Esercizi: Le leggi del moto planetario

Johannes Kepler dedusse tre leggi che descrivono il moto dei pianeti attorno al Sole a partire dalle osservazioni di Tycho Brahe.

1. a) Enuncia la prima legge di Keplero (legge delle orbite).
2. b) Disegna sul quaderno un'orbita ellittica e indica su di essa i due fuochi dell'ellisse, la posizione del Sole, il perielio (punto più vicino al Sole) e l'afelio (punto più lontano).
3. c) Indica che cos'è il semiasse maggiore $a$ dell'orbita e scrivi la sua espressione in funzione delle distanze del perielio, $r_p$, e dell'afelio, $r_a$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

1. a) Enuncia la seconda legge di Keplero (legge delle aree).
2. b) Un pianeta percorre la sua orbita ellittica passando per il perielio e per l'afelio. Applica la legge delle aree per spiegare in quale di questi due punti si muove più velocemente.
3. c) La velocità areale (area descritta dal raggio vettore nell'unità di tempo) è costante perché il momento angolare del pianeta si conserva. Spiega qualitativamente perché un raggio vettore più corto al perielio implica una velocità maggiore.

1. a) Enuncia la terza legge di Keplero (legge dei periodi) e scrivi la sua espressione matematica, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicando il significato di $T$ e di $a$.
2. b) La costante vale $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, dove $M$ è la massa del corpo centrale. Spiega se $C$ è la stessa per tutti i pianeti del sistema solare e se lo sarebbe anche per le lune di Giove.

La Terra passa al perielio a una distanza dal Sole $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ e all'afelio a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. La figura mostra l'orbita con entrambe le distanze (non in scala):

1. a) Calcola il semiasse maggiore dell'orbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sapendo che $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (unità astronomica: distanza media Terra–Sole), esprimi il risultato in unità astronomiche e commenta ciò che osservi.

Per i corpi che orbitano attorno al Sole, se il periodo $T$ è espresso in anni e il semiasse maggiore $a$ in unità astronomiche, la terza legge di Keplero si riduce a $T^2 = a^3$. Mercurio orbita con un semiasse maggiore $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Calcola il periodo orbitale di Mercurio, in anni.
2. b) Esprimilo in giorni terrestri ($1$ anno $= 365,25$ giorni).

Un asteroide della fascia principale impiega $T = 8$ anni per completare la sua orbita attorno al Sole. Per i corpi che orbitano attorno al Sole vale $T^2 = a^3$, con $T$ in anni e $a$ in unità astronomiche.

1. a) Ricava il semiasse maggiore $a$ dall'espressione precedente.
2. b) Calcola il suo valore, in $\text{UA}$.

Uno studente afferma: «poiché $\frac{T^2}{a^3} = C$ è una costante universale, il suo valore è lo stesso per la Terra attorno al Sole e per la Luna attorno alla Terra».

1. a) Spiega perché l'affermazione è falsa, tenendo conto che $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, essendo $M$ la massa del corpo centrale.
2. b) Indica un insieme di corpi per cui la costante coinciderebbe con quella delle lune di Giove.

Disegna sul quaderno un'orbita ellittica allungata con il Sole situato in uno dei suoi fuochi.

1. a) Segna due intervalli di tempo uguali, uno centrato sul perielio e l'altro sull'afelio, e colora le aree descritte dal raggio vettore nei due tratti.
2. b) In base alla legge delle aree, quale relazione esiste tra le due aree colorate?
3. c) Spiega, a partire dal disegno, in quale tratto il pianeta percorre un arco più lungo nello stesso tempo e che cosa implica ciò sulla sua velocità.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Marte orbita attorno al Sole con un semiasse maggiore $a = 1,524\ \text{UA}$. Per i corpi che orbitano attorno al Sole, $T^2 = a^3$ con $T$ in anni e $a$ in unità astronomiche.

1. a) Calcola la durata dell'anno marziano, in anni terrestri.
2. b) Esprimi il risultato in giorni ($1$ anno $= 365,25$ giorni).

Venere completa la sua orbita attorno al Sole in $T = 0,615$ anni. Per i corpi che orbitano attorno al Sole, $T^2 = a^3$ con $T$ in anni e $a$ in unità astronomiche; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcola il semiasse maggiore dell'orbita di Venere, in $\text{UA}$.
2. b) Esprimilo in chilometri, usando la notazione scientifica.

Un gruppo di astronomi scopre un oggetto il cui periodo orbitale è $T = 27$ anni. Per i corpi che orbitano attorno al Sole, $T^2 = a^3$ con $T$ in anni e $a$ in unità astronomiche.

1. a) Calcola il semiasse maggiore della sua orbita, in $\text{UA}$.
2. b) Confrontalo con l'orbita di Nettuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): l'oggetto orbita più vicino o più lontano dal Sole rispetto a Nettuno?

Keplero verificò la sua terza legge con i dati di vari pianeti. La Terra ha $a = 1\ \text{UA}$ e $T = 1$ anno; Giove ha $a = 5,20\ \text{UA}$ e $T = 11,86$ anni.

1. a) Calcola il rapporto $\frac{T^2}{a^3}$ per la Terra, in $\text{anni}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calcola lo stesso rapporto per Giove e verifica che coincide con il precedente (a meno di arrotondamenti).
3. c) Spiega perché questo rapporto è identico solo per corpi che orbitano attorno allo stesso corpo centrale.

L'eccentricità di un'ellisse è $e = \frac{c}{a}$, dove $a$ è il semiasse maggiore e $c$ la distanza del centro dell'ellisse da uno dei fuochi. Per la Terra: $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (perielio) e $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (afelio). Osserva la geometria dell'orbita nella figura (non in scala):

1. a) Calcola il semiasse maggiore, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calcola la distanza focale, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, e l'eccentricità $e$ dell'orbita terrestre.
3. c) Un valore $e = 0$ corrisponde a una circonferenza e un valore vicino a $1$ a un'ellisse molto allungata. Commenta la forma dell'orbita terrestre in base al valore ottenuto.

Per la conservazione del momento angolare, al perielio e all'afelio vale $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$. La Terra passa al perielio ($r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$) con una velocità di $30,3\ \text{km/s}$, e l'afelio si trova a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. Lo schema mostra l'orbita e le velocità nei due punti (non in scala):

1. a) Ricava la velocità all'afelio, $v_a$, dall'espressione precedente.
2. b) Calcola il suo valore, in $\text{km/s}$.
3. c) Il perielio si verifica ai primi di gennaio e l'afelio ai primi di luglio. Indica in quale di questi mesi la Terra si muove più velocemente lungo la sua orbita e collegalo alla seconda legge di Keplero.

Cerere, il corpo più grande della fascia degli asteroidi, ha un periodo orbitale di $T = 4,60$ anni. Per i corpi che orbitano attorno al Sole, $T^2 = a^3$ con $T$ in anni e $a$ in unità astronomiche; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcola il semiasse maggiore dell'orbita di Cerere, in $\text{UA}$.
2. b) Esprimi la sua distanza media dal Sole in metri, usando la notazione scientifica.

Una cometa ha un semiasse maggiore doppio rispetto a quello di un'altra cometa dello stesso sistema.

1. a) Dimostra, a partire da $T^2 = a^3$, che se $a' = 2\cdot a$ allora $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Un asteroide orbita attorno al Sole con $a = 2\ \text{UA}$. Calcola il suo periodo, in anni.
3. c) Spiega, senza fare nuovi calcoli, se un pianeta situato a metà della distanza dal Sole rispetto alla Terra avrebbe un anno più lungo o più corto di quello terrestre.

Per un'orbita circolare di raggio $r$, la terza legge di Keplero può essere dedotta dalla legge di gravitazione universale. Lo schema mostra un pianeta in orbita circolare con la forza che agisce su di esso:

1. a) Uguaglia la forza gravitazionale, $F = \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$, alla forza centripeta del moto circolare, $F_c = \frac{m\cdot v^2}{r}$, e ottieni la velocità orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.
2. b) Sostituisci $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$ nel risultato precedente e deduci che $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}\cdot r^3$.
3. c) Individua nell'espressione ottenuta la costante della terza legge di Keplero e spiega da quali grandezze dipende.

La terza legge di Keplero permette di «pesare» il Sole. Dati: distanza media Terra–Sole $a = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$, periodo orbitale terrestre $T = 365,25$ giorni e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. La figura rappresenta l'orbita terrestre con i dati noti:

1. a) Esprimi il periodo orbitale in secondi.
2. b) Ricava la massa del Sole dall'espressione $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_S}$.
3. c) Calcola $M_S$ e confronta il risultato con il valore accettato, $1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

La cometa di Halley ha un periodo di $T = 76$ anni e passa al perielio a $r_p = 0,586\ \text{UA}$ dal Sole. Per i corpi che orbitano attorno al Sole, $T^2 = a^3$ con $T$ in anni e $a$ in unità astronomiche. La figura mostra la sua orbita allungata (non in scala):

1. a) Calcola il semiasse maggiore della sua orbita, in $\text{UA}$.
2. b) Tenendo conto che $a = \frac{r_p + r_a}{2}$, calcola la distanza dell'afelio, $r_a$.
3. c) Applicando la conservazione del momento angolare, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcola il rapporto $\frac{v_p}{v_a}$ e spiega perché la cometa di Halley è osservabile dalla Terra solo per alcuni mesi ogni $76$ anni.

La sonda Juno ha studiato il sistema di Giove. La sua luna Io orbita attorno al pianeta con un semiasse maggiore $a = 4,22\cdot10^{8}\ \text{m}$ e un periodo $T = 1,77$ giorni. Dato: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Esprimi il periodo di Io in secondi.
2. b) Ricava la massa di Giove dalla terza legge di Keplero, $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_J}$.
3. c) Calcola $M_J$ e confrontala con il valore accettato, $1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$.

La costante della terza legge di Keplero è $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, con $M$ la massa del corpo centrale. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa del Sole $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa della Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e semiasse maggiore dell'orbita della Luna $a = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Calcola, in unità del Sistema Internazionale, la costante $C$ per il sistema solare e per il sistema Terra–Luna.
2. b) Spiega a che cosa è dovuta l'enorme differenza tra i due valori.
3. c) Utilizza la costante del sistema Terra–Luna per prevedere il periodo orbitale della Luna ed esprimilo in giorni.

Mercurio ha l'orbita planetaria più eccentrica del sistema solare: $a = 0,387\ \text{UA}$ e $e = 0,206$. Le distanze dal Sole al perielio e all'afelio sono $r_p = a\cdot(1 - e)$ e $r_a = a\cdot(1 + e)$.

1. a) Calcola $r_p$ e $r_a$, in $\text{UA}$.
2. b) Applicando la conservazione del momento angolare, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcola il rapporto $\frac{v_p}{v_a}$.
3. c) Per la Terra questo rapporto vale $1,034$. Confronta i due risultati e spiega quale ruolo svolge l'eccentricità nella variazione della velocità orbitale.

Per viaggiare dalla Terra a Marte con il minor consumo di combustibile si utilizza un'orbita di trasferimento di Hohmann: un'ellisse con il perielio sull'orbita terrestre ($1\ \text{UA}$) e l'afelio sull'orbita marziana ($1,524\ \text{UA}$). Per i corpi che orbitano attorno al Sole, $T^2 = a^3$ con $T$ in anni e $a$ in unità astronomiche. Lo schema mostra l'orbita di trasferimento:

1. a) Calcola il semiasse maggiore dell'ellisse di trasferimento.
2. b) Calcola il periodo completo di questa ellisse, in anni.
3. c) Il viaggio di andata dura mezzo periodo. Calcola la sua durata in giorni ($1$ anno $= 365,25$ giorni) e spiega perché le missioni verso Marte possono essere lanciate solo in determinate finestre che si ripetono ogni $26$ mesi.

Viene scoperto un esopianeta che orbita attorno a una stella di massa $M_E = 4\cdot M_S$ (quattro volte la massa del Sole) con un semiasse maggiore $a = 1\ \text{UA}$, uguale a quello della Terra.

1. a) Partendo da $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M}$, dimostra che $\frac{T^2}{T_{Tierra}^2} = \frac{a^3}{a_{Tierra}^3}\cdot\frac{M_S}{M_E}$.
2. b) Calcola il periodo dell'esopianeta, in anni terrestri.
3. c) Spiega perché in questo caso non si può applicare direttamente la relazione semplificata $T^2 = a^3$ valida per il sistema solare.