Esercizi: I principi della dinamica

Un Frecciarossa percorre un tratto rettilineo a velocità costante di $300\ \text{km/h}$.

1. a) Quanto vale l'accelerazione del treno in quel tratto?
2. b) Applicando il primo principio della dinamica, quanto vale la forza risultante che agisce sul treno?
3. c) Se la spinta dei motori vale $5 \cdot 10^{4}\ \text{N}$, quanto vale la forza di attrito totale che si oppone all'avanzamento? Giustificalo.

In laboratorio si applica una forza risultante di $24\ \text{N}$ a un carrello dinamico di $3\ \text{kg}$ che si muove su una rotaia orizzontale.

1. a) Scrivi l'espressione del secondo principio della dinamica, $\sum \vec{F} = m \cdot \vec{a}$, e ricava l'accelerazione.
2. b) Calcola il valore dell'accelerazione del carrello.

Un operaio appoggia un container di $10\ \text{kg}$ su una rampa di carico che forma $30^\circ$ con l'orizzontale (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 30^\circ = 0,5$ e $\cos 30^\circ \approx 0,87$). La figura mostra il container sulla rampa.

1. a) Calcola la forza peso del container.
2. b) Calcola la componente della forza peso parallela alla rampa, $P_x = P \cdot \sen 30^\circ$.
3. c) Calcola la componente perpendicolare, $P_y = P \cdot \cos 30^\circ$, e indica quale forza del piano la equilibra.

Una cassa di $5\ \text{kg}$ poggia sul pavimento orizzontale di un'officina. Il coefficiente di attrito tra la cassa e il pavimento è $\mu = 0,4$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la reazione vincolare che il pavimento esercita sulla cassa.
2. b) Calcola la forza di attrito quando la cassa scivola, $F_r = \mu \cdot N$.
3. c) Se la cassa viene spinta con una forza orizzontale di $20\ \text{N}$, si muoverà a velocità costante? Motiva la risposta.

Una mazza colpisce una palla da baseball esercitando su di essa una forza di $200\ \text{N}$ in avanti. Lo schema mostra l'istante dell'impatto.

1. a) Enuncia il terzo principio della dinamica (azione e reazione).
2. b) Quale forza esercita la palla sulla mazza? Indica modulo, direzione e verso.
3. c) Spiega perché, pur avendo le due forze lo stesso modulo, la palla parte a gran velocità mentre la mazza cambia appena il suo moto.

Una lampada di $4\ \text{kg}$ è appesa, ferma, a un cavo fissato al soffitto (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra la lampada appesa al cavo.

1. a) Disegna sul quaderno le forze che agiscono sulla lampada e indica quale corpo esercita ciascuna.
2. b) Calcola la tensione del cavo.
3. c) Se il cavo resiste solo a una tensione massima di $100\ \text{N}$, qual è la massima massa di lampada che si può appendere?

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il motore di un monopattino elettrico esercita una forza risultante di $40\ \text{N}$. Lo schema confronta le due situazioni.

1. a) Calcola l'accelerazione quando viaggia solo il monopattino, di massa $20\ \text{kg}$.
2. b) Calcola l'accelerazione quando trasporta uno zaino e la massa totale è $40\ \text{kg}$.
3. c) Spiega, a partire da $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$, perché raddoppiando la massa l'accelerazione si dimezza.

Su una cassa di $4\ \text{kg}$ sulla banchina di carico agiscono due forze orizzontali sulla stessa retta: $30\ \text{N}$ verso destra e $18\ \text{N}$ verso sinistra. La figura mostra la cassa con entrambe le forze.

1. a) Calcola la forza risultante sulla cassa, indicandone il verso.
2. b) Calcola l'accelerazione della cassa.
3. c) Quale forza aggiuntiva bisognerebbe applicare perché la cassa si muova a velocità costante? Giustificalo con il primo principio della dinamica.

Un operaio spinge un carrello da officina di $8\ \text{kg}$ con una forza orizzontale di $52\ \text{N}$. Il coefficiente di attrito con il pavimento è $\mu = 0,5$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra le forze che agiscono sul carrello.

1. a) Calcola la reazione vincolare e la forza di attrito.
2. b) Calcola la forza risultante orizzontale sul carrello.
3. c) Calcola la sua accelerazione.

In un esperimento di laboratorio si lascia scendere un carrello di $2\ \text{kg}$ lungo un piano inclinato di $30^\circ$, con attrito trascurabile (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 30^\circ = 0,5$ e $\cos 30^\circ \approx 0,87$).

1. a) Calcola le componenti della forza peso parallela e perpendicolare al piano.
2. b) Calcola l'accelerazione del carrello.
3. c) Se parte da fermo, calcola il tempo che impiega a percorrere $10\ \text{m}$ lungo il piano e la velocità che raggiunge alla fine (usa $x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$ e $v = a \cdot t$).

Una slitta di soccorso di $40\ \text{kg}$ scende lungo un pendio innevato di $37^\circ$ con coefficiente di attrito $\mu = 0,5$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$). La figura mostra la slitta sul pendio con le forze che agiscono su di essa.

1. a) Calcola la componente della forza peso parallela al pendio.
2. b) Calcola la reazione vincolare e la forza di attrito.
3. c) Calcola l'accelerazione della slitta e verifica che non dipende dalla sua massa: una slitta carica scenderebbe con la stessa accelerazione di una vuota? Spiega perché.

Per trascinare un carretto da giardino di $10\ \text{kg}$ si tira una corda con una forza di $100\ \text{N}$ che forma $37^\circ$ con l'orizzontale. Il coefficiente di attrito con il suolo è $\mu = 0,25$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$). La figura mostra il carretto e la corda.

1. a) Scomponi la forza della corda nelle sue componenti orizzontale e verticale.
2. b) Tenendo conto che la corda «solleva» un poco il carretto, calcola la reazione vincolare e la forza di attrito.
3. c) Calcola la forza risultante orizzontale e l'accelerazione del carretto.

Su una carrucola ideale da laboratorio sono appese due masse, $m_1 = 3\ \text{kg}$ e $m_2 = 5\ \text{kg}$, unite da una fune inestensibile (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$). Poiché la fune è inestensibile, entrambe le masse si muovono con la stessa accelerazione $a$, e la tensione $T$ è la stessa lungo tutta la fune. La figura mostra il montaggio della carrucola.

1. a) Disegna sul quaderno le forze che agiscono su ciascuna massa.
2. b) Scrivi il secondo principio della dinamica per ciascuna massa: $T - m_1 \cdot g = m_1 \cdot a$ per quella che sale e $m_2 \cdot g - T = m_2 \cdot a$ per quella che scende.
3. c) Somma le due equazioni per eliminare $T$ e calcola l'accelerazione del sistema.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una locomotiva giocattolo di $2\ \text{kg}$ traina due vagoni, di $2\ \text{kg}$ e $4\ \text{kg}$, uniti da agganci, esercitando una forza di trazione di $24\ \text{N}$ (considera trascurabile l'attrito). La composizione del treno è, dalla testa alla coda: locomotiva, vagone di $2\ \text{kg}$ e vagone di $4\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'accelerazione dell'intero convoglio.
2. b) Applicando il secondo principio solo al vagone di $4\ \text{kg}$, che è l'ultimo, calcola la tensione dell'aggancio tra i due vagoni.
3. c) Calcola la tensione dell'aggancio tra la locomotiva e il primo vagone e spiega perché è maggiore di quella del punto precedente.

Una persona di $60\ \text{kg}$ si pesa su una bilancia dentro un ascensore (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra la persona sulla bilancia.

1. a) Quanto indica la bilancia con l'ascensore fermo?
2. b) L'ascensore parte verso l'alto con un'accelerazione di $1,5\ \text{m/s}^2$. Applica il secondo principio in verticale, $N - P = m \cdot a$, e calcola quanto indica la bilancia.
3. c) Il peso reale della persona è variato? Spiega quale grandezza è cambiata.

Per spostare una scatola da trasloco di $20\ \text{kg}$ sul pavimento, il coefficiente di attrito statico è $\mu_e = 0,5$ e quello dinamico $\mu_d = 0,4$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la forza orizzontale minima necessaria per mettere in movimento la scatola.
2. b) Calcola la forza orizzontale necessaria per mantenerla in movimento a velocità costante.
3. c) Spiega, alla luce dei risultati, perché è più difficile «far partire» la scatola che mantenerla in movimento.

Un pacco di $4\ \text{kg}$ scivola dalla sommità di una rampa di un magazzino che forma $37^\circ$ con l'orizzontale. Il coefficiente di attrito è $\mu = 0,25$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$).

1. a) Disegna sul quaderno le forze che agiscono sul pacco e calcola il valore di ciascuna.
2. b) Calcola l'accelerazione con cui scende.
3. c) Se la rampa è lunga $8\ \text{m}$ e il pacco parte da fermo, calcola la velocità con cui arriva in fondo e il tempo impiegato (usa $v^2 = 2 \cdot a \cdot x$ e $v = a \cdot t$).

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un blocco di $6\ \text{kg}$ è appoggiato su un tavolo orizzontale ed è unito, tramite una fune che passa su una carrucola ideale, a un altro blocco di $4\ \text{kg}$ che pende. Il coefficiente di attrito tra il primo blocco e il tavolo è $\mu = 0,25$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra il montaggio.

1. a) Disegna sul quaderno le forze che agiscono su ciascun blocco.
2. b) Calcola la forza di attrito sul blocco appoggiato al tavolo.
3. c) Imposta il secondo principio della dinamica per ciascun blocco, tenendo conto che entrambi hanno la stessa accelerazione $a$ e che la tensione $T$ è la stessa lungo tutta la fune, e calcola il valore di $a$.
4. d) Calcola la tensione della fune.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'auto telecomandata di $2\ \text{kg}$ si muove in linea retta. La sua velocità evolve così: da $t = 0$ a $t = 4\ \text{s}$ passa da $0$ a $8\ \text{m/s}$ in modo uniforme; da $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$ mantiene la velocità di $8\ \text{m/s}$; da $t = 10\ \text{s}$ a $t = 14\ \text{s}$ frena uniformemente fino a fermarsi.

1. a) Rappresenta sul quaderno il grafico velocità-tempo.
2. b) Calcola l'accelerazione di ciascuno dei tre tratti.
3. c) Applicando il secondo principio della dinamica, calcola la forza risultante sull'auto in ciascun tratto e indicane il verso.
4. d) Nel secondo tratto la forza risultante è nulla: spiega se ciò significa che il motore non esercita alcuna forza.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per determinare il coefficiente di attrito tra una tavola e un blocco, si inclina lentamente la tavola e si osserva che, quando forma $37^\circ$ con l'orizzontale, il blocco scende a velocità costante (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$).

1. a) Disegna sul quaderno le forze sul blocco e spiega perché la forza risultante è nulla.
2. b) Scrivi le equazioni di equilibrio nella direzione del piano e nella direzione perpendicolare.
3. c) Deduci che in tali condizioni $\mu = \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ e calcola il valore di $\mu$.
4. d) Prevedi, con il relativo calcolo, l'accelerazione che avrebbe il blocco sulla stessa rampa se il coefficiente di attrito fosse $\mu = 0,5$.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un carrello di $2\ \text{kg}$ viene lanciato verso l'alto lungo un piano inclinato di $37^\circ$ con una velocità iniziale di $8\ \text{m/s}$. Il coefficiente di attrito dinamico è $\mu_d = 0,25$ e quello statico $\mu_e = 0,5$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$). La figura mostra il carrello nell'istante del lancio.

1. a) Disegna sul quaderno le forze sul carrello mentre sale (attenzione: l'attrito si oppone al moto) e calcola la sua accelerazione.
2. b) Calcola la distanza che percorre prima di fermarsi e il tempo impiegato (usa $v^2 = v_0^2 - 2 \cdot a \cdot x$ e $v = v_0 - a \cdot t$).
3. c) Una volta fermo in alto, il carrello torna a scendere? Confronta la componente della forza peso parallela al piano con la forza di attrito statico massima e motiva la risposta.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Nella macchina di Atwood del laboratorio si appendono le masse $m_1 = 2\ \text{kg}$ e $m_2 = 6\ \text{kg}$ a una fune inestensibile che passa su una carrucola ideale (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Disegna sul quaderno le forze che agiscono su ciascuna massa.
2. b) Imposta il sistema di due equazioni con le incognite $a$ e $T$ e risolvilo: calcola l'accelerazione del sistema e la tensione della fune.
3. c) Verifica che la tensione è maggiore della forza peso di $m_1$ e minore della forza peso di $m_2$, e spiega perché deve essere così finché il sistema accelera.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Uno studente calcola l'accelerazione di un blocco di $3\ \text{kg}$ che scende senza attrito lungo un piano inclinato di $30^\circ$ e scrive: «poiché l'unica forza è la forza peso, $a = \frac{F}{m} = \frac{m \cdot g}{m} = g = 10\ \text{m/s}^2$» (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$ e $\sen 30^\circ = 0,5$).

1. a) Individua i due errori del ragionamento: quale forza ha dimenticato e quale componente della forza peso è quella che accelera realmente il blocco.
2. b) Calcola l'accelerazione corretta del blocco.
3. c) Calcola la forza risultante reale sul blocco e confrontala con la sua forza peso.

Un container di $5\ \text{kg}$ si trova su una rampa di $37^\circ$ in un porto di carico, unito da un cavo che passa su una carrucola ideale a un contrappeso di $5\ \text{kg}$ appeso verticalmente. Il coefficiente di attrito tra il container e la rampa è $\mu = 0,2$ (usa $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$). La figura mostra il montaggio della rampa con il contrappeso.

1. a) Disegna sul quaderno le forze che agiscono sul container e sul contrappeso.
2. b) Calcola la componente della forza peso del container parallela alla rampa e la forza di attrito, e stabilisci in che verso si muove il sistema.
3. c) Calcola l'accelerazione del sistema.
4. d) Calcola la tensione del cavo.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.