Esercizi: Operazioni con le frazioni algebriche

Semplifica al massimo la seguente frazione algebrica scomponendo in fattori il numeratore e il denominatore:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Esegui la seguente moltiplicazione di frazioni algebriche ed esprimi il risultato nella forma più semplice:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Calcola la divisione delle seguenti frazioni algebriche e semplifica il risultato ottenuto:

$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$

Esegui la somma delle seguenti frazioni algebriche che hanno lo stesso denominatore:

$\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$

Sottrai le seguenti frazioni algebriche riducendole prima a denominatore comune:

$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$

Esegui la seguente somma di frazioni algebriche con denominatori di primo grado:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$

Svolgi l'operazione all'interno della parentesi e poi moltiplica per semplificare il risultato finale:

$\frac{x^2 - x}{x+1} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$

Esegui la seguente operazione combinata di frazioni algebriche e semplifica al massimo:

$\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$

Lucia deve semplificare in un compito in classe la frazione algebrica $\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}$. Il suo svolgimento è stato il seguente: «Poiché compare $x^2$ sia al numeratore sia al denominatore, li cancello entrambi e mi rimane $\frac{-4x}{-16}$, che semplificando i segni negativi e dividendo per $4$ risulta $\frac{x}{4}$».

1. a) Spiega in dettaglio quale errore concettuale commette Lucia rispetto alla proprietà fondamentale della semplificazione delle frazioni algebriche (cancellazione di addendi invece che di fattori).
2. b) Scegli un valore numerico concreto per $x$ (ad esempio $x = 5$) che serva da controesempio per dimostrare che la frazione originale e il risultato ottenuto da Lucia non assumono lo stesso valore.
3. c) Esegui la semplificazione corretta scomponendo prima completamente in fattori il numeratore e il denominatore.

Trova un polinomio $P(x)$ di secondo grado che renda vera la seguente uguaglianza di operazioni con frazioni algebriche:

1. a) Imposta la divisione come moltiplicazione per la frazione inversa e deduci l'espressione scomposta in fattori di $P(x)$ dopo aver semplificato i fattori comuni.
2. b) Scrivi il polinomio $P(x)$ nella sua forma polinomiale sviluppata ($a \cdot x^2 + b \cdot x + c$).
3. c) Indica con giustificazione quali valori reali di $x$ devono essere esclusi dal dominio affinché nessuna delle frazioni né delle divisioni intermedie risulti indefinita (denominatori nulli).

In un circuito elettrico, due resistenze $R_1$ e $R_2$ sono collegate in parallelo. La resistenza equivalente $R_{eq}$ soddisfa la relazione $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se il valore delle resistenze è dato dai polinomi $R_1 = x^2 - 4$ e $R_2 = x^2 + 4x + 4$, ottieni l'espressione semplificata della resistenza equivalente $R_{eq}$ in funzione di $x$.

La base di un pannello solare rettangolare è data dall'espressione $b = \frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}$ metri e la sua altezza da $h = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$ metri. Calcola l'area del pannello solare esprimendo il risultato come un'unica frazione algebrica semplificata.

Esegui le seguenti operazioni combinate rispettando la priorità delle operazioni e semplifica il risultato al massimo:

$\left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) : \frac{4x}{x^2 - 1}$

La formula delle lenti sottili in ottica stabilisce che $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Se la distanza dell'oggetto dal centro ottico è $s_o = \frac{x^2+x}{2}$ e la distanza dell'immagine è $s_i = \frac{x^2-1}{3}$, determina l'espressione algebrica semplificata della distanza focale $f$.

Due stampanti 3D industriali realizzano un lotto di pezzi lavorando insieme. La prima stampante impiega $x$ ore per completare il lavoro da sola e la seconda ne impiega $x+3$. La parte di lavoro che svolgono insieme in un'ora è la somma delle loro velocità di lavoro individuali. Scrivi e semplifica la frazione algebrica che rappresenta tale parte di lavoro all'ora.

Semplifica la seguente frazione algebrica complessa riducendo prima il numeratore e il denominatore in modo indipendente:

$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$

Esegui la somma e la sottrazione delle seguenti frazioni algebriche. Utilizza la regola di Ruffini e i prodotti notevoli per scomporre in fattori i denominatori e trovare il minimo comune multiplo:

$\frac{2x}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x-1}$

Il costo medio di produzione di un componente elettronico è dato dall'espressione $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, dove $x$ è il volume di produzione in migliaia di unità. Per un adeguamento dei sussidi, si deve sottrarre una tassa rappresentata dalla frazione $\frac{x^2-1}{x+2}$. Calcola la nuova espressione del costo medio semplificando prima la prima frazione.

Per semplificare la seguente frazione complessa:

si propongono due strategie algebriche diverse:

• Metodo 1: svolgere separatamente il numeratore e il denominatore globali ottenendo in ciascuno una sola frazione irriducibile con il rispettivo minimo comune multiplo, ed eseguire infine la divisione moltiplicando per la frazione inversa.

• Metodo 2: moltiplicare contemporaneamente il numeratore e il denominatore principali per il minimo comune multiplo globale di tutti i denominatori parziali presenti, eliminando tutte le frazioni interne in un solo passaggio.

1. a) Esegui la semplificazione completa applicando entrambi i metodi e verifica che si arrivi esattamente allo stesso risultato irriducibile.
2. b) Confronta il numero di passaggi, le scomposizioni intermedie e i possibili punti di errore nella gestione dei segni di ciascun metodo. Giustifica quale dei due risulta più efficiente in questo caso.

In un impianto solare fotovoltaico per autoconsumo in un'azienda agricola della Puglia, si collegano in parallelo due rami di pannelli le cui resistenze interne sono $R_1$ e $R_2$. La resistenza equivalente $R_{eq}$ del circuito è data dalla relazione fisica:

A causa delle oscillazioni termiche durante la giornata, le resistenze di ciascun ramo (in ohm) dipendono dalla temperatura $T$ del pannello (in gradi Celsius, con $T > 10$) secondo i modelli razionali:

1. a) Scrivi le espressioni di $\frac{1}{R_1}$ e $\frac{1}{R_2}$ scomponendo prima in fattori i loro termini e calcola la somma $\frac{1}{R_{eq}}$ riducendo al minimo comune multiplo dei denominatori.
2. b) Ottieni l'espressione semplificata di $R_{eq}$ come un'unica frazione algebrica in funzione di $T$.
3. c) Se nelle ore di massima insolazione estiva si registra una temperatura di $T = 30\text{ }^\circ\text{C}$, calcola il valore esatto di $R_{eq}$ espresso come frazione irriducibile e determina se si mantiene al di sotto del limite regolamentare di sicurezza di $0,7$ ohm.

Dimostra che la seguente uguaglianza algebrica è vera per qualsiasi valore delle variabili $x$ e $y$ che non annulli i denominatori, svolgendo le operazioni e semplificando il primo membro:

$\left( \frac{x^2 - y^2}{x+y} \right) \cdot \left( \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2} \right) = x^2 - y^2$

Una barca a motore percorre un canale dal pontile fino a una boa con velocità $v+w$ (dove $w$ è la velocità della corrente a favore) e ritorna con velocità $v-w$ (corrente contraria). La distanza tra i due punti è $d$. Ottieni l'espressione semplificata della velocità media dell'intero percorso, data da $v_m = \frac{2d}{\frac{d}{v+w} + \frac{d}{v-w}}$, e verifica se è equivalente all'espressione $\frac{v^2 - w^2}{v}$.

Determina i valori numerici dei parametri $A$, $B$ e $C$ affinché valga la seguente identità di decomposizione in frazioni semplici per ogni $x$:

$\frac{5x^2 - x + 2}{x^3 - x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

Un circuito misto ha una resistenza equivalente tra i terminali A e B data dalla formula $R_{eq} = R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$. Se i valori delle resistenze in ohm sono dati dalle espressioni algebriche $R_1 = \frac{x}{x+1}$, $R_2 = \frac{x^2-1}{x}$ e $R_3 = \frac{x^2-1}{2}$, calcola l'espressione semplificata della resistenza equivalente $R_{eq}$.

Semplifica la seguente espressione algebrica iterata (frazione continua) operando dal livello più interno verso l'alto, fino a ottenere una frazione irriducibile:

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}}$

Esegui le operazioni indicate con tre variabili e dimostra che il risultato finale si semplifica in un numero intero costante:

$\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}$

In un laboratorio di chimica si hanno due soluzioni di uno stesso acido. La prima ha una concentrazione $C_1 = \frac{x}{x^2+2x+1}$ e la seconda $C_2 = \frac{2}{x^2-1}$. Si mescolano volumi uguali di entrambe le soluzioni, per cui la concentrazione della miscela risultante è la media aritmetica delle due concentrazioni, cioè $C_m = \frac{1}{2}(C_1 + C_2)$. Ottieni l'espressione algebrica semplificata della concentrazione finale della miscela $C_m$.

L'area della superficie di un contenitore cilindrico progettato per minimizzare l'uso di materiale plastico è data dall'espressione $S(x) = 2\pi x^2 + \frac{1000}{x}$. Per analizzare il tasso di variazione del materiale rispetto al raggio $x$, un ingegnere deve calcolare e semplificare l'espressione del rapporto incrementale $\frac{S(x+h) - S(x)}{h}$. Esegui questa operazione ed esprimi il risultato come un'unica frazione algebrica semplificata in termini di $x$ e $h$.

Due condutture della rete di distribuzione dell'acquedotto riversano acqua contemporaneamente in una vasca di raccolta a Roma. La conduttura moderna $A$ impiega $x$ ore a riempire da sola l'intera vasca, mentre la conduttura vecchia $B$, con portata minore, impiega $x + 4$ ore (con $x > 0$).

1. a) Stima: senza eseguire operazioni algebriche esatte, considera il caso in cui $x = 6$ ore (il tubo $A$ impiega 6 ore e il $B$ ne impiega 10). Ragiona in modo qualitativo tra quali due numeri interi di ore deve necessariamente trovarsi il tempo totale di riempimento congiunto $T$. (Suggerimento: confronta la portata del sistema con due situazioni ipotetiche: due condutture identiche a quella veloce o due identiche a quella lenta).
2. b) Calcola: sapendo che le portate orarie si sommano (soddisfacendo la relazione $\frac{1}{T(x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$), opera e semplifica per esprimere il tempo congiunto $T(x)$ come un'unica frazione algebrica irriducibile.
3. c) Verifica e generalizza: calcola il valore esatto di $T(6)$ a partire dalla formula trovata, convertilo in ore e minuti e verifica se la tua stima del punto (a) era corretta. Quindi analizza il segno della differenza algebrica $T(x) - \frac{x}{2}$ e dimostra formalmente perché il tempo congiunto non potrà mai ridurre alla metà il tempo del tubo più veloce, qualunque sia il valore di $x$.

In un laboratorio di ottica applicata del CNR si allestisce un banco di prova che contiene una lente convergente sottile di distanza focale $f$ nota e fissa ($f > 0$). La distanza dall'oggetto luminoso alla lente è $s$ (con $s > f$) e la distanza dalla lente all'immagine messa a fuoco su uno schermo è $s'$. Tali variabili soddisfano l'equazione delle lenti sottili:

1. a) Ricava $s'$ come un'unica frazione algebrica in funzione di $s$ e $f$. A partire da essa, ottieni l'espressione semplificata della distanza totale tra l'oggetto e lo schermo di proiezione, $L(s) = s + s'$, come un'unica frazione algebrica con il denominatore scomposto in fattori.
2. b) Problema inverso: per verificare in modo puramente algebrico che la distanza totale tra oggetto e schermo non può mai essere inferiore a quattro volte la distanza focale ($L(s) \ge 4f$), imposta la sottrazione $D(s) = L(s) - 4f$, riduci a denominatore comune e scomponi completamente in fattori il numeratore ottenuto riconoscendo un prodotto notevole.
3. c) Analizza il segno del numeratore e del denominatore della frazione ottenuta per $D(s)$ tenendo conto che $s > f$. Concludi con rigore perché $L(s) \ge 4f$ e deduci con ragionamento quale posizione deve occupare l'oggetto ($s$ in funzione di $f$) per fare in modo che la distanza tra oggetto e schermo sia esattamente la minima possibile ($4f$).

Sfida del tema. Ottimizzazione di una microrete solare domestica.

1. Dati e fasori: accedi al sito di Terna e annota la produzione fotovoltaica oraria della tua regione in due momenti chiave, associandovi fasori di potenza in forma trigonometrica: $z_1 = r_{1,\alpha}$ e $z_2 = r_{2,\beta}$. Calcola il loro quoziente in forma trigonometrica per valutare lo sfasamento di generazione.

2. Algebra complessa e trigonometria: converti tale quoziente in forma algebrica per moltiplicarlo per l'impedenza di rete $Z = 2 + 1,5i$. Verifica analiticamente la parte reale e la parte immaginaria applicando le formule trigonometriche dell'angolo differenza: $\cos(\alpha - \beta)$ e $\sin(\alpha - \beta)$.

3. Modellizzazione polinomiale: in GeoGebra, adatta un polinomio cubico $P(t)$ alla curva giornaliera di potenza. Conoscendo come radice l'ora intera di inizio della produzione solare, scomponi $P(t)$ applicando la regola di Ruffini fino alla completa scomposizione. Poi calcola la derivata del polinomio $P'(t)$ per trovare l'ora esatta di massima produzione ($P'(t) = 0$).

4. Proposta tecnica: redigi una breve relazione con il grafico di GeoGebra e i calcoli svolti, giustificando l'ora ottimale di consumo.

Verranno valutati:

• Precisione nelle operazioni con i numeri complessi in forma trigonometrica e algebrica, e nello sviluppo dell'angolo differenza.

• Abilità nella regola di Ruffini, nella scomposizione dei polinomi e nel calcolo della derivata di un polinomio.

• Rigore nell'uso di dati reali di Terna e chiarezza argomentativa nella relazione finale.