Esercizi: Regola di Ruffini

Dividi il polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ per il binomio $x - 2$ utilizzando la regola di Ruffini e indica il quoziente e il resto ottenuti.

Applica la regola di Ruffini per eseguire la divisione di $P(x) = x^4 - 16$ per $x + 2$. Scrivi chiaramente il polinomio quoziente e il valore del resto.

Verifica, utilizzando la regola di Ruffini, se $x = 3$ è una radice del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.

Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ per $x = -1$ applicando il teorema del resto mediante la regola di Ruffini.

Determina il valore della costante $k$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sia esattamente divisibile per $x - 1$.

Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sapendo in anticipo che $x = 1$ è una delle sue radici.

Trova il resto della divisione del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ per $x + 3$ applicando la regola di Ruffini.

Determina, senza eseguire la divisione completa e utilizzando il teorema del resto o la regola di Ruffini, se il binomio $x + 1$ è un fattore del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.

Matteo deve dividere il polinomio $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x - 5$ per il binomio $2x - 1$. Per farlo, applica la regola di Ruffini usando il valore $a = 1/2$. Nell'ultima riga della sua tabella ottiene successivamente i coefficienti $4$, $-4$, $6$ e, come ultimo numero, $-2$. Da ciò Matteo conclude nel suo compito: «Il quoziente della divisione è $C(x) = 4x^2 - 4x + 6$ e il resto è $R = -2$». Individua e spiega in modo motivato l'errore concettuale commesso da Matteo, dimostra mediante la prova della divisione che il suo quoziente non può essere corretto e scrivi la soluzione completa e corretta (quoziente reale e resto).

Per calcolare il valore numerico del polinomio $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x - 7$ in $x = 3$, si possono seguire due strade diverse: sostituire direttamente $x = 3$ e calcolare ogni potenza, oppure applicare la regola di Ruffini dividendo per $x - 3$ per trovare il resto.

1. a) Confronta i due metodi analizzando il tipo e il numero di operazioni richieste da ciascuno (potenze elevate contro somme e prodotti successivi) e giustifica quale sia più rapido e meno soggetto a errori quando non si dispone della calcolatrice.
2. b) Applica la regola di Ruffini (prestando attenzione ai termini mancanti) per ottenere il resto, deduci il valore di $P(3)$ e indica in modo motivato se $x - 3$ è un fattore di $P(x)$.

Il volume di una scatola a forma di prisma retto a base rettangolare è dato dal polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Sapendo che l'altezza della scatola è $x - 1$, determina il polinomio che rappresenta l'area di base $A(x)$.

Gli utili di un'azienda, in migliaia di euro, sono modellati nei suoi primi anni di attività dal polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, dove $x$ rappresenta il tempo in anni. Trova gli anni esatti in cui l'utile dell'azienda è stato nullo (punti di pareggio).

Dividi il polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ per il binomio $x - \frac{1}{2}$ usando la regola di Ruffini. Esprimi il risultato finale indicando quoziente e resto.

Determina i valori dei parametri $m$ e $n$ affinché il polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sia esattamente divisibile per $x - 2$ e, allo stesso tempo, dia resto $4$ quando viene diviso per $x + 1$.

La posizione di una particella in moto rettilineo è data dall'equazione $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, dove $t$ è il tempo in secondi. Determina in quali istanti la particella passa per l'origine delle coordinate ($s(t) = 0$).

Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = x^4 - 2,5x^3 + 1,5x^2 - 3x + 2$ per $x = 2$ utilizzando esclusivamente lo schema della regola di Ruffini.

L'area di un pannello solare rettangolare è descritta dal polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Sapendo che la misura della larghezza del pannello è $x + 3$, trova il polinomio che rappresenta la sua lunghezza.

Scomponi completamente in fattori il polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ trovando tutte le sue radici.

In uno studio sull'efficienza di una linea di trasporto ferroviario di merci tra Roma e Napoli, il consumo cumulato di combustibile ausiliario (in litri) di una locomotiva è espresso dal polinomio $C(x) = 2x^3 - 8x^2 + kx - 10$, dove $x$ è il tempo trascorso in ore ($x \in [3, 5]$). Gli ingegneri devono dividere questo consumo totale per un fattore di carico lineare rappresentato da $D(x) = 2x - 6$ per ottenere il consumo per unità di carico. Si sa empiricamente che dopo $3$ ore di percorso il consumo residuo non assorbito dal modello lineare (cioè il resto della divisione) è esattamente $8$ litri.

1. a) Applica la regola di Ruffini adattata a divisori del tipo $cx - a$ per impostare un'equazione e determinare il valore del parametro $k$.
2. b) Con il valore di $k$ ottenuto, trova il polinomio che rappresenta il quoziente reale della divisione.
3. c) Interpreta se dopo $3$ ore il fattore di carico divide in modo esatto il consumo cumulato e quale significato pratico abbia il fatto che il resto non sia zero.

Dato il polinomio $P(x) = 2x^4 - 31x^2 - 15x + 8$ e il divisore $x - 4$:

1. a) Senza ancora costruire la tabella di Ruffini, fai una stima preliminare del segno e dell'ordine di grandezza del resto $P(4)$: confronta mentalmente il valore predominante del termine principale ($2 \cdot 4^4$) rispetto al termine quadratico ($-31 \cdot 4^2$). Sulla base di questa stima, ritieni verosimile che $x - 4$ sia un fattore esatto o ti aspetti un resto lontano da zero?
2. b) Applica la regola di Ruffini completa per ottenere il quoziente e il resto esatti, giustificando la presenza di zeri nella tabella se necessario.
3. c) Confronta il resto ottenuto con la tua stima iniziale e verifica la validità del risultato controllando l'identità fondamentale $P(x) = (x - 4) \cdot C(x) + R$ per i casi particolari semplici $x = 0$ e $x = 1$.

Trova i valori di $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sia divisibile per $(x - 2)^2$.

Esegui la divisione del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ per il binomio $2x - 3$ utilizzando la regola di Ruffini. Tieni presente che devi adattare il divisore per poter applicare l'algoritmo e, successivamente, correggere il quoziente e il resto ottenuti.

Il volume di una calotta sferica è dato dalla formula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, dove $R$ è il raggio della sfera e $h$ l'altezza della calotta. Se il raggio di una sfera è $R = 5\text{ cm}$ e si vuole ottenere una calotta con un volume di $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, imposta l'equazione corrispondente e utilizza la regola di Ruffini per trovare l'altezza $h$.

Scomponi completamente il polinomio di quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ in polinomi irriducibili sui numeri reali.

Applica la regola di Ruffini per dividere il polinomio $P(x) = x^5 - 32$ per $x - 2$. A partire dallo schema osservato nei coefficienti del quoziente, deduci e scrivi l'espressione generale del polinomio quoziente nella divisione di $x^n - a^n$ per $x - a$.

La temperatura di una reazione chimica in funzione del tempo $t$ (in minuti) è modellata dal polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina in quali istanti la temperatura della reazione è esattamente $0^\circ\text{C}$.

Trova l'espressione di un polinomio di terzo grado $P(x)$ il cui coefficiente principale sia $1$, sapendo che si annulla per $x = 1$ e $x = 2$, e che dividendolo per $x - 3$ si ottiene resto $10$.

Risolvi la disequazione polinomiale $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Per farlo, scomponi prima in fattori il polinomio utilizzando la regola di Ruffini e poi studia il segno negli intervalli corrispondenti della retta reale.

Sulla lavagna di un'aula di liceo è stata parzialmente cancellata la risoluzione di un problema in cui si applicavano due divisioni successive a un polinomio di terzo grado $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Si sono conservate solo le seguenti annotazioni leggibili:

1. Il coefficiente principale è $a = 2$.

2. Dividendo $P(x)$ per $x + 1$ mediante Ruffini, si è ottenuto resto $R_1 = -12$ e polinomio quoziente $Q(x)$.

3. Dividendo tale quoziente $Q(x)$ per il binomio $2x - 1$ applicando l'adattamento di Ruffini, la divisione è risultata esatta (resto $R_2 = 0$) e il quoziente finale è stato $x + 4$.

1. a) Ricostruisci a ritroso l'espressione algebrica del quoziente intermedio $Q(x)$, spiegando come interviene il divisore $2x - 1$.
2. b) Ricostruisci l'espressione algebrica completa del polinomio originale $P(x)$.
3. c) Senza calcolare $P(-1)$ né $P(1/2)$ valutando la formula ottenuta, giustifica a partire dalla definizione di divisione e dal teorema del resto se $x = -1$ o $x = 1/2$ sono radici di $P(x)$.

Si vogliono trovare i parametri $m$ e $n$ affinché il polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + mx^2 + nx + 6$ sia esattamente divisibile per il trinomio $D(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

Due studenti propongono strategie diverse:

• Alberto propone di eseguire direttamente la divisione euclidea tradizionale (in colonna) di $P(x)$ per $D(x)$ e di porre uguali a zero i due coefficienti del resto lineare ottenuto.

• Bianca propone di scomporre $D(x) = (x - 2)(2x + 1)$ e di concatenare due tabelle di Ruffini successive: prima dividere per $x - 2$ imponendo resto zero, e poi dividere il quoziente ottenuto per $2x + 1$ imponendo di nuovo resto zero.

1. a) Confronta in modo motivato le due strategie valutando il carico di calcolo e i rischi abituali di errore algebrico (gestione di frazioni vs. monomi simili con parametri).
2. b) Esegui la strategia di Bianca applicando la regola di Ruffini in modo rigoroso per trovare i valori esatti di $m$ e $n$, indicando le due tabelle e il quoziente finale semplificato della divisione $P(x) : D(x)$.
3. c) Giustificazione teorica: se in un caso generale si divide successivamente un polinomio $P(x)$ per $(x - a)$ ottenendo resto $R_1 \neq 0$, e il quoziente ottenuto si divide per $(cx - b)$ ottenendo resto $R_2 \neq 0$, deduci algebricamente qual è l'espressione del resto globale della divisione di $P(x)$ per $(x - a)(cx - b)$ e spiega perché non è semplicemente la somma $R_1 + R_2$.