Esercizi: Il lavoro

Il lavoro compiuto da una forza costante su un corpo che si sposta è $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, dove $\alpha$ è l'angolo formato dalla forza e dallo spostamento. Senza fare calcoli, indica se il lavoro è positivo, negativo o nullo in ciascun caso, giustificandolo con il valore di $\alpha$:

1. a) La forza di trazione di un trattore che trascina un rimorchio su una strada orizzontale.
2. b) La forza di attrito che si oppone all'avanzamento del rimorchio.
3. c) La forza normale che il suolo esercita sul rimorchio.
4. d) La forza con cui un operaio sostiene sulla spalla una cassa ferma.

Un operaio di un magazzino spinge un bancale con una forza orizzontale costante di $250\ \text{N}$ e lo sposta di $12\ \text{m}$ sul pavimento in linea retta.

1. a) Che angolo forma la forza con lo spostamento?
2. b) Calcola il lavoro compiuto dall'operaio.

Una persona porta a passeggio il cane tirando il guinzaglio con una forza costante di $80\ \text{N}$, che forma $60^\circ$ con l'orizzontale, per un tratto rettilineo di $25\ \text{m}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$), come mostrato in figura.

Calcola il lavoro compiuto.

Collochi una cassetta degli attrezzi di $10\ \text{kg}$ su uno scaffale posto a $2,5\ \text{m}$ dal suolo (considera $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la forza peso della cassetta.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso durante la salita. Ricorda che la forza peso è diretta verso il basso e lo spostamento verso l'alto.
3. c) Quale lavoro compi tu contro la forza peso, come minimo?

Un viaggiatore spinge il suo carrello portabagagli nel terminal di un aeroporto, in linea retta e su un pavimento orizzontale.

1. a) Giustifica, usando l'espressione $W = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, perché il lavoro della forza normale e quello della forza peso sono nulli durante il tragitto.
2. b) Se il viaggiatore esercita una forza orizzontale di $18\ \text{N}$ per $100\ \text{m}$, quale lavoro compie?

In laboratorio, un carrello su un tavolo a cuscino d'aria si sposta di $\vec{d} = (5, 0)\ \text{m}$ mentre su di esso agisce una forza costante $\vec{F} = (6, 8)\ \text{N}$, come mostrato in figura.

1. a) Calcola il lavoro mediante il prodotto scalare $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y$.
2. b) Spiega perché la componente verticale della forza non contribuisce al lavoro.

Trascinando un divano di $8\ \text{m}$ sul pavimento di un salotto, la forza di attrito dinamico vale $35\ \text{N}$.

1. a) Che angolo forma la forza di attrito con lo spostamento?
2. b) Calcola il lavoro compiuto dall'attrito e interpreta il suo segno.

Il teorema dell'energia cinetica stabilisce che il lavoro netto compiuto su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: $W_{neto} = \Delta E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2$. Una sfera dimostrativa di $2\ \text{kg}$ aumenta la sua velocità da $3\ \text{m/s}$ a $5\ \text{m/s}$ su un tavolo a cuscino d'aria.

1. a) Calcola la sua energia cinetica iniziale e la sua energia cinetica finale.
2. b) Quanto vale il lavoro netto compiuto sulla sfera?

In una gara a squadre, uno studente trascina una scatola di libri di $15\ \text{m}$ sul pavimento orizzontale della palestra spingendo con una forza orizzontale di $120\ \text{N}$, mentre l'attrito dinamico si oppone con $40\ \text{N}$, come mostrato in figura.

1. a) Calcola il lavoro compiuto dallo studente.
2. b) Calcola il lavoro dell'attrito (ricorda che è negativo: $\alpha = 180^\circ$).
3. c) Calcola il lavoro della forza peso e quello della forza normale, giustificandone i valori.
4. d) Determina il lavoro netto sulla scatola.

Per caricare un frigorifero di $60\ \text{kg}$ su un furgone lo si spinge lungo una rampa di $3\ \text{m}$ che forma $20^\circ$ con l'orizzontale ($\sen 20^\circ \approx 0,34$; considera $g = 10\ \text{m/s}^2$), come mostrato in figura.

1. a) Calcola la componente della forza peso parallela alla rampa.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso durante la salita.
3. c) Quale lavoro minimo, contro quella componente della forza peso, deve compiere chi spinge?

Un musher tira la slitta della sua squadra con una corda che forma $37^\circ$ con l'orizzontale, esercitando una forza costante di $100\ \text{N}$ per $50\ \text{m}$ ($\sen 37^\circ \approx 0,6$; $\cos 37^\circ \approx 0,8$). L'attrito con la neve si oppone con $30\ \text{N}$.

1. a) Calcola il lavoro compiuto dal musher.
2. b) Calcola il lavoro dell'attrito.
3. c) Determina il lavoro netto sulla slitta.

Su un pezzo di una macchina utensile agisce una forza costante $\vec{F} = (15, -8)\ \text{N}$ mentre il pezzo si sposta di $\vec{d} = (4, 2)\ \text{m}$, come mostrato in figura.

1. a) Calcola il lavoro mediante il prodotto scalare $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y$.
2. b) Verifica che la componente $F_y$ compie un lavoro negativo e interpreta che cosa significa fisicamente quel segno.

Una gru da cantiere cala una trave di $500\ \text{kg}$ da $8\ \text{m}$ di altezza fino a terra, con velocità costante (considera $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso durante la discesa.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dalla tensione del cavo.
3. c) Quanto vale il lavoro netto? Mettilo in relazione con il fatto che la velocità è costante, usando il teorema dell'energia cinetica.

Un'automobile di $1200\ \text{kg}$ accelera da ferma fino a $108\ \text{km/h}$ immettendosi in una superstrada.

1. a) Esprimi la velocità finale in $\text{m/s}$.
2. b) Calcola la variazione dell'energia cinetica dell'automobile.
3. c) Quale lavoro netto hanno compiuto le forze che agiscono sull'auto? Esprimilo in $\text{kJ}$.

Un'auto di $1000\ \text{kg}$ che viaggia a $20\ \text{m/s}$ frena fino a fermarsi in una distanza di $50\ \text{m}$, su un tratto orizzontale.

1. a) Calcola la variazione dell'energia cinetica durante la frenata.
2. b) Applicando il teorema dell'energia cinetica, determina il lavoro della forza netta di frenata.
3. c) Quanto vale, in media, quella forza netta di frenata? Indica il suo verso.

Un vigile del fuoco di $80\ \text{kg}$ con la sua attrezzatura sale su una scala antincendio dal suolo fino a una terrazza situata $18\ \text{m}$ più in alto (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso durante la salita.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dal vigile del fuoco contro la forza peso.
3. c) Se invece della scala fosse salito lungo una rampa più lunga fino alla stessa terrazza, come cambierebbe quel lavoro? Giustificalo.

Una cassa di $25\ \text{kg}$ parte da ferma sul pavimento orizzontale di un capannone, dove il coefficiente di attrito dinamico è $\mu = 0,2$. Viene spinta con una forza orizzontale costante di $100\ \text{N}$ per $12\ \text{m}$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$), come mostrato in figura.

1. a) Calcola la forza di attrito dinamico, $F_{roz} = \mu \cdot N$, tenendo conto che su un pavimento orizzontale la forza normale è $N = m \cdot g$.
2. b) Calcola il lavoro di ciascuna delle forze (spinta, attrito, forza peso e forza normale) e il lavoro netto.
3. c) Applica il teorema dell'energia cinetica per determinare la velocità della cassa al termine dei $12\ \text{m}$.

Si fa salire un blocco di $10\ \text{kg}$ lungo un piano inclinato $30^\circ$ privo di attrito, tirando con una forza $\vec{F}$ parallela al piano, in modo che il blocco salga a velocità costante per $5\ \text{m}$ ($\sen 30^\circ = 0,5$; considera $g = 10\ \text{m/s}^2$), come mostrato in figura.

1. a) Calcola il valore di $F$ affinché la velocità sia costante.
2. b) Calcola il lavoro di ciascuna forza: la forza applicata, la forza peso e la forza normale.
3. c) Determina il lavoro netto e spiega, con il teorema dell'energia cinetica, perché quel risultato era prevedibile.

Un'automobile di $1000\ \text{kg}$ viaggia a $20\ \text{m/s}$ su una strada orizzontale e blocca le ruote in una frenata di emergenza. Il coefficiente di attrito tra gli pneumatici e l'asfalto è $\mu = 0,5$ (considera $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la forza di attrito durante la frenata.
2. b) Applica il teorema dell'energia cinetica per calcolare la distanza percorsa fino a fermarsi.
3. c) Giustifica, a partire dall'espressione ottenuta, che cosa accade alla distanza di frenata se la velocità iniziale raddoppia: raddoppia anch'essa?

Su un tavolo a cuscino d'aria del laboratorio, un disco di $4\ \text{kg}$, inizialmente fermo nel punto $A(1, 2)$, si sposta fino al punto $B(9, 5)$ mentre su di esso agisce una forza costante $\vec{F} = (6, 8)\ \text{N}$ (le coordinate sono in metri), come mostrato in figura.

1. a) Determina il vettore spostamento $\vec{d} = \vec{AB}$.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dalla forza mediante il prodotto scalare $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
3. c) Poiché l'attrito è trascurabile, quel lavoro è il lavoro netto: applica il teorema dell'energia cinetica e calcola la velocità del disco all'arrivo in $B$.

Una cabina di funivia con i suoi passeggeri ha una massa totale di $800\ \text{kg}$. Nel viaggio di andata sale dalla stazione a valle, a $1200\ \text{m}$ di altitudine, fino alla stazione in vetta, a $1750\ \text{m}$. Poi scende parzialmente fino a una stazione intermedia situata a $1550\ \text{m}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$), come mostrato in figura.

1. a) Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso durante la salita.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso durante la discesa parziale.
3. c) Calcola il lavoro totale della forza peso nell'intero percorso e verifica che dipende solo dal dislivello netto tra il punto di partenza e quello di arrivo. Quale proprietà della forza gravitazionale evidenzia questo risultato?

Un operaio solleva una cassa di $25\ \text{kg}$ lungo una rampa di $20\ \text{m}$ che forma $37^\circ$ con l'orizzontale, tirando con una fune parallela alla rampa e a velocità costante ($\sen 37^\circ \approx 0,6$; $\cos 37^\circ \approx 0,8$; coefficiente di attrito $\mu = 0,25$; prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$), come mostrato in figura.

1. a) Calcola la reazione vincolare esercitata dalla rampa e la forza di attrito.
2. b) Calcola la forza con cui tira l'operaio.
3. c) Calcola il lavoro di ciascuna forza (trazione, peso, attrito e reazione vincolare) e verifica che il lavoro netto è nullo. Perché doveva esserlo?

Su una pista di ghiaccio viene lanciato un disco di massa $m$ con velocità iniziale $v_0 = 10\ \text{m/s}$, che scivola in linea retta fino a fermarsi per l'attrito ($\mu = 0,25$; prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Scrivi l'espressione del lavoro dell'attrito e, applicando il teorema dell'energia cinetica, ricava la distanza di arresto $d$ in funzione di $v_0$, $\mu$ e $g$.
2. b) Calcola numericamente tale distanza.
3. c) Ragiona, a partire dall'espressione ottenuta, se la distanza di arresto dipende dalla massa del disco. Quale implicazione pratica ha questo risultato per la sicurezza stradale?

La cabina di un ascensore con i suoi occupanti ha una massa di $600\ \text{kg}$. Parte da ferma e sale per $12\ \text{m}$ con un'accelerazione costante di $1,2\ \text{m/s}^2$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la forza esercitata dal cavo applicando il secondo principio della dinamica: $T - m \cdot g = m \cdot a$.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dal cavo e quello compiuto dalla forza peso durante questi $12\ \text{m}$.
3. c) Determina il lavoro netto e, con il teorema dell'energia cinetica, la velocità della cabina dopo $12\ \text{m}$. Verifica il risultato con la cinematica: $v^2 = 2 \cdot a \cdot h$.