Esercizi: Equazioni irrazionali

Risolvi la seguente equazione irrazionale e verifica la validità della soluzione:

$\sqrt{4x + 9} = 5$

Trova il valore di $x$ che soddisfa la seguente equazione con una radice cubica:

$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$

Determina le possibili soluzioni dell'equazione di secondo grado sotto il radicale:

$\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$

Risolvi l'equazione irrazionale isolando il radicale ed elevando al quadrato. Presta particolare attenzione alle possibili soluzioni estranee:

$\sqrt{2x + 15} = x$

Trova la soluzione uguagliando i radicandi della seguente equazione:

$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$

Ricava l'incognita $x$ nell'equazione irrazionale che contiene una frazione nel radicando:

$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$

In cinematica, il tempo $t$ (in secondi) che un oggetto impiega a cadere liberamente da un'altezza $h$ (in metri) è dato dalla formula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcola da quale altezza è stata lasciata cadere una pietra se ha impiegato esattamente $4$ secondi per arrivare al suolo.

La diagonale $d$ di un rettangolo si può calcolare a partire dai suoi lati $b$ e $h$ usando il teorema di Pitagora: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Se sappiamo che la diagonale misura $13$ cm e uno dei suoi lati misura $5$ cm, imposta l'equazione irrazionale corrispondente e calcola la lunghezza dell'altro lato.

Luca ha risolto alla lavagna l'equazione irrazionale $\sqrt{2x - 3} = x - 3$ seguendo questi passaggi:

1) Eleva al quadrato entrambi i membri: $2x - 3 = (x - 3)^2 \implies 2x - 3 = x^2 - 6x + 9$.

2) Raggruppa i termini in un solo membro: $x^2 - 8x + 12 = 0$.

3) Applica la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado e ottiene due soluzioni: $x_1 = 6$ e $x_2 = 2$.

4) Conclude: «L'insieme finale delle soluzioni dell'equazione è $\{2, 6\}$».

1. a) Senza risolvere l'equazione da zero, individua l'errore commesso da Luca e spiega con un ragionamento perché l'operazione di elevare al quadrato può introdurre valori che non soddisfano l'uguaglianza originale.
2. b) Verifica entrambi i valori nell'equazione di partenza e determina qual è l'unica soluzione reale valida.

Data l'equazione irrazionale $\sqrt{2x + 1} = x - 1$:

1. a) Prima di operare algebricamente, analizza le restrizioni di segno: deduci per quali valori di $x$ esiste la radice quadrata in $\mathbb{R}$ e per quali il membro di destra è non negativo. In questo modo, delimita l'intervallo della retta reale in cui è possibile trovare soluzioni.
2. b) Valuta mentalmente i valori $x = 0$, $x = 2$ e $x = 4$. In base a questa valutazione, stima tra quali numeri interi deve trovarsi la soluzione reale e argomenta se può esserci una soluzione minore di $1$.
3. c) Risolvi l'equazione elevando al quadrato entrambi i membri, verifica se la soluzione trovata coincide con la tua stima iniziale e scarta formalmente ogni soluzione estranea giustificandone il motivo.

Risolvi l'equazione con due radicali isolandoli opportunamente in membri diversi prima di elevare al quadrato:

$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$

Trova le soluzioni della seguente equazione, verificando obbligatoriamente i risultati ottenuti per scartare le soluzioni estranee:

$x - \sqrt{2x - 1} = 2$

Il periodo $T$ di un pendolo semplice (il tempo che impiega a compiere un'oscillazione completa) si calcola con la formula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, dove $L$ è la lunghezza del filo in metri e $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ è l'accelerazione di gravità. Se un orologio a pendolo in una mostra scientifica ha un periodo esatto di $2,5$ secondi, trova la lunghezza del suo pendolo. Usa l'approssimazione $\pi \approx 3,14$.

La distanza tra i punti $A(2, -1)$ e $B(x, 3)$ nel piano cartesiano è esattamente $5$ unità. Imposta l'equazione irrazionale corrispondente alla distanza tra due punti e calcola le possibili coordinate $x$ del punto $B$.

Risolvi la seguente equazione che coinvolge la differenza di due radici quadrate. Isola una delle radici prima di elevare al quadrato:

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$

In una fabbrica di componenti elettronici, il costo di produzione giornaliero $C(x)$ in euro in funzione di $x$ unità fabbricate è modellizzato dalla funzione $C(x) = 250 + 15\sqrt{x - 50}$. Se in un dato giorno il costo di produzione è stato esattamente di $850$ euro, quante unità sono state fabbricate?

Risolvi la seguente equazione irrazionale effettuando un opportuno cambio di variabile (per esempio, $t = \sqrt{x}$):

$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$

La distanza $d$ in chilometri a cui si trova l'orizzonte per un osservatore posto a un'altezza $h$ in metri sul livello del mare si approssima in modo semplificato con la formula $d = 3,57\sqrt{h}$. Se una vedetta sulla coffa di una nave pirata avvista la terraferma a una distanza di $15$ km, a quale altezza si trova approssimativamente?

Il team tecnico di RFI incaricato della manutenzione della catenaria sulla linea ad alta velocità Roma-Napoli studia la tensione meccanica $T$ (in kilonewton, kN) del cavo conduttore in funzione della sua dilatazione termica $x$ (in centimetri). Il comportamento strutturale del tratto risponde al modello empirico $T = \sqrt{8x + 17}$. Per assicurare il corretto contatto con il pantografo del treno, il contrappeso meccanico del palo impone simultaneamente la condizione lineare $T = x + 1$.

1. a) Imposta l'equazione irrazionale che permette di determinare la dilatazione $x$ corrispondente alla posizione di equilibrio del sistema.
2. b) Risolvi l'equazione isolando l'incognita mediante elevamento al quadrato.
3. c) Interpreta fisicamente e matematicamente perché una delle due soluzioni algebriche ottenute è priva di senso e deve essere scartata. Indica il valore ammissibile della dilatazione $x$ e la tensione $T$ in quel punto.

Costruisci un'equazione irrazionale della forma $\sqrt{ax + b} = x + c$ (dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri interi) che soddisfi rigorosamente le tre condizioni seguenti:

1) Elevando al quadrato entrambi i membri e riducendo i termini simili, si ottenga esattamente l'equazione di secondo grado $x^2 - 5x - 6 = 0$.

2) Il valore $x = 6$ sia l'UNICA soluzione reale valida dell'equazione irrazionale originale.

3) Il valore $x = -1$ sia scartato in quanto soluzione estranea introdotta durante il processo algebrico.

Mostra con chiarezza il ragionamento che ti permette di dedurre i valori dei coefficienti $a$, $b$ e $c$, scrivi l'equazione definitiva e verifica in essa la validità di $x = 6$ e lo scarto di $x = -1$ giustificando la differenza di segno.

Risolvi la seguente equazione irrazionale che contiene tre radicali. Assicurati di verificare le soluzioni ottenute alla fine del procedimento:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Trova le soluzioni reali dell'equazione con radicali nidificati:

$\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$

Discuti con un ragionamento per quali valori del parametro reale $k > 0$ l'equazione $\sqrt{x + k} = x$ ha esattamente un'unica soluzione reale valida.

Un ingegnere progetta una rampa di carico per un magazzino logistico. La base orizzontale misura $x$ metri e l'altezza misura $2$ metri meno della base. Se la lunghezza della rampa (l'ipotenusa) è data dall'espressione $\sqrt{2x^2 - 4x + 4}$ e si richiede che misuri esattamente $\sqrt{34}$ metri, imposta l'equazione irrazionale e determina le dimensioni reali della rampa.

Risolvi la seguente equazione irrazionale. Puoi razionalizzare prima il denominatore, oppure moltiplicare in croce e raggruppare i termini in modo opportuno per facilitare il calcolo:

$\frac{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}} = 2$

Secondo la teoria della relatività ristretta di Einstein, il fattore di Lorentz $\gamma$ determina la dilatazione del tempo e si calcola come $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, dove $v$ è la velocità della navicella e $c$ è la velocità della luce nel vuoto. Se in una missione spaziale si osserva che il tempo scorre al $50\%$ del ritmo terrestre (cioè $\gamma = 2$), risolvi l'equazione irrazionale per trovare a quale frazione della velocità della luce viaggia la navicella.

Risolvi la seguente equazione irrazionale isolando strategicamente i radicali e verificando le soluzioni alla fine:

$\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$

Una linea elettrica deve collegare una centrale $A$ situata su una sponda di un fiume rettilineo largo $4$ km con una città $B$ situata sulla sponda opposta, $10$ km più a valle. Il costo di posare il cavo sott'acqua è di $5$ milioni di euro per km, e via terra è di $3$ milioni di euro per km. Se il cavo attraversa il fiume in linea retta fino a un punto $P$ situato a $x$ km a valle e poi prosegue via terra fino a $B$, il costo totale in milioni di euro è $C(x) = 5\sqrt{x^2 + 16} + 3(10 - x)$. Trova il valore di $x$ per cui il costo totale è esattamente di $46$ milioni di euro risolvendo la corrispondente equazione irrazionale.

Considera l'equazione: $x^2 - 3x - \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 1$.

Due studenti del terzo anno di liceo propongono due metodi di risoluzione diversi:

• Strategia A (elevamento diretto): isolare il radicale, $\sqrt{x^2 - 3x + 5} = x^2 - 3x - 1$, ed elevare al quadrato entrambi i membri, ottenendo un'equazione di quarto grado in $x$ da risolvere applicando la regola di Ruffini.

• Strategia B (cambio di variabile): sfruttare la struttura ripetuta dell'espressione e definire $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$ (con la condizione $t \ge 0$), trasformando l'uguaglianza in un'equazione di secondo grado in $t$.

1. a) Confronta con un ragionamento le due strategie analizzando la difficoltà operativa, il numero di candidati soluzione che ciascuna genera e il rischio di portarsi dietro radici estranee. Giustifica quale dei due percorsi è oggettivamente più pulito ed efficiente.
2. b) Risolvi l'equazione con la Strategia B, giustificando lo scarto immediato di qualsiasi valore di $t$ non ammissibile prima di tornare alla variabile originale, e trova tutte le soluzioni reali di $x$.

In una verifica si chiede di discutere il numero di soluzioni reali dell'equazione $\sqrt{x + 5} = x + m$ in funzione del parametro reale $m$.

Sofia consegna la seguente risoluzione:

«Elevo al quadrato: $x + 5 = x^2 + 2mx + m^2 \implies x^2 + (2m - 1)x + (m^2 - 5) = 0$.

Il discriminante è $\Delta = (2m - 1)^2 - 4(m^2 - 5) = 21 - 4m$.

Conclusione: se $m < 21/4$, poiché $\Delta > 0$, l'equazione irrazionale ha due soluzioni reali; se $m = 21/4$, ha una soluzione; e se $m > 21/4$, non ha alcuna soluzione reale».

1. a) Spiega in modo rigoroso perché la conclusione di Sofia è incompleta e falsa, indicando quale condizione obbligatoria delle equazioni irrazionali non ha considerato nel trasferire i risultati dell'equazione di secondo grado all'equazione originale.
2. b) Fornisci un controesempio concreto scegliendo un valore numerico di $m < 21/4$ per il quale l'equazione irrazionale abbia soltanto UNA soluzione reale invece di due. Risolvi l'equazione con quel valore di $m$ e mostra quale dei candidati viene scartato e perché.
3. c) Svolgi la discussione completa e corretta del numero di soluzioni reali dell'equazione per tutti i possibili valori di $m \in \mathbb{R}$.