velocità media costante $v$ (espressa in $\text{km/h}$). A causa di una limitazione temporanea di velocità imposta da lavori all'infrastruttura, in una certa giornata il treno riduce la sua velocità media di $65\text{ km/h}$, il che provoca un ritardo esattamente di $30\text{ minuti}$ ($0,5\text{ h}$) rispetto all'orario previsto.

1. a) Modellizza la situazione mettendo in relazione distanza, velocità e tempi di viaggio mediante un'equazione algebrica nell'incognita $v$ e trasformala passo dopo passo in un'equazione di secondo grado della forma $a v^2 + b v + c = 0$.
2. b) Risolvi l'equazione ottenuta per trovare la velocità abituale $v$ del convoglio. Giustifica con un rigoroso argomento fisico perché una delle due soluzioni matematiche del problema va scartata.
3. c) Calcola il tempo impiegato dal treno in condizioni normali e quello impiegato nel giorno della limitazione temporanea, verificando che la differenza coincida con i dati del testo.