Esercizi: Intensità del campo di un sistema di masse: calcolo vettoriale

Il valore dell'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre si può ottenere a partire dalla legge di gravitazione universale, come mostrato in figura.

1. a) Partendo dalla legge di gravitazione universale e dalla definizione di campo gravitazionale (forza per unità di massa), deduci l'espressione del modulo del campo gravitazionale $g$ generato sulla sua superficie da un pianeta sferico di massa $M$ e raggio $R$.
2. b) Calcola il suo valore per la Terra. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Confronta il risultato con il valore abituale $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Prima di inviare una missione con equipaggio su Marte conviene conoscere la gravità sulla sua superficie.

1. a) Calcola il modulo del campo gravitazionale sulla superficie di Marte. Dati: massa di Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, raggio di Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Il raggio di Marte è circa la metà di quello terrestre e, tuttavia, la sua gravità è decisamente inferiore alla metà di quella terrestre: spiega da cosa dipende, osservando la massa.

Il campo gravitazionale di una massa puntiforme diminuisce con il quadrato della distanza. Il grafico mostra questa dipendenza:

1. a) Se a una distanza $r$ dal centro di un pianeta il campo vale $g$, quanto vale a una distanza $2\cdot r$? Motiva la risposta a partire da $g = G\cdot\frac{M}{r^2}$.
2. b) A quale distanza dal centro della Terra, espressa in raggi terrestri $R_T$, il campo vale un quarto del valore sulla superficie?
3. c) A quale altezza sulla superficie corrisponde tale distanza?

In un laboratorio di metrologia si vuole misurare il campo gravitazionale generato da una sfera piena di piombo di $100\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il modulo del campo a $0,50\ \text{m}$ dal suo centro, trattando la sfera come una massa puntiforme ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Esprimi il risultato in notazione scientifica e confronta il suo ordine di grandezza con quello del campo gravitazionale terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): quale conclusione ne trai sulla difficoltà della misura?

Il campo gravitazionale $\vec{g}$ in un punto si definisce come la forza per unità di massa che agirebbe su una massa di prova posta in esso: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) A partire da questa definizione, dimostra che $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Spiega con parole tue che cosa significa che in un punto dello spazio il campo valga $g = 3,7\ \text{N/kg}$: quale forza subirebbe una massa di $1\ \text{kg}$? E una di $10\ \text{kg}$?

Su un tavolo da laboratorio si collocano due masse puntiformi di $10\ \text{kg}$ ciascuna, distanti $2,0\ \text{m}$. Sia $P$ un punto della retta che le congiunge, situato fuori dal segmento, a $1,0\ \text{m}$ da una massa e a $3,0\ \text{m}$ dall'altra. La disposizione è mostrata in figura.

1. a) Calcola il modulo del campo generato da ciascuna massa in $P$ e indica il suo verso ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Poiché entrambi i campi hanno la stessa direzione e lo stesso verso, calcola il campo totale in $P$.

Il campo gravitazionale è una grandezza vettoriale.

1. a) Indica la direzione e il verso del vettore $\vec{g}$ generato dalla Terra in un punto qualsiasi nelle sue vicinanze.
2. b) Disegna sul quaderno il vettore campo gravitazionale in otto punti distribuiti attorno al pianeta (una mappa del campo): che cosa hanno in comune le direzioni di tutti i vettori e come cambia il modulo allontanandosi dal pianeta?
3. c) Spiega perché si dice che il campo gravitazionale è centrale e attrattivo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Gli astronauti del programma Apollo constatarono che sulla Luna gli oggetti pesano molto meno che sulla Terra.

1. a) Calcola il campo gravitazionale sulla superficie della Luna. Dati: massa della Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, raggio lunare $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calcola il rapporto $\frac{g_T}{g_L}$ prendendo $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ e verifica che vale circa $6$.

Due masse puntiformi, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ e $m_2 = 10\ \text{kg}$, sono fisse su un banco da laboratorio, nelle posizioni $x_1 = 0$ e $x_2 = 2,0\ \text{m}$, come mostrato in figura.

1. a) Calcola il campo generato da ciascuna massa nel punto $x = 0,50\ \text{m}$, indicando modulo e verso ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Applica il principio di sovrapposizione per ottenere il campo totale in quel punto.
3. c) Spiega verso dove accelererebbe una piccola massa di prova lasciata lì ferma.

Tra la Terra e la Luna esiste un punto in cui i loro campi gravitazionali si annullano. Lo schema mostra la situazione:

1. a) Con l'origine nel centro della Terra, scrivi la condizione di annullamento: $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, dove $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ è la distanza Terra–Luna.
2. b) Semplifica $G$, estrai le radici quadrate e ricava $x$ usando $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ (osserva che $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$, la cui radice è $9$).
3. c) A quale distanza dalla Luna si trova quel punto? Spiega perché è molto più vicino alla Luna che alla Terra.

Due masse puntiformi uguali, $m = 2,0\ \text{kg}$, si trovano nei punti $(0; 0)$ e $(2; 0)\ \text{m}$ del piano, come mostrato in figura.

1. a) Calcola la distanza di ciascuna massa dal punto $P(1; 1)\ \text{m}$ e il modulo del campo che ciascuna genera in $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Disegna sul quaderno i due vettori campo in $P$ e spiega quali componenti si annullano per simmetria.
3. c) Sapendo che ogni vettore forma $45^\circ$ con la verticale ($\cos 45^\circ \approx 0,71$), calcola il campo totale in $P$: modulo, direzione e verso.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

I satelliti geostazionari orbitano a una distanza $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$ dal centro della Terra, come mostrato in figura.

1. a) Calcola il campo gravitazionale terrestre a tale distanza ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Quante volte è minore del campo sulla superficie ($g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) Il campo in un punto non dipende dalla massa che vi si colloca: spiega che cosa significa a partire dalla definizione $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

Tre masse puntiformi uguali, di $6,0\ \text{kg}$, sono allineate nelle posizioni $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ e $x = 3,0\ \text{m}$ di un righello da laboratorio, come mostrato in figura.

1. a) Calcola il campo generato da ciascuna di esse nel punto $x = 2,0\ \text{m}$, indicando modulo e verso ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Applica la sovrapposizione e calcola il campo totale in quel punto.
3. c) Senza risolvere l'equazione, spiega se deve esistere un punto tra $x = 2,0\ \text{m}$ e $x = 3,0\ \text{m}$ in cui il campo totale si annulla: osserva il verso del campo totale in $x = 2,0\ \text{m}$ e ciò che accade avvicinandosi alla massa situata in $x = 3,0\ \text{m}$.

Il Sole, per la sua enorme massa, genera un campo gravitazionale apprezzabile anche a distanze astronomiche.

1. a) Calcola il modulo del campo gravitazionale del Sole sull'orbita della Terra ($M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, distanza media $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Confronta il risultato con il campo sulla superficie terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): quante volte è minore?
3. c) Se il Sole ci attira con quel campo, perché non ci strappa dalla superficie terrestre? (Suggerimento: la Terra e tutto ciò che si trova su di essa cadono insieme verso il Sole.)

Un gravimetro per prospezioni geofisiche può rilevare variazioni del campo gravitazionale fino a $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. Si sospetta che sotto un terreno ci sia un grande deposito d'acqua, che approssimiamo con una massa puntiforme di $10^{5}\ \text{kg}$ centrata a $20\ \text{m}$ di profondità. Lo schema mostra la disposizione:

1. a) Calcola il campo gravitazionale generato dal deposito sulla superficie, appena sopra di esso ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Il gravimetro potrebbe rilevarlo? Giustifica la risposta con i numeri.
3. c) Cita un'applicazione pratica di questo tipo di misure.

Quando Giove è più vicino alla Terra si trova a circa $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcola il campo gravitazionale che Giove genera allora sulla Terra ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcola la forza con cui Giove attira una persona di $70\ \text{kg}$ ($F = m\cdot g$) e confrontala con il suo peso sulla Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Alla luce del risultato, commenta in modo critico l'affermazione astrologica secondo cui «la posizione di Giove influenza le persone».

Un'astronave di $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ viaggia dalla Terra alla Luna lungo la retta che congiunge i loro centri.

1. a) Calcola a quale distanza dal centro della Terra si annulla il campo gravitazionale totale (Terra più Luna). Dati: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; prendi $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) Quale forza gravitazionale netta esercitano Terra e Luna sull'astronave quando si trova in quel punto?
3. c) Con i motori spenti, l'astronave si sposta di $10^{6}\ \text{m}$ da quel punto verso la Luna: calcola lì il campo totale (modulo e verso) e spiega se il punto di annullamento è una posizione di equilibrio stabile o instabile.

Tre masse puntiformi uguali, $m = 100\ \text{kg}$, occupano tre vertici di un quadrato di lato $L = 2,0\ \text{m}$, come mostrato in figura.

1. a) Calcola il modulo del campo generato da ciascuna massa nel quarto vertice (attenzione: la massa del vertice opposto dista $L\cdot\sqrt{2}$). Dato: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Scomponi i tre vettori campo nelle direzioni dei lati del quadrato e calcola le componenti del campo totale ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Calcola il modulo del campo totale e spiega, per simmetria, perché la sua direzione è quella della diagonale.
4. d) Quale forza subirebbe una massa di prova di $50\ \text{kg}$ posta in quel vertice?

Tre masse puntiformi uguali, $m = 150\ \text{kg}$, si trovano nei vertici di un triangolo equilatero di lato $L = 3,0\ \text{m}$. Il baricentro dista $\frac{L}{\sqrt{3}}$ da ciascun vertice. La figura mostra la disposizione:

1. a) Spiega, usando la simmetria e la somma di tre vettori uguali che formano $120^\circ$ tra loro, che il campo totale nel baricentro è nullo.
2. b) Si rimuove una delle masse: applicando la sovrapposizione, dimostra che il campo nel baricentro è uguale e opposto a quello che generava la massa rimossa, e calcola il suo modulo ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Calcola la forza che subirebbe una massa di $20\ \text{kg}$ posta nel baricentro e indica la sua direzione e il suo verso.

1. a) Calcola a quale distanza dalla Terra, sulla retta Sole–Terra, si annullano il campo gravitazionale del Sole e quello della Terra. Dati: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$; prendi $\sqrt{\frac{M_S}{M_T}} \approx 577$. Esprimi il risultato in chilometri.
2. b) Il punto di Lagrange L1 del sistema Sole–Terra, dove si collocano gli osservatori solari, si trova a circa $1,5\cdot10^{9}\ \text{m}$ dalla Terra, molto più lontano di quanto preveda il tuo calcolo. Spiega quale effetto fisico non hai considerato (suggerimento: la Terra e l'osservatorio non sono fermi, ma orbitano attorno al Sole).

Una stella binaria è formata da due astri della stessa massa, $M = 2,0\cdot10^{30}\ \text{kg}$, a distanza $d = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$, come mostrato in figura.

1. a) Spiega che il campo gravitazionale totale nel punto medio del segmento che congiunge le stelle è nullo.
2. b) Calcola il campo totale in un punto dell'asse di quel segmento situato a $h = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$ dal punto medio: disegna i vettori sul quaderno, spiega quali componenti si annullano e calcola il risultato ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Se in quel punto si lascia ferma una sonda di massa piccola, descrivi qualitativamente come inizia a muoversi.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

L'origine delle maree sta nel fatto che il campo gravitazionale della Luna non è uniforme su tutta la Terra. Lo schema mostra la geometria del problema:

1. a) Calcola il modulo del campo lunare nel punto della superficie terrestre più vicino alla Luna (la sua distanza dalla Luna è $d - R_T$).
2. b) Calcola il modulo del campo lunare nel punto della superficie più lontano dalla Luna (distanza $d + R_T$).
3. c) Calcola la differenza tra i due e spiega perché tale differenza, sebbene piccola, «allunga» gli oceani e produce due zone di alta marea. Dati: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

In una versione moderna dell'esperimento di Cavendish si impiegano due sfere di tungsteno di $500\ \text{kg}$ ciascuna, poste nei punti $(0; 0)$ e $(3; 0)\ \text{m}$.

1. a) Dimostra che il punto $P(1,5; 2)\ \text{m}$ dista $2,5\ \text{m}$ da ciascuna sfera e calcola il modulo del campo che ogni sfera genera in $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) L'angolo che ogni vettore campo forma con la perpendicolare al segmento che congiunge le sfere soddisfa $\sen\theta = 0,6$ e $\cos\theta = 0,8$: spiega quali componenti si annullano e calcola il campo totale in $P$ (modulo, direzione e verso).
3. c) Calcola la forza su una piccola sfera di $20\ \text{g}$ posta in $P$ e commenta perché questo esperimento richiede una sensibilità straordinaria.

Un astronauta compie una passeggiata spaziale a $10\ \text{m}$ dal centro della Stazione Spaziale Internazionale, di massa $M_{ISS} = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, che orbita a $400\ \text{km}$ di altezza sulla superficie terrestre.

1. a) Calcola il campo gravitazionale della Terra nella posizione dell'astronauta ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcola il campo gravitazionale che la stessa stazione genera a $10\ \text{m}$ dal suo centro, trattandola come una massa puntiforme.
3. c) Confronta gli ordini di grandezza dei due campi e spiega perché l'astronauta non «cade» verso la stazione nonostante la sua enorme dimensione.
4. d) Quale campo domina il moto dell'astronauta?