Esercizi: Energia cinetica ed energia potenziale

L'energia cinetica si calcola come $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$. Un portiere di pallamano lancia la palla, di $0,4\ \text{kg}$, a $25\ \text{m/s}$. Calcola la sua energia cinetica.

L'energia potenziale gravitazionale si calcola come $E_p = m \cdot g \cdot h$. Un vaso di $6\ \text{kg}$ si trova sul davanzale di una finestra, a $4\ \text{m}$ dal suolo (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). Calcola la sua energia potenziale rispetto al suolo.

L'energia potenziale elastica di una molla si calcola come $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, dove $k$ è la costante elastica e $x$ la deformazione. Una molla di $k = 300\ \text{N/m}$ viene allungata di $0,1\ \text{m}$. Lo schema è mostrato in figura.

1. a) Calcola l'energia potenziale elastica immagazzinata.
2. b) Se invece di allungarla la si comprime di $0,1\ \text{m}$, l'energia immagazzinata è maggiore, minore o uguale? Giustificalo osservando come compare $x$ nella formula.

Indica quali energie meccaniche possiede ciascun corpo (cinetica, potenziale gravitazionale o potenziale elastica; può averne più di una):

1. a) Un arco teso con la freccia pronta, prima di scoccarla.
2. b) Un aereo in volo di crociera.
3. c) Un'automobile parcheggiata in cima a un passo di montagna.
4. d) La molla di un orologio a carica manuale appena caricato.

Un drone per le consegne di $2\ \text{kg}$ vola a $3\ \text{m/s}$ a $30\ \text{m}$ di altezza (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la sua energia cinetica.
2. b) Calcola la sua energia potenziale.
3. c) Qual è la sua energia meccanica, $E_m = E_c + E_p$?

Una lampadina appesa al soffitto, a $2,5\ \text{m}$ dal pavimento, ha un'energia potenziale di $98\ \text{J}$ (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Ricava la massa dalla formula $E_p = m \cdot g \cdot h$ e calcolala.

Due molle identiche vengono allungate in laboratorio: la prima di $5\ \text{cm}$ e la seconda di $10\ \text{cm}$. Senza fare calcoli numerici, ragiona con la formula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ su quale immagazzina più energia elastica e quante volte di più.

Una motocicletta con il suo pilota pesa in totale $250\ \text{kg}$ e viaggia a $72\ \text{km/h}$.

1. a) Esprimi la velocità in $\text{m/s}$.
2. b) Calcola la sua energia cinetica.

Una pallina da golf di $0,045\ \text{kg}$ parte dal tee con un'energia cinetica di $81\ \text{J}$. Ricava la velocità dalla formula $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ e calcola con quale velocità parte.

Una persona su un monopattino elettrico viaggia a $10\ \text{m/s}$ e la sua energia cinetica è di $3600\ \text{J}$. Ricava la massa dalla formula dell'energia cinetica e calcola la massa totale del sistema persona-monopattino.

Un serbatoio per l'irrigazione contiene $200\ \text{kg}$ di acqua e la sua energia potenziale rispetto al suolo è di $5880\ \text{J}$ (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Ricava l'altezza dalla formula $E_p = m \cdot g \cdot h$ e calcola a quale altezza si trova l'acqua.
2. b) Se si svuota metà del serbatoio, quanto varrà l'energia potenziale dell'acqua rimanente?

La molla di un ammortizzatore giocattolo viene compressa di $0,15\ \text{m}$ e immagazzina un'energia potenziale elastica di $2,25\ \text{J}$.

1. a) Ricava la costante elastica dalla formula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ e calcolala.
2. b) Quale energia immagazzinerebbe se fosse compressa di $0,3\ \text{m}$?

Calcola l'energia cinetica di ciascun veicolo:

1. a) Un'automobile di $1200\ \text{kg}$ che viaggia a $30\ \text{m/s}$.
2. b) Un camion di $9000\ \text{kg}$ che viaggia a $12\ \text{m/s}$.

Quale ha più energia cinetica? Commenta cosa pesa di più nel risultato: la massa o la velocità.

Un drone per le consegne di $3\ \text{kg}$ scende da $50\ \text{m}$ fino a $20\ \text{m}$ di altezza mantenendo una velocità costante di $8\ \text{m/s}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). La situazione è mostrata in figura.

1. a) Calcola la sua energia cinetica: cambia durante la discesa?
2. b) Calcola l'energia potenziale che perde.
3. c) Come cambia la sua energia meccanica? Spiega cosa è successo a quell'energia.

Una molla di costante $k = 300\ \text{N/m}$ viene allungata per gradi in laboratorio.

1. a) Calcola l'energia potenziale elastica quando $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcola l'energia quando $x = 0,2\ \text{m}$.
3. c) Quante volte è maggiore la seconda rispetto alla prima? Spiega il risultato a partire dalla formula e prevedi, senza calcolarla con la calcolatrice, l'energia per $x = 0,4\ \text{m}$.

Un treno ad alta velocità di $400\ \text{t}$ viaggia a $180\ \text{km/h}$.

1. a) Esprimi la sua massa in chilogrammi, in notazione scientifica, e la sua velocità in $\text{m/s}$.
2. b) Calcola la sua energia cinetica ed esprimila in notazione scientifica.
3. c) Calcola l'energia cinetica che avrebbe viaggiando a $90\ \text{km/h}$ e determina che relazione ha con la precedente.

Un'automobile di $900\ \text{kg}$ viaggia prima a $10\ \text{m/s}$ e poi a $30\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la sua energia cinetica in ciascun caso.
2. b) Quante volte è maggiore la seconda rispetto alla prima? Metti in relazione questo fattore con il fattore per cui è stata moltiplicata la velocità.
3. c) Prevedi, usando la proporzionalità, l'energia cinetica a $40\ \text{m/s}$ e verificalo con la formula.
4. d) Ricava una conseguenza per la sicurezza stradale dal fatto che l'energia cinetica cresce con il quadrato della velocità.

Un ciclista e la sua bicicletta pesano in totale $80\ \text{kg}$ e scendono da un passo a $15\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la sua energia cinetica.
2. b) Una pattinatrice di $45\ \text{kg}$ ha esattamente la stessa energia cinetica: ricava la velocità e calcola a quanto viaggia.
3. c) Il rapporto delle masse è $80/45 = 16/9$. Spiega, usando la formula dell'energia cinetica, perché il rapporto delle velocità è la radice quadrata del rapporto delle masse invertito, cioè $4/3$.

Vuoi verificare in laboratorio che l'energia potenziale elastica è proporzionale al quadrato della deformazione, usando una molla di $k = 200\ \text{N/m}$, un righello e un set di pesi.

1. a) Spiega cosa misureresti e come otterresti l'energia immagazzinata in ciascuna misura.
2. b) Prevedi i risultati: calcola l'energia potenziale per deformazioni di $0,05\ \text{m}$, $0,10\ \text{m}$ e $0,15\ \text{m}$.
3. c) Se rappresentassi l'energia in funzione della deformazione $x$, che forma avrebbe il grafico? E se la rappresentassi in funzione di $x^2$? Giustificalo.

Il tuo compagno calcola l'energia potenziale elastica di una molla di $k = 500\ \text{N/m}$ compressa di $0,2\ \text{m}$ e ottiene $20\ \text{J}$, perché ha usato l'espressione $E_p = k \cdot x^2$. La figura mostra come cresce la forza necessaria nel comprimere la molla.

1. a) Quale errore ha commesso?
2. b) Calcola tu correttamente l'energia potenziale elastica.
3. c) Il fattore $\frac{1}{2}$ compare perché, quando si allunga o si comprime la molla, la forza necessaria cresce da $0$ fino a $k \cdot x$, e il lavoro compiuto si calcola con la forza media. Calcola la forza media in questo caso e verifica che forza media per deformazione dà il risultato corretto.

Un libro di $0,5\ \text{kg}$ si trova su un tavolo di $80\ \text{cm}$ di altezza, in un'aula al secondo piano situata $8\ \text{m}$ sopra la strada (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra i tre livelli.

1. a) Calcola la sua energia potenziale prendendo come origine la superficie del tavolo.
2. b) Calcolala prendendo come origine il pavimento dell'aula.
3. c) Calcolala prendendo come origine la strada.
4. d) Spiega che cosa significa scegliere un livello di riferimento e giustifica perché, nei problemi di conservazione dell'energia, il risultato non dipende dall'origine scelta (pensa a quale grandezza compare davvero: l'altezza o la differenza di altezze).

Una molla di $k = 800\ \text{N/m}$ immagazzina $16\ \text{J}$ di energia potenziale elastica.

1. a) Ricava la deformazione dalla formula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ e calcolala.
2. b) Quale forza esercita la molla in quella situazione? Usa la legge di Hooke, $F = k \cdot x$.
3. c) Quale forza media è stato necessario applicare per portarla dalla posizione naturale fino a quella deformazione? Verifica che il lavoro di quella forza media coincide con l'energia immagazzinata.

Calcola le energie meccaniche di questi due veicoli e confrontale (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$):

1. a) Un aereo di linea di $80000\ \text{kg}$ che vola a $10000\ \text{m}$ di quota a $250\ \text{m/s}$: calcola la sua energia cinetica, la sua energia potenziale e la sua energia meccanica, in notazione scientifica.
2. b) Una monoposto di Formula 1 di $800\ \text{kg}$ che corre a $80\ \text{m/s}$ su un circuito al livello del mare: calcola la sua energia cinetica e spiega perché la sua energia potenziale può essere considerata nulla.
3. c) Commenta quale termine dell'energia meccanica prevale in ciascun caso e a che cosa è dovuto.

Un razzo sonda di $500\ \text{kg}$ sale accelerando. Quando si trova a $1000\ \text{m}$ di quota ha una velocità di $100\ \text{m/s}$, e qualche secondo dopo passa per $3000\ \text{m}$ di quota a $200\ \text{m/s}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra i due punti della salita.

1. a) Calcola la sua energia meccanica nel primo punto.
2. b) Calcola la sua energia meccanica nel secondo punto.
3. c) Di quanto è aumentata la sua energia meccanica? Da dove proviene quell'energia?
4. d) L'energia meccanica si conserva durante la salita del razzo? Giustificalo.