Esercizi: Conservazione in sistemi conservativi e non conservativi

Un'altalena oscilla liberamente dopo una spinta iniziale, come mostrato in figura.

1. a) In quali punti del percorso la sua energia potenziale è massima? E la sua energia cinetica?
2. b) Descrivi la trasformazione di energia che avviene nella discesa da un estremo al punto più basso.
3. c) Se nessuno la spinge di nuovo, l'ampiezza diminuisce a poco a poco: quali forze ne sono responsabili e che cosa succede all'energia meccanica?

Un sasso di $2\ \text{kg}$ cade da una scogliera di $20\ \text{m}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito con l'aria). La situazione è mostrata in figura.

1. a) Quale energia potenziale ha all'inizio della caduta?
2. b) Se l'energia meccanica si conserva, quale energia cinetica avrà quando arriva in basso?
3. c) Con quale velocità arriverà?

Indica in quali di queste situazioni si conserva l'energia meccanica e in quali no, giustificandolo in una frase per ciascun caso:

1. a) Un satellite in orbita circolare attorno alla Terra.
2. b) Un'automobile che frena bruscamente fino a fermarsi.
3. c) Una mela che si stacca dal ramo e cade (trascura l'attrito).
4. d) Un ascensore che sale a velocità costante.

Lanci verticalmente verso l'alto una palla di $0,5\ \text{kg}$ con una velocità di $10\ \text{m/s}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito), come mostrato in figura.

1. a) Quale energia cinetica ha quando lascia la tua mano?
2. b) Imposta la conservazione dell'energia meccanica tra il punto di lancio e il punto più alto (dove la velocità è nulla) e calcola l'altezza massima raggiunta.

In tutte le montagne russe, la prima cima del percorso è la più alta di tutto il circuito. Osserva lo schema:

Spiega, usando la conservazione dell'energia meccanica, perché nessuna cima successiva può superare l'altezza della prima se il vagone parte da essa quasi da fermo, e quale ruolo ha l'attrito in questa conclusione.

Un trampolo a molla (pogo stick) ha una molla che si comprime all'atterraggio e si allunga al distacco.

1. a) Descrivi la catena di trasformazioni di energia in un salto completo, da quando la molla è compressa al massimo fino a quando il saltatore raggiunge l'altezza massima.
2. b) L'energia meccanica si conserva mentre la molla spinge? E durante il volo? Motiva entrambe le risposte.

Uno sciatore scende lungo una pista, senza spingersi, da una cima fino alla base (trascura gli attriti), come mostrato in figura.

1. a) In quale punto della discesa la sua velocità è massima? Dove è massima la sua energia potenziale?
2. b) La sua energia meccanica cambia durante la discesa?
3. c) Se un'altra pista con un profilo completamente diverso unisse la stessa cima con la stessa base, arriverebbe in basso con velocità maggiore, minore o uguale? Giustificalo con la conservazione dell'energia.

Spiega con parole tue che cos'è una forza conservativa, portando come esempi la forza peso e la forza elastica di una molla, e che cosa accade all'energia meccanica di un sistema quando agiscono solo forze di questo tipo. Poi fai un esempio di forza non conservativa, indica il segno del lavoro che compie su un corpo in movimento e spiega il suo effetto sull'energia meccanica del corpo.

Un vagone di montagne russe passa per la cima più alta del percorso, a $40\ \text{m}$, con una velocità di $5\ \text{m/s}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito). La situazione è mostrata in figura.

1. a) Calcola la sua energia meccanica per ogni chilogrammo di massa.
2. b) Con quale velocità passerà per un punto situato a $10\ \text{m}$ di altezza?
3. c) Occorre conoscere la massa del vagone per rispondere? Giustificalo a partire dall'equazione di conservazione.

In laboratorio, la sfera di $0,1\ \text{kg}$ di un pendolo viene lasciata dalla quiete in una posizione $45\ \text{cm}$ più alta del punto più basso della sua oscillazione (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito), come mostrato in figura.

1. a) Calcola la sua energia potenziale iniziale rispetto al punto più basso.
2. b) Imposta la conservazione dell'energia e calcola con quale velocità passa per il punto più basso.
3. c) Quale altezza raggiungerà dall'altra parte dell'oscillazione? Giustificalo senza rifare i calcoli.

Un pacco di $2\ \text{kg}$ scivola lungo una rampa metallica da $5\ \text{m}$ di altezza e arriva in basso con una velocità di $8\ \text{m/s}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). Lo schema è mostrato in figura.

1. a) Quale energia potenziale aveva in alto?
2. b) Quale energia cinetica ha quando arriva in basso?
3. c) L'energia meccanica si è conservata? Calcola l'energia dissipata, che coincide in valore assoluto con il lavoro della forza di attrito, $W_{roz} = \Delta E_m$.
4. d) Se la rampa è lunga $10\ \text{m}$, calcola la forza di attrito media che ha agito sul pacco.

Una molla di $k = 200\ \text{N/m}$, compressa di $0,1\ \text{m}$, spinge su un tavolo orizzontale senza attrito un blocco di $0,5\ \text{kg}$ inizialmente fermo. Lo schema è mostrato in figura.

1. a) Quale energia potenziale elastica ha la molla compressa?
2. b) Imposta la conservazione dell'energia tra la molla compressa e il blocco ormai staccato dalla molla, e calcola la velocità con cui viene lanciato.
3. c) Spiega quali forze agiscono sul blocco in ogni momento e perché l'energia meccanica si conserva.

Un carrello da laboratorio entra alla base di una pista curva con una velocità di $4\ \text{m/s}$ e sale lungo di essa senza spinte (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito).

1. a) Quale altezza massima raggiunge?
2. b) Se entrasse al doppio della velocità, $8\ \text{m/s}$, salirebbe il doppio in altezza? Calcolalo e commenta il risultato.
3. c) Scrivi la relazione di proporzionalità tra l'altezza raggiunta e la velocità di ingresso.

Una cassa di $4\ \text{kg}$ scivola su un pavimento orizzontale con una velocità iniziale di $6\ \text{m/s}$ e si ferma per l'attrito. Il coefficiente di attrito è $\mu = 0,3$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quale energia cinetica aveva all'inizio dello scivolamento?
2. b) Calcola la forza di attrito, $F_{roz} = \mu \cdot m \cdot g$.
3. c) Il lavoro dell'attrito consuma tutta l'energia cinetica: calcola la distanza che percorre prima di fermarsi.

Una palla di $0,1\ \text{kg}$ viene lasciata cadere da $2\ \text{m}$ e, dopo aver rimbalzato sul pavimento, risale solo fino a $1,5\ \text{m}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$), come mostrato in figura.

1. a) Calcola la sua energia potenziale prima della caduta e nel punto più alto dopo il rimbalzo.
2. b) Quanta energia ha perso nel rimbalzo? Che percentuale di quella iniziale rappresenta?
3. c) In che cosa si è trasformata quell'energia?
4. d) Se la palla continuasse a rimbalzare allo stesso modo, che cosa accadrebbe alla lunga alla sua energia meccanica?

La sfera di $0,2\ \text{kg}$ di un pendolo passa per il punto più basso con una velocità di $4\ \text{m/s}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quale energia cinetica ha in quel punto?
2. b) Se non ci fosse attrito, quale altezza massima raggiungerebbe dall'altra parte?
3. c) In realtà sale solo $0,6\ \text{m}$: calcola l'energia dissipata in quella mezza oscillazione, $W_{roz} = \Delta E_m$.
4. d) Spiega, a partire da questi numeri, perché il pendolo finirà per fermarsi e in che cosa si è trasformata la sua energia.

Un vagone di montagne russe parte da fermo da una cima di $45\ \text{m}$ di altezza, scende in una valle situata a $25\ \text{m}$ e poi affronta una seconda cima di $40\ \text{m}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito). Il profilo del percorso è mostrato in figura.

1. a) Con quale velocità passa per la valle?
2. b) Con quale velocità passa per la seconda cima?
3. c) Se ci fosse una terza cima di $50\ \text{m}$, riuscirebbe a superarla? Giustificalo con le energie e indica da quale altezza minima dovrebbe partire per riuscirci (al limite, arrivando con velocità nulla).
4. d) Tenendo conto che nella realtà c'è sempre attrito, motiva se l'altezza di partenza dovrebbe essere maggiore o minore di quella calcolata nel punto precedente.

Una molla di $k = 500\ \text{N/m}$, compressa di $0,2\ \text{m}$, lancia un blocco di $1\ \text{kg}$ su un pavimento orizzontale il cui coefficiente di attrito è $\mu = 0,25$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). Il blocco percorre una certa distanza e si ferma.

1. a) Calcola l'energia potenziale elastica iniziale della molla.
2. b) Calcola la forza di attrito che agisce sul blocco una volta in movimento.
3. c) Motiva perché tutta l'energia elastica finisce per essere dissipata e calcola la distanza percorsa dal blocco prima di fermarsi.
4. d) Se la molla fosse compressa di $0,4\ \text{m}$ (il doppio), quale distanza percorrerebbe? Commenta la relazione che trovi.

Un pacco di $2\ \text{kg}$ si stacca da un drone per consegne fermo a $45\ \text{m}$ di altezza (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito con l'aria).

1. a) Qual è la sua energia meccanica all'inizio della caduta?
2. b) Quando passa per $25\ \text{m}$ di altezza, quanta energia potenziale e quanta energia cinetica ha? Con quale velocità passa di lì?
3. c) Con quale velocità arriva al suolo?
4. d) Le velocità calcolate dipendono dalla massa del pacco? Giustificalo a partire dall'equazione di conservazione.

Un'automobile di $1200\ \text{kg}$ frena fino a fermarsi su asfalto asciutto, con un coefficiente di attrito $\mu = 0,6$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la forza di attrito durante la frenata.
2. b) Se viaggiava a $30\ \text{m/s}$, calcola la sua energia cinetica e la distanza di frenata (il lavoro dell'attrito consuma tutta l'energia cinetica).
3. c) Ripeti il calcolo per una velocità iniziale di $15\ \text{m/s}$.
4. d) Quale relazione c'è tra le due distanze di frenata? Spiega quale conseguenza ha questo risultato per i limiti di velocità in città.

Un blocco di $2\ \text{kg}$ scivola da fermo lungo un piano inclinato di $3\ \text{m}$ di altezza. L'angolo del piano soddisfa $\sen \theta = 0,6$ e $\cos \theta = 0,8$, e il coefficiente di attrito è $\mu = 0,3$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). Lo schema è mostrato in figura.

1. a) Calcola la lunghezza del piano percorsa dal blocco e la forza normale su di esso, $N = m \cdot g \cdot \cos \theta$.
2. b) Calcola la forza di attrito e il suo lavoro, $W_{roz} = -F_{roz} \cdot L$.
3. c) Applica $W_{roz} = \Delta E_m$ per calcolare l'energia cinetica del blocco quando arriva in basso e la sua velocità.
4. d) Quale percentuale dell'energia potenziale iniziale è stata dissipata per attrito?

Un vagone di montagne russe parte da fermo da una cima di $45\ \text{m}$ e affronta un giro della morte (loop) di $12,5\ \text{m}$ di raggio, il cui punto più alto si trova quindi a $25\ \text{m}$ dal suolo (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito). Lo schema è mostrato in figura.

1. a) Con quale velocità passa per il punto più basso del circuito?
2. b) Con quale velocità passa per il punto più alto del loop?
3. c) Per sicurezza, la velocità nel punto più alto del loop deve essere almeno di $15\ \text{m/s}$ (dato). Il vagone la supera? Calcola da quale altezza minima potrebbe partire il vagone per soddisfare esattamente questo requisito.
4. d) Motiva perché nella progettazione reale la cima di partenza si trova ben al di sopra di questa altezza minima teorica.

Una massa di $1\ \text{kg}$ è appesa a una molla verticale di $k = 100\ \text{N/m}$. Viene lasciata da ferma nel punto in cui la molla è a riposo e cade allungandola (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$ e trascura l'attrito). Lo schema è mostrato in figura.

1. a) Spiega perché, sia al momento del rilascio sia nel punto più basso della caduta, la sua energia cinetica è nulla, e imposta la conservazione dell'energia tra questi due punti: $m \cdot g \cdot x = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, dove $x$ è l'allungamento massimo.
2. b) Calcola l'allungamento massimo $x$.
3. c) La posizione di equilibrio statico (dove la massa appesa resterebbe ferma) soddisfa $k \cdot x_e = m \cdot g$: calcolala e confrontala con $x$. Spiega il fattore $2$ che compare: dov'è l'«energia in più» quando la massa passa per la posizione di equilibrio?

Una persona e la sua attrezzatura, $80\ \text{kg}$ in totale, si lanciano lungo una teleferica (zip line) di $100\ \text{m}$ di cavo che supera un dislivello di $45\ \text{m}$. L'attrito medio (puleggia, aria) è di $200\ \text{N}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). Lo schema è mostrato in figura.

1. a) Quale energia potenziale ha all'inizio del percorso?
2. b) Calcola il lavoro dell'attrito durante tutta la discesa, $W_{roz} = -F_{roz} \cdot d$.
3. c) Calcola l'energia cinetica e la velocità con cui arriva alla fine del cavo.
4. d) Con quale velocità arriverebbe se non ci fosse attrito? Commenta il risultato e spiega perché le teleferiche hanno bisogno di un sistema di frenata all'arrivo.

Sfida del tema. Quanta energia meccanica si dissipa in un rimbalzo? Indaga sperimentalmente la degradazione energetica a casa tua.

1. Raccolta dei dati: Pesa una palla con una bilancia da cucina ($\pm 1\text{ g}$) e lasciala cadere verticalmente da quattro altezze ($h_1$: $0,40$; $0,60$; $0,80$; $1,00\text{ m}$). Con un metro a nastro ($\pm 0,005\text{ m}$), misura l'altezza massima di rimbalzo ($h_2$). Registra un video davanti a una parete di riferimento e ripeti $3$ volte per altezza per calcolare la media e la sua incertezza.

2. Elaborazione dei dati: Costruisci una tabella con l'energia potenziale iniziale ($E_{p1} = m \cdot g \cdot h_1$), quella finale ($E_{p2} = m \cdot g \cdot h_2$, prendendo $g = 9,8\text{ m/s}^2$) e il lavoro dissipato dalle forze non conservative ($W_{nc} = \Delta E_m$). Rappresenta graficamente $E_{p2}$ in funzione di $E_{p1}$ e traccia la retta di regressione.

3. Relazione conclusiva: Scrivi una breve relazione che giustifichi la trasformazione di energia potenziale in cinetica, il modo in cui agisce la deformazione anelastica durante l'urto e la percentuale media di energia degradata in suono e calore.

Verranno valutati:

• Rigore metrologico nella raccolta delle misure casalinghe e nel trattamento delle incertezze.

• Correttezza analitica nella tabella e nel grafico a dispersione con la sua linea di tendenza.

• Qualità della giustificazione teorica sulla conservazione dell'energia meccanica e il calcolo di $W_{nc}$.