Esercizi: Equazioni con radicali

Risolvi la seguente equazione irrazionale e verifica la validità della soluzione ottenuta:

$\sqrt{3x - 2} = 4$

Determina il valore di $x$ che soddisfa la seguente equazione irrazionale:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Risolvi la seguente equazione che contiene una radice di indice superiore:

$\sqrt[3]{5x - 4} = -1$

Trova la soluzione dell'equazione uguagliando i due radicali e verifica il risultato:

$\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$

Il tempo $t$ (in secondi) che un oggetto impiega a cadere liberamente da un'altezza $h$ (in metri) è dato dalla formula fisica $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcola da quale altezza è stata lasciata cadere una pietra se ha impiegato esattamente $3$ secondi per arrivare al suolo.

Trova i valori di $x$ che verificano la seguente uguaglianza con frazioni nel radicando:

$\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$

Il raggio $r$ della base di un cilindro di volume $V$ e altezza $h$ si calcola con l'espressione $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Se un contenitore cilindrico alto $15\text{ cm}$ ha un volume di $471\text{ cm}^3$, imposta la relativa equazione e trova il raggio della sua base (usa l'approssimazione $\pi \approx 3,14$).

Risolvi la seguente equazione irrazionale e spiega perché una delle possibili soluzioni algebriche ottenute dopo aver elevato al quadrato non è accettabile:

$x - \sqrt{x + 1} = 5$

Lucia sta risolvendo l'equazione irrazionale $\sqrt{3x + 1} = x - 1$ e mostra alla lavagna i seguenti passaggi:

1) Eleva al quadrato entrambi i membri: $(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2 \implies 3x + 1 = x^2 - 2x + 1$.

2) Raggruppa i termini: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0$.

3) Conclude: «Le soluzioni dell'equazione sono $x = 0$ e $x = 5$».

1. a) Indica l'errore concettuale commesso da Lucia nella sua conclusione e spiega perché l'operazione di elevare al quadrato i membri interi può introdurre valori che non risolvono l'equazione di partenza.
2. b) Scrivi la risoluzione completa e corretta, verificando rigorosamente ogni candidato nell'equazione originale per determinare l'insieme finale delle soluzioni accettabili.

Considera l'equazione con un radicale $\sqrt{5x - 4} = x - 2$:

1. a) Senza elevare al quadrato, deduci un limite inferiore per l'incognita tenendo conto che il radicale aritmetico assume valori non negativi e che, quindi, deve valere $x - 2 \ge 0$. A partire da tale limite, stima quale tra i numeri interi $x = 1$, $x = 4$ o $x = 8$ può essere la soluzione reale, valutando mentalmente entrambi i membri.
2. b) Risolvi algebricamente l'equazione isolando il radicale ed elevando al quadrato entrambi i membri.
3. c) Verifica i valori ottenuti nell'equazione di partenza e spiega come la tua stima preliminare permettesse di scartare in anticipo la soluzione falsa generata dal metodo algebrico.

Risolvi la seguente equazione irrazionale che contiene due radicali:

$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Calcola la coordinata $x$ alla quale deve trovarsi un punto $P(x, 4)$ dal punto $A(-2, 1)$ affinché la distanza euclidea tra i due sia esattamente di $5$ unità. Imposta la relativa equazione irrazionale usando la formula della distanza e risolvila.

Il costo di produzione $C$ (in migliaia di euro) di fabbricare $x$ unità di un componente elettronico di alta precisione segue il modello matematico $C(x) = 12 + \sqrt{5x + 4}$. Se il budget esatto destinato alla produzione di questo lotto è di $25$ migliaia di euro, quante unità si possono fabbricare?

Trova le soluzioni reali della seguente equazione irrazionale isolando opportunamente uno dei radicali prima di elevare al quadrato:

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 4} = 6$

Il periodo $T$ di oscillazione di un pendolo semplice (in secondi) è legato alla sua lunghezza $L$ (in metri) dall'espressione fisica $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Considerando l'accelerazione di gravità pari a $g \approx \pi^2\text{ m/s}^2$, imposta l'equazione e trova la lunghezza di un pendolo il cui periodo di oscillazione è esattamente di $2,5$ secondi.

Trova le soluzioni reali della seguente equazione che contiene un radicale doppio (un radicale dentro un altro):

$\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$

Risolvi la seguente equazione irrazionale. Ti sarà più semplice se applichi un'opportuna sostituzione di variabile, ad esempio $t = \sqrt{x^2 - 2}$:

$x^2 - 3\sqrt{x^2 - 2} = 6$

In un progetto di architettura si progetta una rampa di accesso appoggiata a un muro verticale alto $12\text{ m}$. La lunghezza della rampa è $\sqrt{x^2 + 144}$ e la distanza orizzontale dall'inizio della rampa alla base del muro è $x$. Se per norma di sicurezza e pendenza la rampa deve misurare esattamente $4\text{ m}$ in più della distanza orizzontale $x$, imposta e risolvi l'equazione irrazionale per trovare $x$.

Costruisci un'equazione con un radicale della forma $\sqrt{a \cdot x + b} = x - 2$, dove $a$ e $b$ siano numeri interi, che soddisfi contemporaneamente queste due condizioni:

1) Elevando al quadrato entrambi i membri e trasportando i termini, l'equazione di secondo grado risultante abbia come candidati soluzione $x = 7$ e $x = -1$.

2) Verificando tali candidati nell'equazione originale con il radicale, $x = 7$ sia una soluzione valida e $x = -1$ risulti una soluzione spuria (falsa).

Spiega in modo deduttivo come determini i valori dei coefficienti $a$ e $b$ a partire dalla somma e dal prodotto delle radici dell'equazione di secondo grado, scrivi l'equazione definitiva ed effettua la verifica esplicita di entrambi i valori nell'equazione costruita.

Nei lavori di ammodernamento di una stazione di pompaggio di un consorzio di bonifica, due paratoie regolatrici di portata registrano letture di livello legate dalla seguente equazione con due radicali:

$\sqrt{2x + 15} - \sqrt{x - 1} = 3$

dove $x$ rappresenta il livello di sicurezza del bacino in decimetri ($x \ge 1$).

1. a) Imposta e risolvi l'equazione isolando opportunamente un radicale e sviluppando le due elevazioni al quadrato necessarie.
2. b) Verifica la validità dei candidati ottenuti sostituendoli nell'equazione originale.
3. c) A differenza di quanto accade di solito nelle equazioni irrazionali con due elevazioni al quadrato, analizza e giustifica perché in questo caso entrambi i valori numerici risultano soluzioni reali valide, prestando particolare attenzione al segno dei membri subito prima della seconda elevazione al quadrato.

Risolvi la seguente equazione irrazionale che contiene tre radicali. Fai particolare attenzione al raggruppamento dei termini dopo la prima elevazione al quadrato:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Un cavo in fibra ottica deve collegare due torri di comunicazione $A$ e $B$ alte rispettivamente $15\text{ m}$ e $20\text{ m}$, passando per un punto di ancoraggio $P$ posto a terra tra le due torri. La distanza orizzontale tra le torri è di $35\text{ m}$. Se il punto $P$ si trova a $x$ metri dalla torre $A$, la lunghezza totale del cavo è data da $L = \sqrt{x^2 + 225} + \sqrt{(35 - x)^2 + 400}$. Se si dispone esattamente di $50\text{ m}$ di cavo e lo si vuole usare per intero senza tagli, determina a quale distanza $x$ deve essere posto l'ancoraggio $P$.

Determina il valore numerico del parametro $k$ affinché l'equazione irrazionale $\sqrt{x + k} = x - 1$ abbia un'unica soluzione reale valida di molteplicità uno. Motiva la tua risposta analizzando il discriminante dell'equazione di secondo grado risultante e le condizioni di validità del radicale.

Risolvi la seguente equazione che combina le proprietà dei valori assoluti con espressioni irrazionali. Considera con attenzione i casi del valore assoluto:

$|\sqrt{3x + 1} - 4| = 2$

Risolvi la seguente equazione irrazionale con radici di indici diversi. Ti sarà di grande aiuto effettuare la sostituzione $t = \sqrt[6]{x}$:

$\sqrt{x} - 7\sqrt[3]{x} + 12\sqrt[6]{x} = 0$

La teoria della relatività ristretta stabilisce che la massa relativistica $m$ di un oggetto in movimento è data dall'equazione $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, dove $m_0$ è la massa a riposo, $v$ è la velocità dell'oggetto e $c$ è la velocità della luce nel vuoto. Ricava algebricamente la velocità $v$ in funzione di $m$, $m_0$ e $c$. Poi calcola a quale frazione della velocità della luce $c$ deve viaggiare un'astronave affinché la sua massa relativistica sia esattamente il doppio della sua massa a riposo.

Discuti e risolvi il seguente sistema di equazioni non lineare che coinvolge radicali. Puoi sfruttare la struttura algebrica della seconda equazione (differenza di quadrati) per semplificare il procedimento:

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Dimostra algebricamente e in modo motivato perché l'equazione irrazionale $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali. Basa la tua dimostrazione sull'analisi del dominio di definizione dei radicali coinvolti, senza elevare al quadrato i due membri.

Per risolvere l'equazione con radicali di indice diverso $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[4]{2x - 1} = 6$, due compagni di classe propongono strategie differenti:

• Metodo di Marco: isolare la radice quadrata, $\sqrt{2x - 1} = 6 - \sqrt[4]{2x - 1}$, elevare al quadrato entrambi i membri, isolare la radice quarta risultante ed elevare di nuovo alla quarta potenza per eliminare tutti i radicali.

• Metodo di Sara: definire l'incognita ausiliaria $t = \sqrt[4]{2x - 1}$, esprimere l'equazione in funzione di $t$, risolvere l'equazione polinomiale risultante e tornare alla variabile di partenza.

1. a) Analizza e confronta i due percorsi: indica con una motivazione il grado dell'equazione polinomiale che otterrebbe Marco dopo le sue elevazioni successive e argomenta quale dei due metodi sia più efficiente e sicuro per evitare errori di calcolo e radici spurie di grado alto.
2. b) Risolvi l'equazione applicando il metodo di Sara. Giustifica perché una delle soluzioni ottenute per $t$ deve essere scartata subito, prima di calcolare $x$, e trova l'unica soluzione reale dell'equazione.

Nella progettazione del sistema di frenata di un prototipo di tram a Torino, la distanza di arresto $x$ (in metri, con $x \ge -2,5$) rispetto a una boa di controllo è regolata dall'equazione con valore assoluto e radicale:

$|\sqrt{2x + 5} - 4| = k$

dove $k$ è una costante fisica di calibrazione ($k \ge 0$).

1. a) Per la particolare regolazione $k = 1$, scomponi l'equazione in due equazioni con radicali secondo la definizione di valore assoluto, risolvile e verifica le soluzioni valide di $x$.
2. b) Svolgi una discussione completa del numero di soluzioni reali dell'equazione al variare dei valori del parametro $k \ge 0$. Determina gli intervalli o i valori esatti di $k$ per i quali l'equazione ha:

• Esattamente due soluzioni reali distinte.

• Esattamente una soluzione reale.

• Nessuna soluzione reale.

1. c) Giustifica le tue deduzioni mettendo in relazione il codominio del radicale aritmetico $\sqrt{2x + 5} \ge 0$ con l'interpretazione geometrica del valore assoluto come distanza dal valore $4$ sulla retta reale.