Esercizi: Equazioni razionali

Risolvi la seguente equazione razionale, indicando chiaramente le soluzioni valide:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$

Trova i valori di $x$ che verificano la seguente uguaglianza:

$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$

Determina la soluzione dell'equazione, prestando attenzione ai valori che annullano i denominatori:

$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$

Calcola i valori reali di $x$ per i quali vale la seguente espressione:

$\frac{x^2-9}{x-3} = 6$

Risolvi l'equazione razionale riducendo prima a denominatore comune:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$

Trova le soluzioni della seguente equazione:

$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$

Determina il numero reale $x$ che soddisfa l'uguaglianza tra queste due frazioni algebriche:

$\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x+3}$

Risolvi la seguente equazione razionale:

$\frac{2}{x+3} + \frac{x}{x-3} = 1$

Marco deve risolvere in classe la seguente equazione razionale:

Sul quaderno scrive i seguenti passaggi:

1. Scompone in fattori il denominatore a destra: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$.

2. Moltiplica tutta l'equazione per $(x-3)(x+1)$ e semplifica: $x(x+1) - 3(x-3) = 12$.

3. Sviluppa e riduce i termini: $x^2 + x - 3x + 9 = 12 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.

4. Applica la formula risolutiva e ottiene $x = 3$ e $x = -1$.

5. Conclude: «L'equazione ha due soluzioni reali: $x_1 = 3$ e $x_2 = -1$».

Individua l'errore concettuale commesso da Marco, spiega con rigore matematico perché la sua conclusione finale è falsa verificando cosa accade sostituendo quei valori nell'equazione originale e determina qual è il vero insieme delle soluzioni.

Per risolvere l'equazione razionale:

due studenti propongono strategie diverse prima di operare:

• Alba propone di moltiplicare direttamente ogni termine per il prodotto dei due denominatori visibili, $(x-1)\cdot(x^2-1)$, per non dover scomporre in fattori.

• Matteo insiste sul fatto che prima si deve scomporre $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ per moltiplicare tutta l'equazione soltanto per il minimo comune multiplo, $(x-1)(x+1)$.

Confronta i due percorsi: giustifica quali inconvenienti algebrici (grado dell'equazione risultante, quantità di calcoli e possibile comparsa di soluzioni estranee) presenta la proposta di Alba rispetto a quella di Matteo. Poi risolvi l'equazione applicando il metodo ottimale, indicando le condizioni iniziali sul dominio e verificando la validità delle soluzioni ottenute.

Risolvi l'equazione razionale scomponendo prima in fattori i denominatori per trovare il minimo comune multiplo:

$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$

Due stampanti 3D che lavorano insieme impiegano $6$ ore per realizzare un intero lotto di pezzi per un progetto di ingegneria. Se lavorassero separatamente, la stampante A impiegherebbe $5$ ore in meno della stampante B per completare lo stesso lotto. Imposta un'equazione razionale e determina quanto tempo impiegherebbe la stampante A lavorando da sola.

Un treno merci deve percorrere una distanza di $300\text{ km}$. Se aumentasse la sua velocità media di $10\text{ km/h}$, impiegherebbe $1$ ora in meno per compiere l'intero tragitto. Imposta un'equazione razionale e calcola la velocità media alla quale viaggia inizialmente il treno.

Trova le soluzioni della seguente equazione, scartando quelle che risultano false (soluzioni estranee):

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$

Un gruppo di studenti noleggia un autobus per una gita a un prezzo totale di $400\text{ \euro}$. All'ultimo momento si iscrivono al viaggio altri $5$ studenti, per cui ciascuno di quelli che dovevano andare inizialmente paga $4\text{ \euro}$ in meno. Imposta un'equazione razionale per calcolare quanti studenti formavano il gruppo originario.

Risolvi l'equazione semplificando le frazioni algebriche:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$

Un grafico pubblicitario sta creando un manifesto rettangolare la cui area deve essere esattamente $600\text{ cm}^2$. Se aumentasse la base del manifesto di $10\text{ cm}$ e riducesse l'altezza di $5\text{ cm}$, l'area totale rimarrebbe la stessa. Imposta un'equazione razionale e determina le dimensioni originarie del manifesto.

Trova i valori di $x$ che verificano la seguente equazione:

$\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$

Dopo piogge torrenziali provocate da una DANA nel bacino del Po, i vigili del fuoco devono svuotare l'acqua accumulata in un sottopassaggio. L'abituale motopompa comunale impiegherebbe $6\text{ ore}$ a svuotarlo da sola. Aggiungendo una seconda motopompa più moderna di rinforzo, le due pompe funzionando contemporaneamente riescono a svuotarlo completamente in $2,4\text{ ore}$.

1. a) Stima e ragiona: prima di impostare qualsiasi equazione, giustifica perché il tempo che impiegherebbe da sola la pompa moderna deve essere necessariamente minore di $6\text{ ore}$ ma strettamente maggiore di $2,4\text{ ore}$. Inoltre, spiega se ti aspetti che impieghi più o meno di $3\text{ ore}$, confrontando le $2,4\text{ ore}$ con il tempo che impiegherebbero insieme se la pompa moderna impiegasse esattamente $3\text{ ore}$.
2. b) Imposta l'equazione razionale del lavoro congiunto per ora, prendendo come incognita $t$ (tempo in ore che impiegherebbe da sola la pompa di rinforzo), indicando le condizioni di esistenza della variabile.
3. c) Risolvi l'equazione e verifica se il tuo risultato esatto coincide con la stima che hai fatto.

Un appassionato di ciclismo fa un allenamento di andata e ritorno su un tratto pianeggiante di $20\text{ km}$ all'andata e $20\text{ km}$ al ritorno ($40\text{ km}$ in totale) in Pianura Padana. Secondo i dati di una stazione meteorologica vicina, ha soffiato un vento costante di $5\text{ km/h}$ nella direzione della strada per tutta la giornata, così che all'andata ha pedalato con vento a favore e al ritorno con vento contrario. Il ciclista ha completato il percorso totale in esattamente $3\text{ ore}$, mantenendo uno sforzo costante (la stessa velocità media $v$ che avrebbe senza vento).

1. a) Modella la situazione impostando un'equazione razionale in cui l'incognita sia $v$ (in $\text{km/h}$), esprimendo il tempo di andata e il tempo di ritorno in funzione di $v$.
2. b) Determina le condizioni di esistenza: quale condizione fisica e algebrica minima deve soddisfare la velocità $v$ affinché il ciclista possa tornare contro il vento?
3. c) Risolvi l'equazione per trovare $v$ e calcola separatamente il tempo esatto impiegato all'andata e al ritorno.

Data l'equazione razionale con parametro $a$:

$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$

Determina per quali valori del parametro $a$ l'equazione ha infinite soluzioni e per quali non ha alcuna soluzione.

In un circuito elettronico si collegano due resistenze in parallelo. La resistenza equivalente dell'insieme, $R_{eq}$, si calcola mediante la formula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Si sa che il valore della resistenza $R_2$ è $5\ \Omega$ maggiore di quello di $R_1$ e che la resistenza equivalente del circuito è $6\ \Omega$. Imposta e risolvi un'equazione razionale per trovare il valore di entrambe le resistenze.

Una barca a motore percorre un tragitto su un fiume, percorrendo $24\text{ km}$ a favore di corrente e poi tornando al punto di partenza controcorrente. Il tempo totale di navigazione è stato $5\text{ ore}$. Se la velocità della corrente del fiume è $2\text{ km/h}$, imposta un'equazione razionale per calcolare la velocità della barca in acque ferme.

Risolvi la seguente equazione razionale, scomponendo prima in fattori i denominatori per operare con il minimo comune multiplo:

$\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-7x+12} = \frac{2}{x^2-6x+8}$

Risolvi la seguente equazione razionale effettuando il cambio di variabile $t = \frac{x^2+1}{x}$:

$\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$

In un laboratorio si hanno $50\text{ L}$ di una soluzione salina con una concentrazione iniziale di $0,04\text{ kg/L}$. Si vuole far evaporare acqua dalla miscela a un ritmo costante per aumentarne la concentrazione (la quantità di sale rimane invariata). Se evaporano $x\text{ L}$ di acqua, la nuova concentrazione deve essere $0,1\text{ kg/L}$. Imposta l'equazione razionale corrispondente e calcola la quantità di acqua che deve evaporare.

Determina tutte le soluzioni reali dell'equazione, semplificando le frazioni algebriche con i prodotti notevoli prima di operare:

$\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{x^3+1}{x+1} + 3$

Due pali verticali di altezze $x$ e $x+2$ metri sono separati da una certa distanza su un terreno pianeggiante. Si tendono due cavi rettilinei e tesi dalla sommità di ciascun palo fino alla base del palo opposto. Il punto in cui i cavi si incrociano si trova a un'altezza di $2,4\text{ m}$ dal suolo. Sapendo che l'altezza dell'incrocio $h$ soddisfa la relazione geometrica $\frac{1}{h} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}$ (dove $h_1$ e $h_2$ sono le altezze dei pali), imposta un'equazione razionale e calcola l'altezza di entrambi i pali.

Costruisci, motivando, un'equazione razionale che soddisfi rigorosamente tutte le seguenti condizioni:

1. Deve contenere almeno due frazioni algebriche con denominatori diversi non costanti.

2. Gli unici valori esclusi dal dominio dell'equazione devono essere $x = -2$ e $x = 3$.

3. Applicando il procedimento standard (moltiplicare tutta l'equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori per eliminare le frazioni), l'equazione polinomiale di secondo grado risultante deve avere come soluzioni candidate $x = 3$ e $x = 5$.

4. Confrontando con le condizioni di esistenza, il valore $x = 3$ deve essere scartato in quanto soluzione falsa o estranea, risultando $x = 5$ l'unica soluzione valida dell'equazione.

Mostra passo dopo passo la deduzione inversa per costruire tale equazione (partendo dalle radici cercate e ricostruendo le frazioni algebriche) e risolvi formalmente l'equazione ottenuta per dimostrare che soddisfa tutte le condizioni richieste.

Considera la seguente equazione razionale dipendente dal parametro reale $k$:

Davide la risolve alla lavagna con questo procedimento:

1. Scompone il denominatore $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ e moltiplica tutto per tale minimo comune multiplo: $k(x+2) + 2(x-1) = x+5$.

2. Sviluppa e raggruppa i termini: $kx + 2k + 2x - 2 = x + 5 \implies (k+1)x = 7 - 2k$.

3. Ricava l'incognita: $x = \frac{7-2k}{k+1}$.

Davide conclude: «Per qualsiasi valore reale di $k$, l'equazione ha sempre un'unica soluzione data da questa formula».

1. a) Indica i due gravi errori di ragionamento commessi da Davide: uno di carattere algebrico nel ricavare l'incognita in presenza di un parametro e l'altro relativo alla definizione e al dominio delle funzioni razionali.
2. b) Esegui una discussione completa e rigorosa in funzione del parametro $k$: precisa per quali valori di $k$ l'equazione non ha soluzione (spiegando il motivo in ogni caso), per quali ha un'unica soluzione valida e se esiste qualche valore di $k$ per cui abbia infinite soluzioni.