Esercizi: Energia meccanica e tipo di moto

L'energia potenziale gravitazionale di una massa $m$ a una distanza $r$ dal centro di un pianeta di massa $M$ è $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$. La figura mostra il grafico di $E_p$ in funzione di $r$.

1. a) Spiega quale convenzione sullo zero dell'energia si adotta in questa espressione: in quale posizione l'energia potenziale vale zero?
2. b) Con tale convenzione, ragiona perché l'energia potenziale di un satellite legato alla Terra è sempre negativa.

Una sonda di $m = 800\ \text{kg}$ si trova a $r = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ dal centro della Terra. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola la sua energia potenziale gravitazionale, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$, ed esprimila in notazione scientifica.
2. b) Spiega il significato fisico del segno negativo del risultato.

Un satellite si trova prima a $r_1 = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ dal centro della Terra e poi passa a $r_2 = 1,4\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Senza fare calcoli numerici, ragiona con la formula $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$ in quale delle due posizioni la sua energia potenziale è maggiore.
2. b) In quale delle due posizioni il satellite è più legato alla Terra? Giustificalo a partire dal segno e dal valore di $E_p$.

La velocità di fuga dalla superficie di un pianeta di massa $M$ e raggio $R$ è $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$. Dati della Terra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola la velocità di fuga dalla superficie terrestre.
2. b) Esprimi il risultato in $\text{km/s}$.

Dati della Luna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ e $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcola la velocità di fuga dalla superficie della Luna con $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$.
2. b) Sapendo che sulla Terra è di circa $11,2\ \text{km/s}$, spiega perché decollare dalla Luna richiede molta meno energia che decollare dalla Terra.

Un satellite in orbita circolare attorno alla Terra ha un'energia cinetica $E_c = 2\cdot10^{9}\ \text{J}$. In orbita circolare valgono $E_p = -2\cdot E_c$ e $E_m = E_c + E_p$. Lo schema riassume le tre energie:

1. a) Calcola la sua energia potenziale e la sua energia meccanica.
2. b) Verifica che l'energia meccanica è negativa e spiega che cosa significa per il moto del satellite.

Tre sonde spaziali hanno, rispetto al Sole, energie meccaniche $E_{m,A} = -3\cdot10^{9}\ \text{J}$, $E_{m,B} = 0\ \text{J}$ e $E_{m,C} = +2\cdot10^{9}\ \text{J}$. La figura mostra i tre tipi di traiettoria possibili attorno al Sole:

1. a) Indica che tipo di traiettoria segue ciascuna (chiusa, parabolica o iperbolica) e giustificalo a partire dal segno della sua energia meccanica.
2. b) Quale di esse finirà per allontanarsi dal Sole indefinitamente, arrivando all'infinito con velocità nulla?

Dati di Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ e $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcola la velocità di fuga dalla superficie di Marte con $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$.
2. b) La velocità di fuga dipende dalla massa del corpo che fugge? Motiva la risposta a partire dalla formula, pensando a due navicelle, una di $10^{3}\ \text{kg}$ e un'altra di $10^{5}\ \text{kg}$.

La Stazione Spaziale Internazionale, di massa $m = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, orbita a circa $400\ \text{km}$ di altezza, cioè a $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ dal centro della Terra. La velocità di un satellite in orbita circolare è $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola la sua velocità orbitale.
2. b) Calcola la sua energia cinetica e la sua energia potenziale, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
3. c) Calcola la sua energia meccanica e verifica che soddisfa $E_m = -E_c$.

Un satellite di ricerca ha un'energia potenziale $E_{p,0} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$ quando si trova sulla superficie terrestre. Dati: $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La figura mostra il grafico di $E_p(r)$:

1. a) Imposta l'equazione $E_p(r) = \frac{E_{p,0}}{2}$ e calcola a quale distanza dal centro della Terra l'energia potenziale del satellite vale la metà di quella sulla superficie.
2. b) A quale altezza sopra la superficie corrisponde quella distanza? Esprimi il risultato come multiplo del raggio terrestre.

Una navicella è già in orbita a un'altezza pari a un raggio terrestre, cioè a $r = 2\cdot R_T$ dal centro della Terra, con $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la velocità di fuga da quella posizione, $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M_T}{r}}$.
2. b) Sapendo che dalla superficie è $11,2\ \text{km/s}$, calcola il rapporto tra le due velocità e collega quel fattore alla distanza dal centro della Terra.

Un satellite di $m = 1000\ \text{kg}$ passa da un'orbita circolare di raggio $r_1 = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ a un'altra di raggio $r_2 = 1,4\cdot10^{7}\ \text{m}$, il doppio. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola la sua energia meccanica in ciascuna orbita, $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Stabilisci, a partire dal risultato, se nell'orbita più alta il satellite è più o meno legato alla Terra.
3. c) Calcola la sua velocità orbitale in ciascun caso con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$ e verifica che salendo di orbita il satellite si muove più lentamente.

Una sonda di $m = 800\ \text{kg}$ si trova a $r = 10^{9}\ \text{m}$ dal centro della Terra e si allontana con una velocità di $v = 4\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la sua energia cinetica in quella posizione.
2. b) Calcola la sua energia potenziale gravitazionale.
3. c) Determina la sua energia meccanica e indica, giustificandolo, se la sonda sfuggirà all'attrazione terrestre o finirà per ritornare.

Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ e $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; la velocità di fuga terrestre è $11,2\ \text{km/s}$.

1. a) Calcola la velocità di fuga dalla superficie di Marte ed esprimila in $\text{km/s}$.
2. b) Quante volte è maggiore la velocità di fuga terrestre rispetto a quella marziana?
3. c) L'energia cinetica minima di fuga è $E_c = \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_e^2$: spiega, usando i risultati precedenti, quante volte più energia per chilogrammo serve per fuggire dalla Terra rispetto a Marte.

Un meteorite si trova molto lontano dalla Terra, praticamente fermo, e cade verso di essa. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Imposta la conservazione dell'energia meccanica tra l'infinito (dove $E_c = 0$ e $E_p = 0$) e la superficie terrestre.
2. b) Calcola la velocità con cui arriva alla superficie.
3. c) Spiega perché il risultato coincide numericamente con la velocità di fuga terrestre.

Un satellite di navigazione descrive un'orbita circolare di raggio $r = 2,96\cdot10^{7}\ \text{m}$ attorno alla Terra e la sua energia meccanica è $E_m = -2,69\cdot10^{9}\ \text{J}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Ricava la massa del satellite dall'espressione $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$ e calcolala.
2. b) Calcola la sua energia potenziale tenendo conto che $E_p = 2\cdot E_m$.
3. c) Calcola la sua energia cinetica.

Dalla superficie terrestre viene lanciata verticalmente una sonda di piccole dimensioni con velocità iniziale $v_0 = 5\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, senza spinta successiva (lancio balistico). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Osserva lo schema:

1. a) Imposta la conservazione dell'energia meccanica tra la superficie e il punto di altezza massima (dove la velocità è nulla).
2. b) Calcola la distanza massima dal centro della Terra raggiunta dalla sonda e la corrispondente altezza sopra la superficie.
3. c) Spiega, a partire dall'equazione impostata, che cosa accade all'altezza massima quando $v_0$ si avvicina alla velocità di fuga, $11,2\ \text{km/s}$.
4. d) Spiega perché non sarebbe corretto risolvere il problema con l'espressione $E_p = m\cdot g\cdot h$ supponendo $g$ costante.

Una sonda parte dalla superficie terrestre con velocità $v_0 = 1,2\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, superiore alla velocità di fuga ($11,2\ \text{km/s}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Verifica numericamente che $v_0$ è maggiore della velocità di fuga terrestre.
2. b) Applica la conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità con cui la sonda arriverà all'infinito (velocità residua).
3. c) Indica che tipo di traiettoria descrive la sonda rispetto alla Terra e giustificalo a partire dal segno della sua energia meccanica.

Un piccolo corpo celeste si avvicina alla Luna con una velocità, quando è ancora molto lontano da essa, di $v_\infty = 2\cdot10^{3}\ \text{m/s}$. Dati della Luna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ e $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Applica la conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità con cui impatterà sulla superficie lunare.
2. b) Confronta il risultato con quello di un corpo che cadesse da fermo (velocità di fuga lunare, $2,37\ \text{km/s}$) ed esprimi il rapporto tra le due velocità.
3. c) La Luna non ha atmosfera: spiega perché sulla Luna praticamente ogni corpo che si avvicina finisce per impattare, mentre sulla Terra molti meteoroidi non arrivano al suolo.

La sonda Voyager 1 ha lasciato il Sistema Solare sfruttando il moto orbitale dei pianeti. Dati del Sole: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; distanza media Terra-Sole: $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola la velocità di fuga dall'attrazione del Sole a una distanza pari al raggio dell'orbita terrestre.
2. b) Calcola la velocità orbitale della Terra attorno al Sole supponendo la sua orbita circolare, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_S}{r}}$.
3. c) Determina quale velocità aggiuntiva serve a una sonda che già accompagna la Terra nella sua orbita per sfuggire al Sole, e spiega perché conviene lanciarla nella direzione e nel verso del moto orbitale terrestre.

Un satellite di $m = 600\ \text{kg}$ descrive un'orbita ellittica di trasferimento con semiasse maggiore $a = 2,45\cdot10^{7}\ \text{m}$ attorno alla Terra. L'energia meccanica di un'orbita ellittica è $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot a}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. L'orbita è mostrata nella figura.

1. a) Calcola l'energia meccanica del satellite in quell'orbita.
2. b) Calcola l'energia meccanica che avrebbe in un'orbita circolare di raggio uguale a $a$ e confronta i due risultati.
3. c) Usando la conservazione dell'energia meccanica e l'espressione di $E_p$, stabilisci in quale punto dell'ellisse (perigeo, il più vicino alla Terra, o apogeo, il più lontano) la velocità del satellite è massima.

Due satelliti, di masse $m_1 = 500\ \text{kg}$ e $m_2 = 2000\ \text{kg}$, condividono la stessa orbita circolare di raggio $r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ attorno alla Terra. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la velocità orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, e spiega perché è la stessa per entrambi i satelliti anche se le loro masse sono diverse.
2. b) Calcola l'energia cinetica e l'energia meccanica di ciascun satellite.
3. c) Se i due satelliti si agganciassero formando un unico corpo nella stessa orbita, spiega che cosa accadrebbe alla loro velocità orbitale e all'energia meccanica totale del sistema.

La cometa di Halley, di massa approssimativa $m = 2\cdot10^{14}\ \text{kg}$, passa per il punto più lontano della sua orbita (afelio), a $r = 5,24\cdot10^{12}\ \text{m}$ dal Sole, con una velocità di $9,1\cdot10^{2}\ \text{m/s}$. L'oggetto interstellare 1I/'Oumuamua, di massa stimata $m = 10^{8}\ \text{kg}$, si muove molto lontano dal Sole a $2,6\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, dove l'energia potenziale solare è praticamente nulla. Dati: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcola l'energia meccanica della cometa di Halley rispetto al Sole e classifica la sua traiettoria.
2. b) Calcola l'energia meccanica di 'Oumuamua e classifica la sua traiettoria.
3. c) Collega i risultati alle osservazioni: la cometa di Halley ritorna al Sole ogni $76$ anni circa, mentre 'Oumuamua, che ci ha visitato nel 2017, non tornerà mai più.

La velocità orbitale di un satellite in orbita circolare radente (raggio $r \approx R$) è $v_{orb} = \sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}$, e la velocità di fuga dalla superficie è $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$. Osserva lo schema:

1. a) Dimostra che $v_e = \sqrt{2}\cdot v_{orb}$ e calcola entrambi i valori per la Terra ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Un razzo con il motore acceso in modo continuo può sfuggire alla Terra senza mai raggiungere $11,2\ \text{km/s}$: spiega perché il concetto di velocità di fuga si riferisce soltanto a un lancio balistico (unico impulso iniziale, senza spinta successiva) e che cosa accade dal punto di vista energetico quando il motore continua a fornire energia durante la salita.