Esercizi: Circonferenza

Scrivi l'equazione della circonferenza che descrive l'area di copertura di un'antenna wifi, sapendo che l'antenna è situata nel punto $(2, -3)$ di un piano cartesiano (misurato in chilometri) e ha una portata massima di $5$ km.

Determina le coordinate del centro e la lunghezza del raggio della zona circolare irrigata da un irrigatore agricolo il cui confine è dato dall'equazione $(x-4)^2+(y+1)^2=36$.

Un sismografo rileva che l'epicentro di un terremoto si trova nell'origine del sistema di coordinate e che l'onda sismica ha raggiunto un raggio esatto di $10$ km. Verifica analiticamente se una stazione meteorologica situata nel punto $(6, -8)$ ha avvertito il sisma o se si trova esattamente al limite dell'onda.

Trova l'equazione della circonferenza che rappresenta la scansione del radar di una nave. Si sa che il radar è posizionato nelle coordinate $(-1, 4)$ e che all'estremo esatto del suo schermo rileva una boa situata nel punto $(2, 0)$.

Trova il centro e il raggio della circonferenza che descrive il bordo esterno di un ingranaggio in un disegno CAD, la cui equazione generale è $x^2+y^2-6x+8y=0$.

Scrivi l'equazione della circonferenza che delimita una rotatoria, sapendo che gli estremi di uno dei suoi diametri (dove si trovano due strisce pedonali opposte) corrispondono ai punti $(1, 2)$ e $(7, -6)$.

Determina se l'equazione $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ rappresenta matematicamente una circonferenza valida nel motore fisico di un videogioco. Giustifica la risposta calcolando il suo centro e il valore del quadrato del suo raggio.

Scrivi l'equazione della circonferenza che descrive il telaio di un robot aspirapolvere di raggio $15$ cm quando si trova incastrato esattamente nell'angolo di una stanza. Considera che le pareti coincidono con le semirette positive degli assi coordinati (primo quadrante) e che il robot è tangente a entrambe le pareti.

Luca deve calcolare il centro e il raggio della circonferenza data dall'equazione generale $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Il centro è $C(-6, 4)$ perché sono direttamente i coefficienti che accompagnano $x$ e $y$. Per il raggio, sostituisco nella formula e ottengo $r = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 12} = \sqrt{36 + 16 - 12} = \sqrt{40} \approx 6,32$».

Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Luca nel dedurre il centro e il raggio dall'equazione generale. Poi mostra il ragionamento corretto e calcola le coordinate esatte del centro $C$ e il valore esatto del raggio $r$.

Si considera la famiglia di curve data dall'equazione $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, dove $k$ è un numero reale.

1. a) Determina in modo motivato il valore che deve assumere il parametro $k$ affinché l'equazione rappresenti una circonferenza di raggio esattamente uguale a $5$ unità, e scrivi la sua equazione canonica.
2. b) Giustifica quale figura o oggetto geometrico rappresenta tale equazione se si prende $k = 13$, e che cosa accade se si sceglie un qualsiasi valore $k > 13$.

Trova l'equazione della circonferenza che ricostruisce il bordo di un'antica vaso di ceramica trovato in uno scavo archeologico. I restauratori hanno misurato tre punti intatti del bordo, che in un sistema di assi coordinati corrispondono a $(0, 0)$, $(4, 0)$ e $(0, 3)$.

Studia analiticamente la posizione reciproca tra l'orbita di un satellite artificiale, modellizzata dalla circonferenza $x^2+y^2=4$, e la traiettoria rettilinea di un asteroide data dall'equazione $y=x+2$. Determina i punti di intersezione, nel caso esistano.

Calcola l'equazione della retta tangente alla traiettoria circolare tracciata da un lanciatore del martello nel momento esatto in cui lascia il cavo. La traiettoria del martello è data dalla circonferenza $x^2+y^2=25$ e l'atleta lascia il cavo quando la palla passa per il punto $(3, 4)$.

Scrivi l'equazione della circonferenza che rappresenta una puleggia il cui asse di rotazione è fissato nel punto $(3, -2)$ e che è in contatto tangenziale con una cinghia di trasmissione la cui linea d'azione è la retta $4x-3y+2=0$.

Trova l'equazione dell'asse radicale delle due circonferenze che modellizzano l'area di influenza di due antenne radio: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ e $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.

Calcola la lunghezza della superficie libera dell'acqua all'interno di un tubo circolare di equazione $x^2+y^2=100$. Si sa che il livello dell'acqua si è stabilizzato formando una corda orizzontale sulla retta $y=6$.

Studia la posizione reciproca tra i fronti d'onda generati da due gocce che cadono in uno stagno, modellizzati dalle circonferenze $C_1: x^2+y^2=9$ e $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.

Determina l'equazione della circonferenza che definisce la corsia esterna di una pista di atletica, sapendo che è concentrica alla circonferenza della corsia interna $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ e che passa per la posizione di partenza situata in $(1, 1)$.

Un peschereccio naviga in linea retta seguendo la traiettoria data dall'equazione $3x + 4y - 24 = 0$ (con le coordinate espresse in miglia nautiche). Un faro di segnalazione della Guardia Costiera emette un avviso di maltempo con un'area di copertura circolare delimitata da un raggio di $r = 3,5$ miglia nautiche e con centro nel punto $C(1, 1)$.

1. a) Prima di calcolare qualsiasi cosa, fai mentalmente o con uno schema una stima ragionata: tenendo conto della posizione del centro e dei punti di intersezione della retta con gli assi cartesiani, pensi che il peschereccio attraverserà la zona di avviso, la sfiorerà in modo tangente o passerà oltre senza entrarvi? Giustifica la tua congettura.

1. b) Verifica analiticamente la tua stima calcolando la distanza del centro $C$ dalla retta della traiettoria e confrontala con il raggio per determinare in modo conclusivo la posizione reciproca. Spiega perché, quando la distanza e il raggio sono valori molto vicini, una semplice rappresentazione visiva non basta ed è indispensabile il calcolo algebrico.

Il servizio di emergenza 112 di una regione valuta la copertura delle comunicazioni in caso di incendi boschivi mediante due antenne ripetitrici. Nella mappa di comando (con reticolo graduato in decine di chilometri, dove $1$ unità $= 10$ km), l'antenna Nord si trova in $A(-3, 2)$ con un raggio di copertura di $50$ km ($5$ unità), e l'antenna Sud in $B(5, -4)$ con la stessa portata di $50$ km.

1. a) Modellizza algebricamente il limite di copertura delle due antenne scrivendo le rispettive equazioni generali.
2. b) Studia la posizione reciproca tra le due aree circolari di copertura a partire dalla distanza tra i loro centri e deduci se esiste sovrapposizione territoriale o se sono tangenti.
3. c) Il posto di comando avanzato si trova nel paese di coordinate $P(1, -1)$. Determina se tale paese è coperto da una delle antenne, da entrambe o se resta isolato in una zona d'ombra, interpretando il risultato geometrico nel contesto delle emergenze.

Trova le equazioni delle due rette tangenti tracciate da un faro situato nel punto $(0, 4)$ verso un serbatoio cilindrico di carburante la cui base occupa la regione delimitata dalla circonferenza $x^2+y^2=4$. Queste rette rappresentano i limiti delle ombre proiettate al suolo.

Calcola l'equazione della circonferenza che delinea la struttura principale di una ruota panoramica di un luna park. Si sa che l'asse centrale di rotazione poggia su un pilone inclinato rappresentato dalla retta $x+y-4=0$ e che le cabine passano per le piattaforme di imbarco situate nei punti $(2, 0)$ e $(0, 2)$.

In un esperimento di acustica si cerca il luogo geometrico di tutti i punti del piano in cui il suono emesso da un altoparlante situato in $A(6, 0)$ viene percepito con un quarto dell'intensità del suono emesso da un altro altoparlante identico nell'origine $O(0, 0)$. Ciò equivale a trovare i punti $P(x, y)$ la cui distanza dal punto $A$ è il doppio della loro distanza dal punto $O$. Dimostra che questo luogo geometrico è una circonferenza e trova il suo centro e il suo raggio.

Il progetto di uno svincolo stradale richiede di tracciare due strade rettilinee tangenti a una piazza circolare centrale la cui equazione è $x^2+y^2-6x+8y=0$. Inoltre, per motivi di pianificazione urbana, tali strade devono essere parallele a un viale principale di equazione $3x-4y=0$. Trova le equazioni di entrambe le strade tangenti.

Un drone esegue una manovra evasiva seguendo una traiettoria rettilinea data dalla famiglia di rette $y=2x+k$. Lo spazio aereo vietato attorno a un radar è definito dalla circonferenza $x^2+y^2=5$. Determina i valori del parametro $k$ per i quali il drone sfiora lo spazio vietato senza penetrarvi (cioè la retta è tangente alla circonferenza).

Trova l'equazione della circonferenza circoscritta al parco triangolare delimitato dai viali le cui equazioni sono $x=0$, $y=0$ e $3x+4y-12=0$.

Il sistema GPS di un telefono cellulare riceve segnali da due torri di telecomunicazione. La prima torre si trova nell'origine delle coordinate e stima che il cellulare sia a $5$ km di distanza. La seconda torre si trova nel punto $(5, 0)$ e stima che il cellulare sia a $4$ km di distanza. Trova le coordinate esatte dei due possibili punti in cui potrebbe trovarsi il telefono, calcolando l'intersezione delle due circonferenze.

In un problema di ottimizzazione di reti si richiede di trovare il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma dei quadrati delle loro distanze da due server fissi situati in $(-2, 0)$ e $(2, 0)$ sia esattamente uguale a $20$. Dimostra analiticamente che la figura ottenuta è una circonferenza e ricava la sua equazione.

Per tracciare le rette tangenti alla circonferenza $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ dal punto esterno $P(6, 4)$, si possono impostare due metodi analitici diversi:

• Metodo 1 (algebrico puro): Impostare il fascio di rette passanti per $P$ mediante il suo coefficiente angolare $m$, sostituire $y$ nell'equazione della circonferenza e imporre che il discriminante dell'equazione di secondo grado in $x$ sia nullo ($\Delta = 0$).

• Metodo 2 (metrico-geometrico): Esprimere il fascio di rette in forma generale $mx - y + (4 - 6m) = 0$ e imporre che la distanza euclidea dal centro della circonferenza alla retta coincida esattamente con il raggio ($d(C, r) = R$).

1. a) Analizza vantaggi e svantaggi dei due metodi (mole di calcolo, rischio di operazioni complesse e trattamento di una possibile tangente verticale) e giustifica quale sia più efficiente in questo caso.
2. b) Risolvi il problema applicando il metodo che hai scelto come ottimale, trova le equazioni delle due rette tangenti e giustifica perché nessuna delle tangenti condotte da $P$ è una retta verticale.

In un progetto urbanistico si prevede una rotatoria circolare il cui centro deve essere collocato obbligatoriamente sull'asse di un viale rettilineo modellizzato dall'equazione $r: x - 2y = 0$. Inoltre, il bordo esterno della rotatoria deve essere tangente a una linea tranviaria data dalla retta $s: 4x + 3y - 1 = 0$ e il suo tracciato deve passare per un monumento storico situato nel punto $A(2, 3)$.

1. a) Parametrizza le coordinate del centro in funzione di una sola variabile, imposta l'uguaglianza tra la distanza del centro dal punto $A$ e la distanza del centro dalla retta $s$, e dimostra in modo motivato che esistono due circonferenze teoriche che soddisfano tutte le condizioni date, trovando i loro centri e i rispettivi raggi.
2. b) Dal punto di vista della fattibilità tecnica e delle dimensioni di una rotatoria in un normale tessuto urbano, giustifica in modo critico perché una delle due soluzioni teoriche è del tutto priva di senso pratico e deve essere scartata. Per la soluzione praticabile, scrivi la sua equazione generale e calcola le coordinate esatte del punto di tangenza con la linea tranviaria.