Esercizi: Conservazione del momento angolare

Una pattinatrice artistica ruota sul ghiaccio con le braccia tese. A un certo punto raccoglie le braccia contro il corpo e, senza darsi un nuovo impulso, inizia a ruotare molto più velocemente.

1. a) Quali forze esterne agiscono sulla pattinatrice e perché il loro momento rispetto all'asse di rotazione è praticamente nullo?
2. b) Enuncia il principio di conservazione del momento angolare e applicalo a questo caso.
3. c) Quando raccoglie le braccia, quale grandezza diminuisce: il momento di inerzia $I$ o la velocità angolare $\omega$? Deduci perché l'altra aumenta.

Una pattinatrice ruota con un momento di inerzia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ e una velocità angolare $\omega_1 = 4\ \text{rad/s}$. Raccogliendo le braccia, il suo momento di inerzia si riduce a $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. La figura riassume il cambiamento:

1. a) Calcola il suo momento angolare iniziale, $L = I_1 \cdot \omega_1$.
2. b) Applica la conservazione del momento angolare, $I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$, e calcola la velocità angolare finale $\omega_2$.
3. c) Esprimi il risultato come «volte più veloce»: quanti giri compie ora per ogni giro che compiva prima?

Un pianeta descrive un'orbita ellittica attorno alla sua stella, che occupa uno dei fuochi dell'ellisse. Indica con $r_a$ la distanza nel punto più lontano (afelio) e con $r_p$ quella del punto più vicino (perielio).

1. a) Giustifica, in base al carattere centrale della forza gravitazionale, che il momento angolare del pianeta è lo stesso in tutta l'orbita.
2. b) Scrivi l'uguaglianza di conservazione tra afelio e perielio: $m \cdot v_a \cdot r_a = m \cdot v_p \cdot r_p$.
3. c) Ragiona, a partire da tale uguaglianza, in quale punto il pianeta si muove più velocemente e in quale più lentamente.

Un pianeta orbita attorno a una stella e all'afelio si trova a $4 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ da essa, muovendosi a $10\ \text{km/s}$. Al perielio la distanza si riduce a $2 \cdot 10^{11}\ \text{m}$. La figura mostra l'orbita (non in scala):

1. a) Scrivi l'equazione di conservazione del momento angolare tra afelio e perielio.
2. b) Calcola la velocità del pianeta al perielio, in $\text{km/s}$.
3. c) Spiega fisicamente perché la sua velocità è aumentata.

Il momento angolare di un corpo non si conserva in tutte le situazioni. Rispondi motivando:

1. a) Qual è la condizione sul momento delle forze esterne affinché il momento angolare si conservi?
2. b) Una trottola ruota appoggiata al suolo e dopo un po' di tempo si ferma: il suo momento angolare si è conservato? Quale momento di forza ne è responsabile?
3. c) Un pianeta gira da milioni di anni attorno alla sua stella senza cambiamenti apprezzabili: collega questo fatto con la condizione del punto a).

Il rotore principale di un elicottero ruota in un verso e, così facendo, la fusoliera tende a ruotare nel verso opposto; il piccolo rotore di coda ha il compito di impedirlo. Lo schema mostra l'elicottero visto dall'alto:

1. a) Prima del decollo, il momento angolare totale dell'elicottero è nullo. Applicando la conservazione del momento angolare, spiega perché la fusoliera tende a ruotare quando il rotore principale si mette in moto.
2. b) Che cosa fa il rotore di coda per impedire tale rotazione? Motiva la risposta.
3. c) Gli elicotteri con due rotori principali li fanno ruotare in versi opposti: spiega, con la conservazione del momento angolare, perché così non hanno bisogno del rotore di coda.

Una giostra del luna park ruota con velocità angolare $\omega_1$ con tutti i bambini seduti vicino al centro. Quando si spostano sui sedili del bordo, il momento di inerzia totale del sistema raddoppia.

1. a) Scrivi l'equazione di conservazione del momento angolare per questa situazione.
2. b) Deduci, senza altri dati, la velocità angolare finale in funzione di $\omega_1$.
3. c) La giostra reale rallenta appena perché il motore mantiene il ritmo: si conserva allora il momento angolare nella giostra reale? Motiva la risposta.

La cometa 67P, visitata dalla sonda Rosetta, passa al perielio a $1,86 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ dal Sole e all'afelio a $8,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Scrivi la conservazione del momento angolare tra i due punti e ricava il rapporto $\frac{v_p}{v_a}$.
2. b) Calcola tale rapporto e interpretalo: quante volte più veloce va la cometa vicino al Sole rispetto a quando è lontana?
3. c) La cometa impiega circa $6$ anni e mezzo a compiere l'intero giro: ragiona in quale parte dell'orbita trascorre la maggior parte di quel tempo.

La Terra passa all'afelio, il suo punto più lontano dal Sole, a $1,521 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ con una velocità di modulo $29,3\ \text{km/s}$; al perielio passa a $1,471 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Applica la conservazione del momento angolare e calcola la velocità della Terra al perielio, in $\text{km/s}$.
2. b) Determina la differenza tra le due velocità e commenta se è grande o piccola in termini relativi.
3. c) A gennaio la Terra è al perielio eppure nell'emisfero nord è inverno: alla luce dei dati, commenta perché le stagioni non dipendono dalla distanza dal Sole.

Mercurio è il pianeta con l'orbita più allungata del sistema solare: passa al perielio a $4,6 \cdot 10^{10}\ \text{m}$ dal Sole con una velocità di modulo $59\ \text{km/s}$ e all'afelio a $7,0 \cdot 10^{10}\ \text{m}$.

1. a) Applica la conservazione del momento angolare e calcola la velocità di Mercurio all'afelio, in $\text{km/s}$.
2. b) Esprimi entrambe le velocità in $\text{m/s}$, in notazione scientifica.
3. c) Calcola il rapporto $\frac{v_p}{v_a}$ e quello delle distanze $\frac{r_a}{r_p}$: verifica che coincidono e spiega perché devono coincidere.

Una tuffatrice inizia un salto mortale ruotando a un giro al secondo con il corpo disteso, con un momento di inerzia di $12\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Raggomitolandosi in aria, il suo momento di inerzia si riduce a $4\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

1. a) Esprimi la velocità angolare iniziale in $\text{rad/s}$ (un giro equivale a $2 \cdot \pi\ \text{rad}$).
2. b) Applica la conservazione del momento angolare e calcola la velocità angolare finale, in $\text{rad/s}$.
3. c) Esprimila in giri al secondo e spiega perché i tuffatori si raggomitolano per eseguire più avvitamenti e si distendono prima di arrivare in acqua.

Un bambino di $30\ \text{kg}$ corre a $3\ \text{m/s}$ in direzione tangente al bordo di una giostra di raggio $2\ \text{m}$ e vi salta sopra, rimanendo aggrappato al bordo. La giostra era ferma e il suo momento di inerzia è $I = 400\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Considera il bambino una massa puntiforme. Lo schema mostra la situazione vista dall'alto:

1. a) Calcola il momento angolare del bambino rispetto all'asse della giostra subito prima del salto, $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcola il momento di inerzia totale dopo il salto, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
3. c) Applica la conservazione del momento angolare e calcola la velocità angolare con cui inizia a ruotare il sistema.

Quando una stella esaurisce il suo combustibile, il suo nucleo può collassare conservando praticamente il proprio momento angolare. Modella il nucleo come una sfera il cui momento di inerzia è proporzionale al quadrato del suo raggio, $I \propto R^2$. La figura riassume il collasso:

1. a) Se il raggio del nucleo si dimezza, ragiona di quale fattore cambia il suo momento di inerzia.
2. b) Applica la conservazione del momento angolare e deduci di quale fattore cambia la sua velocità angolare.
3. c) Se inizialmente il nucleo ruotava con un periodo di $10\ \text{h}$, calcola il suo periodo di rotazione finale.

La cometa di Halley attraversa il perielio a $8,8 \cdot 10^{10}\ \text{m}$ dal Sole con una velocità di modulo $54,5\ \text{km/s}$; all'afelio si allontana fino a $5,2 \cdot 10^{12}\ \text{m}$.

1. a) Calcola la velocità della cometa all'afelio applicando la conservazione del momento angolare, in $\text{km/s}$.
2. b) Esprimi tale velocità in $\text{m/s}$, in notazione scientifica.
3. c) La massa della cometa non compare nel calcolo: giustifica perché si può semplificare nell'equazione di conservazione.

In un laboratorio si lancia un dardo di $0,05\ \text{kg}$ a $40\ \text{m/s}$ che si conficca nel bordo di un disco orizzontale di raggio $0,25\ \text{m}$, libero di ruotare attorno al suo asse verticale. Il disco era fermo e il suo momento di inerzia è $I = 0,2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Il dardo colpisce in direzione tangente al bordo; trascura il momento di inerzia del dardo conficcato.

1. a) Calcola il momento angolare del dardo rispetto all'asse del disco subito prima dell'impatto.
2. b) Giustifica che nell'urto si conserva il momento angolare anche se non si conserva l'energia cinetica, trattandosi di un urto anelastico.
3. c) Calcola la velocità angolare del disco con il dardo conficcato.

Un giroscopio è una ruota che gira ad alta velocità angolare attorno al proprio asse. I satelliti e la Stazione Spaziale Internazionale montano ruote di reazione basate su questo principio per orientarsi senza consumare combustibile.

1. a) Il vettore $\vv{L}$ di una ruota che gira liberamente nello spazio si conserva in modulo, direzione e verso: spiegalo a partire dal momento delle forze esterne.
2. b) Deduci perché un giroscopio mantiene fisso l'orientamento del suo asse nello spazio e quale utilità ha ciò come riferimento di navigazione.
3. c) Se una ruota di reazione del satellite aumenta la sua velocità di rotazione in un verso, che cosa accade al resto del satellite? Motiva la risposta con la conservazione del momento angolare totale.

L'esopianeta HD 80606 b ha un'orbita molto allungata: nel punto più vicino alla sua stella passa a $4,5 \cdot 10^{9}\ \text{m}$ da essa con una velocità di modulo $1,2 \cdot 10^{5}\ \text{m/s}$, e nel più lontano si allontana fino a $1,35 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Giustifica che il momento angolare del pianeta si conserva in tutta l'orbita.
2. b) Calcola la sua velocità nel punto più lontano, in notazione scientifica.
3. c) Calcola il rapporto delle distanze $\frac{r_{lejos}}{r_{cerca}}$ e confrontalo con il rapporto delle velocità: che relazione c'è tra i due?
4. d) Il pianeta impiega circa $111$ giorni a compiere il giro completo, ma trascorre la maggior parte del tempo lontano dalla sua stella: spiega questo fatto con la conservazione del momento angolare.

Una pattinatrice ruota con un momento di inerzia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ e una velocità angolare $\omega_1 = 6\ \text{rad/s}$. Raccogliendo le braccia, il suo momento di inerzia diventa $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. L'energia cinetica di rotazione vale $E_c = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2$.

1. a) Calcola la velocità angolare finale applicando la conservazione del momento angolare.
2. b) Calcola l'energia cinetica di rotazione iniziale e finale.
3. c) Verifica che l'energia finale è maggiore di quella iniziale: da dove proviene questa energia in più se nessuno spinge la pattinatrice dall'esterno? Motiva la risposta pensando al lavoro compiuto dai suoi muscoli nell'avvicinare le braccia all'asse.

Il nucleo di una stella gigante, di raggio $R_1 = 2 \cdot 10^{8}\ \text{m}$, ruota con un periodo di $20\ \text{h}$. Quando esaurisce il combustibile collassa e forma una stella di neutroni di raggio $R_2 = 1 \cdot 10^{4}\ \text{m}$, conservando il proprio momento angolare. Modella il nucleo come una sfera, $I \propto R^2$.

1. a) Scrivi l'equazione di conservazione $I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$ in funzione dei raggi e deduci il fattore $\frac{\omega_2}{\omega_1}$.
2. b) Calcola tale fattore con i dati del testo.
3. c) Esprimi il periodo iniziale in secondi e calcola il periodo finale della stella di neutroni, in notazione scientifica.
4. d) Le pulsar reali ruotano con periodi di millesimi di secondo: commenta se il tuo risultato è compatibile e che cosa implica sulla violenza del collasso stellare.

Una piattaforma girevole di un parco giochi ($I = 100\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$) ruota liberamente a $\omega_1 = 2\ \text{rad/s}$ con un bambino di $40\ \text{kg}$ seduto sul bordo, a $1,5\ \text{m}$ dall'asse (consideralo una massa puntiforme). Il bambino striscia lentamente fino al centro della piattaforma.

1. a) Calcola il momento di inerzia totale iniziale, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
2. b) Calcola il momento angolare iniziale del sistema.
3. c) Con il bambino al centro, dove il suo momento di inerzia è trascurabile, calcola la velocità angolare finale della piattaforma.
4. d) Se il bambino tornasse al bordo, la piattaforma riprenderebbe la sua velocità iniziale? Giustificalo e commenta che cosa risponderesti a chi afferma che «la piattaforma continua per sempre a ruotare più velocemente».

Il sistema Terra-Luna conserva il proprio momento angolare totale quasi alla perfezione. Per effetto delle maree, la rotazione della Terra rallenta: il giorno si allunga di circa $2\ \text{ms}$ per secolo, e la Luna si allontana da noi di circa $3,8\ \text{cm}$ all'anno.

1. a) Il momento angolare totale del sistema è la somma di quello di rotazione della Terra e di quello orbitale della Luna: scrivi tale somma indicando ciascun termine.
2. b) Se il momento angolare di rotazione della Terra diminuisce, ragiona su che cosa deve accadere al momento angolare orbitale della Luna affinché il totale si conservi.
3. c) Il momento angolare orbitale della Luna vale $m \cdot v \cdot r$: spiega perché allontanarsi (aumentare $r$) fa aumentare tale momento anche se la Luna si muove un po' più lentamente (in orbita circolare $v$ decresce solo come $\frac{1}{\sqrt{r}}$, mentre $r$ cresce).
4. d) Estrapola la situazione a lunghissimo termine: che cosa accadrà alla durata del giorno terrestre e alla distanza dalla Luna se il processo continua?

Un satellite descrive un'orbita circolare di raggio $r_1 = 7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ con una velocità di modulo $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. Per passare a un'orbita più alta accende brevemente il motore nella direzione del moto (spinta tangenziale) e aumenta la sua velocità del 20 %. Lo schema mostra l'orbita e l'accensione del motore:

1. a) Calcola il momento angolare per unità di massa prima dell'accensione, $\frac{L}{m} = v \cdot r$.
2. b) La spinta del motore è una forza centrale? Il momento angolare si conserva durante l'accensione? Motiva entrambe le risposte.
3. c) Calcola la nuova velocità e il nuovo momento angolare per unità di massa subito dopo l'accensione.
4. d) Con il motore ormai spento, il satellite percorre un'orbita ellittica allontanandosi dal punto di accensione: descrivi, con la conservazione del momento angolare, come evolvono la sua velocità e la sua distanza dal centro della Terra fino a raggiungere il punto più alto.

La Stazione Spaziale Internazionale (momento di inerzia totale $I_{EEI} = 1 \cdot 10^{8}\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$) si orienta con ruote di reazione: volani interni di $I_r = 100\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ ciascuno. Supponi la stazione inizialmente in quiete angolare, con le ruote ferme, e trascura il momento di inerzia delle ruote rispetto a quello della stazione.

1. a) Quanto vale il momento angolare totale del sistema stazione più ruote in quello stato iniziale?
2. b) Una ruota viene messa in rotazione a $\omega_r = 300\ \text{rad/s}$. Applicando la conservazione del momento angolare totale, calcola la velocità angolare con cui la stazione inizia a ruotare in verso opposto.
3. c) Esprimi il risultato in giri all'ora e commenta se il metodo permette manovre di orientamento lente ma controllate, senza consumare combustibile.

Un pattinatore ruota sul ghiaccio con un manubrio di $2\ \text{kg}$ in ciascuna mano e le braccia tese, a $0,8\ \text{m}$ dall'asse di rotazione, con $\omega_1 = 5\ \text{rad/s}$. Il momento di inerzia del suo corpo (con le braccia) è $I_p = 3\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. A un certo punto lascia andare i manubri, senza lanciarli: semplicemente apre le mani.

1. a) Calcola il momento di inerzia totale iniziale, sommando quello del pattinatore e quello dei due manubri, trattati come masse puntiformi a $0,8\ \text{m}$ dall'asse.
2. b) Calcola il momento angolare totale iniziale.
3. c) Una volta liberi, i manubri si muovono in linea retta e portano via con sé il proprio momento angolare rispetto all'asse: calcola quale parte del momento angolare iniziale spettava ai manubri e deduci la velocità angolare finale del pattinatore.
4. d) Confronta il risultato con quello che sarebbe accaduto se avesse raccolto le braccia senza lasciare nulla: è lo stesso effetto? Giustificalo.

Sfida del tema. Progetta una relazione scientifico-tecnica che colleghi la dinamica del momento angolare con gli effetti relativistici in orbite estreme.

1. Esperimento casalingo: Lega un piccolo oggetto ($m = 25\text{ g} \pm 1\text{ g}$) a un filo. Fallo ruotare orizzontalmente sotto una forza centrale con raggi $r \in \{0,30; 0,45; 0,60\}\text{ m}$ ($\pm 0,01\text{ m}$). Cronometra $10$ rivoluzioni ($\pm 0,2\text{ s}$) per calcolare il periodo $T$ e la velocità $v$. Costruisci una tabella con le incertezze, rappresenta il grafico di $L = m \cdot r \cdot v$ in funzione di $r$ e discuti se il momento angolare si conserva.

2. Salto relativistico: Consulta sul sito della NASA o dell'ESA la velocità di una sonda veloce e confrontala con un caso ipotetico in campo centrale a $v = 0,80c$. Determina il fattore $\gamma$, la contrazione di una lunghezza propria $L_0$ parallela alla velocità ($L' = L_0/\gamma$), la dilatazione temporale giornaliera ($\Delta t = \gamma \Delta t_0$) e l'energia relativistica totale ($E = \gamma m c^2$).

3. Prodotto finale: Consegna una proposta argomentata che includa la tabella sperimentale, il grafico e l'analisi comparativa tra la meccanica classica e quella relativistica.

Sarà valutato:

• Rigore nella misurazione casalinga, calcolo delle incertezze e qualità del grafico.

• Correttezza concettuale nell'applicazione del momento angolare, delle forze centrali e delle trasformazioni relativistiche.

• Coerenza critica e chiarezza espositiva nella relazione finale.