Esercizi: Polinomi

Siano i polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ e $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcola il polinomio risultante dell'operazione $2P(x) - Q(x)$ ed esprimi il risultato ordinato dal grado maggiore al minore.

Esegui la seguente divisione di polinomi e indica chiaramente qual è il polinomio quoziente $C(x)$ e il polinomio resto $R(x)$:

$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$

Utilizza la regola di Ruffini per eseguire la divisione del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ per il binomio $x + 2$. Indica il quoziente e il resto.

Applica il teorema del resto per calcolare il resto della divisione del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ per $x - 3$, senza dover eseguire l'intera divisione.

Utilizzando il teorema di Ruffini (teorema del fattore), verifica se i valori $x = 2$ e $x = -1$ sono radici del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Giustifica la tua risposta mostrando i calcoli.

Raccogli il fattore comune e utilizza i prodotti notevoli per scomporre completamente in fattori il polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.

Semplifica al massimo la seguente frazione algebrica, scomponendo in precedenza in fattori il numeratore e il denominatore:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Esegui la seguente moltiplicazione di frazioni algebriche e semplifica il risultato:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Marco deve calcolare il quoziente e il resto della divisione del polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x + 3$ per $x + 2$. Nel suo compito scrive la seguente tabella di Ruffini: colloca nella riga superiore i coefficienti $2$, $-5$ e $3$, e nella casella laterale a sinistra pone il numero $2$. Dopo aver eseguito le operazioni, conclude che il resto della divisione è $9$ e che il quoziente è $C(x) = 2x + 1$.

1. a) Individua e spiega con ragionamento i due errori concettuali commessi da Marco nell'impostare la regola di Ruffini.
2. b) Correggi l'impostazione eseguendo la divisione in modo adeguato e scrivi con chiarezza il polinomio quoziente $C(x)$ e il resto $R$.
3. c) Verifica che il resto ottenuto sia corretto valutando il polinomio mediante il teorema del resto.

Per calcolare il resto della divisione del polinomio $P(x) = 3x^{50} - 4x^{25} + 2x - 1$ per il binomio $x - 1$, tre studenti della classe propongono strategie diverse:

• Alba propone di applicare la tradizionale divisione euclidea in colonna.

• Bruno suggerisce di usare la regola di Ruffini completando con zeri i termini di grado intermedio.

• Carla afferma che è molto più immediato applicare il teorema del resto.

1. a) Confronta con ragionamento i tre metodi e spiega perché due di essi risultano del tutto impraticabili o inefficienti in questo caso concreto.
2. b) Seguendo il metodo più adatto, calcola il resto della divisione.
3. c) A partire dal valore del resto ottenuto, deduci in modo giustificato se il binomio $(x - 1)$ è o non è un fattore del polinomio $P(x)$.

I guadagni giornalieri di un'azienda, in migliaia di euro, sono modellizzati dal polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, dove $x$ è il giorno della settimana (da 1 a 7). Si sa che il giorno 1 il guadagno è zero. Inoltre, dividendo $B(x)$ per $x-2$, il resto è $2$. Calcola i parametri $a$ e $b$, e scomponi in fattori il polinomio per determinare in quale altro giorno della settimana il guadagno torna a essere esattamente zero.

Un'azienda di imballaggi progetta scatole rettangolari senza coperchio a partire da un foglio di cartone di $30 \text{ cm}$ per $20 \text{ cm}$. Per farlo, ritaglia quadrati di lato $x$ in ogni angolo e piega i bordi verso l'alto. Esprimi il volume $V(x)$ della scatola come polinomio in forma normale (sviluppato). Poi calcola il volume esatto se si ritagliano quadrati di $x = 4 \text{ cm}$.

In un circuito elettrico, la resistenza equivalente $R_{eq}$ è data dalla seguente espressione di frazioni algebriche:

$R_{eq}(x) = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1}$

Esegui le operazioni indicate, calcola il minimo comune multiplo dei denominatori e semplifica al massimo la frazione risultante. Qual è il valore della resistenza se $x = 3 \ \Omega$?

Sviluppa completamente la potenza del binomio $(2x - y)^4$ utilizzando la formula del binomio di Newton o il triangolo di Tartaglia.

In uno studio di combinazioni genetiche, la distribuzione di una certa probabilità è collegata allo sviluppo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Trova il valore numerico esatto del termine noto (il termine che non dipende da $x$) in questo sviluppo.

Scomponi completamente in fattori il polinomio di quarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partire dalla sua forma scomposta, indica tutte le sue radici reali.

Nella divisione del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ per $Q(x) = x^2 - x + 2$, trova il valore del parametro $k$ affinché il resto della divisione sia un numero costante (cioè un polinomio di grado 0). Qual è il valore esatto di tale resto?

L'area di una finestra di design speciale in un edificio è data dall'espressione $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Semplifica questa frazione algebrica scomponendo in precedenza in fattori il numeratore (differenza di cubi) e il denominatore. Poi calcola l'area quando $x = 3$ metri.

Progetta un polinomio monico $P(x)$ del grado minore possibile che soddisfi simultaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Ammette $x = -2$ come radice con molteplicità 2 (radice doppia).

2. Il suo termine noto è $-12$.

3. Dividendolo per $(x - 1)$, il resto ottenuto è esattamente $-18$.

4. Non ha altre radici reali oltre a quelle strettamente necessarie a verificare le condizioni precedenti.

1. a) Giustifica perché il polinomio cercato non può essere di grado 2 e deduci quale deve essere il suo grado minimo.
2. b) Determina l'espressione algebrica di $P(x)$ sia nella sua forma scomposta sia nella sua forma sviluppata e ordinata dal grado maggiore al minore.
3. c) Verifica esplicitamente che il polinomio trovato soddisfi tutte e ciascuna delle condizioni dell'enunciato.

Considera il polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + 5x - 40$ e il divisore $d(x) = x - 4$.

1. a) Prima di calcolare il risultato esatto, fai una stima ragionata del valore del resto analizzando l'ordine di grandezza dei due termini di grado maggiore quando $x = 4$. Ti aspetti che il resto sia positivo o negativo? Dell'ordine delle decine o delle centinaia?
2. b) Calcola il resto esatto della divisione applicando il teorema del resto e valuta criticamente se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) Applica la regola di Ruffini per ottenere il polinomio quoziente $C(x)$ e verifica l'uguaglianza fondamentale della divisione, $P(x) = (x - 4)\cdot C(x) + R$, calcolando entrambi i membri per il valore numerico $x = 1$.

La curva di dilatazione termica di un nuovo polimero è approssimata da un polinomio cubico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. Nelle prove di laboratorio si è verificato che alle temperature $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ e $t = -1 \ ^\circ\text{C}$ la dilatazione è nulla. Invece, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatazione è di $2 \text{ mm}$. Determina il valore dei coefficienti $a, b, c, d$ del polinomio.

La curva di flessione di una trave sottoposta a un carico è modellata dal polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Si sa che il polinomio è esattamente divisibile per $(x-1)^2$. Inoltre, dividendolo per $x+1$ il resto è $-8$, e dividendolo per $x-2$ il resto è $4$. Imposta il sistema di equazioni corrispondente e trova i valori di $a, b, c$ e $d$.

Nella progettazione di un meccanismo a ingranaggi, il rapporto di trasmissione è modellato dalla seguente espressione algebrica complessa:

$T(x) = \frac{\frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}}{\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x + 4}}$

Semplifica $T(x)$ al massimo scomponendo prima in fattori tutti i numeratori e i denominatori. Quale problema matematico (e quindi fisico) si presenta per il rapporto di trasmissione se $x = 2$?

Nello sviluppo del binomio $(x + 2)^n$, si sa che il coefficiente del termine che contiene $x^{n-2}$ è esattamente $180$. Imposta l'equazione corrispondente utilizzando la formula del binomio di Newton, trova il valore del numero naturale $n$ e calcola il termine noto di tale sviluppo.

Un contenitore cilindrico è inscritto in una sfera di raggio $R = 10 \text{ cm}$. Il volume del cilindro in funzione della sua semialtezza $x$ è $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Si vuole che il volume sia esattamente $768\pi \text{ cm}^3$. Scrivi l'equazione polinomiale $P(x) = 0$, trova la sua radice intera utilizzando la regola di Ruffini e scomponi in fattori il polinomio ottenuto per trovare tutte le possibili semialtezze $x$ che soddisfano la condizione geometrica.

Dimostra, utilizzando il teorema del resto (o di Ruffini), che il polinomio $P(x) = x^n - a^n$ è sempre divisibile per $x - a$ per ogni numero naturale $n \ge 1$. Poi applica questa proprietà per individuare la radice evidente e scomporre completamente in fattori il polinomio $P(x) = x^5 - 32$ nell'insieme dei numeri reali.

Data la frazione algebrica che modella il rapporto segnale-rumore in una rete di telecomunicazioni:

$S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$

Scomponi completamente in fattori il numeratore e il denominatore utilizzando la regola di Ruffini e la risoluzione di equazioni di secondo grado. Semplifica la frazione al massimo e determina, se esiste, per quale valore reale di $x$ la frazione semplificata è uguale a $3$.

In un progetto di design 3D si parte da un cubo pieno di spigolo $x+2 \text{ cm}$. Lo si fora al suo interno asportando un altro cubo concentrico di spigolo $x-1 \text{ cm}$. Esprimi il volume del materiale rimanente come polinomio in forma normale (sviluppando i cubi dei binomi e semplificando). Poi trova il valore di $x$ sapendo che il volume del materiale rimanente è esattamente $117 \text{ cm}^3$.

Il volume d'acqua accumulato in un bacino idrico del bacino del Po nel corso di un anno idrologico di 12 mesi ($t \in [0, 12]$, dove $t = 0$ rappresenta il 1° ottobre) è modellato dal polinomio cubico $V(t) = -t^3 + b t^2 + c t + d$, espresso in ettometri cubici ($\text{hm}^3$). I dati ufficiali dell'autorità di bacino riportano quanto segue:

• All'inizio dell'anno idrologico ($t = 0$), il bacino conteneva $180\text{ hm}^3$.

• Alla fine del mese di dicembre ($t = 3$), il volume è tornato a essere esattamente $180\text{ hm}^3$.

• Alla fine del mese di marzo ($t = 6$), dopo le piogge di fine inverno, il volume accumulato ha raggiunto $288\text{ hm}^3$.

1. a) Traduci l'informazione in un sistema di equazioni e calcola in modo motivato i coefficienti $b$, $c$ e $d$.
2. b) Mediante la regola di Ruffini, scomponi il polinomio $V(t) - 180$ nel prodotto di tre fattori lineari e determina in quale altro mese dell'anno idrologico le riserve tornano esattamente al livello iniziale di $180\text{ hm}^3$.
3. c) Interpreta il segno del polinomio scomposto $V(t) - 180$ nell'intervallo $[0, 12]$ per indicare in quale periodo dell'anno le riserve si trovano al di sopra di $180\text{ hm}^3$, e spiega se il modello prevede in qualche momento lo svuotamento totale del bacino ($V(t) \le 0$).

Un polinomio $P(x)$, il cui grado non è specificato a priori, dà resto $-4$ quando viene diviso per $(x - 2)$, e resto $8$ quando viene diviso per $(x + 1)$.

1. a) Se si divide $P(x)$ per il polinomio di secondo grado $Q(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2$, giustifica formalmente, a partire dall'identità fondamentale della divisione euclidea $D(x) = d(x)\cdot C(x) + R(x)$, qual è il grado massimo che può avere il resto $R(x)$.
2. b) Scrivi l'espressione algebrica generale di tale resto $R(x)$ e calcola i suoi coefficienti esatti applicando il teorema del resto, dimostrando perché non è necessario conoscere la formula completa di $P(x)$ per determinarlo.
3. c) Se si aggiunge il dato che $P(x)$ è monico, di grado 3 e il suo termine noto è $6$ (cioè il resto della divisione per $x$ è $6$), ricostruisci l'espressione completa di $P(x)$ e scomponila in $\mathbb{R}$ trovando tutte le sue radici.