Esercizi: Effetti cinematici e dinamici sugli oggetti nel campo

Un astronauta di $70\ \text{kg}$ si trova sulla superficie della Luna, dove il campo gravitazionale vale $g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il suo peso sulla Luna.
2. b) Calcola il suo peso sulla Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Quante volte pesa meno sulla Luna? La sua massa è cambiata? Spiega la differenza tra massa e peso.

La cima dell'Everest si trova a $8848\ \text{m}$ sul livello del mare.

1. a) Calcola il campo gravitazionale in cima applicando $g = G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2}$ e supponendo la Terra sferica ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Confronta il risultato con $9,8\ \text{m/s}^2$: cambia appena. Spiega da cosa dipende.

Un satellite di $500\ \text{kg}$ orbita in una regione in cui il campo gravitazionale terrestre vale $g = 8,7\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola la forza gravitazionale che la Terra esercita su di esso.
2. b) Indica la direzione e il verso di tale forza.
3. c) Secondo la legge di azione e reazione, quale forza esercita il satellite sulla Terra?

Una persona è in piedi su una bilancia all'interno di un ascensore.

1. a) Con l'ascensore fermo, la bilancia segna $700\ \text{N}$: quanto vale il peso della persona?
2. b) L'ascensore parte e accelera verso l'alto: spiega se la bilancia segnerà di più, di meno o lo stesso, aiutandoti con un disegno delle forze sul quaderno.
3. c) E se l'ascensore scende frenando, cioè accelerando anch'esso verso l'alto? Giustifica la risposta.

Nei video della Stazione Spaziale Internazionale gli astronauti «fluttuano». Tuttavia, all'altezza di $400\ \text{km}$ a cui orbitano, il campo gravitazionale terrestre vale circa $8,7\ \text{m/s}^2$, quasi come sulla superficie.

1. a) Spiega perché si dice che gli astronauti e la stazione sono in «caduta libera» permanente attorno alla Terra.
2. b) Spiega perché, in queste condizioni, il peso apparente all'interno della stazione è nullo anche se il peso reale non lo è.

Il rover Perseverance, di $1025\ \text{kg}$, opera sulla superficie di Marte, dove $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il suo peso su Marte.
2. b) Calcola quanto pesava sulla Terra prima del lancio ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Spiega perché un veicolo del genere può avere ruote e sospensioni più leggere su Marte che sulla Terra.

Una bilancia di precisione indica che il peso di uno strumento di laboratorio è $588\ \text{N}$ in un luogo dove $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola la massa dello strumento.
2. b) Se lo strumento fosse portato sulla Luna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$), quale sarebbe la sua massa? E il suo peso?
3. c) Spiega quale grandezza non cambia cambiando pianeta e perché.

Il telescopio spaziale Hubble orbita a circa $540\ \text{km}$ di altezza.

1. a) Usando l'espressione $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, con $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, calcola il campo gravitazionale a quell'altezza.
2. b) Esprimi il risultato come percentuale del valore sulla superficie.

Una persona di $60\ \text{kg}$ si pesa con una bilancia all'interno di un ascensore ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) L'ascensore sale con accelerazione costante di $2,0\ \text{m/s}^2$: disegna le forze sul quaderno, applica $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ e calcola ciò che segna la bilancia (la forza normale).
2. b) Ripeti il calcolo quando l'ascensore scende con accelerazione di $2,0\ \text{m/s}^2$.
3. c) In quale caso la persona si sente più pesante? Coincide con ciò che avverti nei viaggi in ascensore?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

L'Osservatorio del Teide si trova a $3718\ \text{m}$ di altitudine.

1. a) Calcola $g$ a quell'altezza con $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcola la differenza con il valore al livello del mare.
3. c) Esprimila in percentuale e commenta se uno strumento di misura comune la rileverebbe.

La Stazione Spaziale Internazionale orbita a $400\ \text{km}$ sopra la superficie terrestre.

1. a) Calcola il campo gravitazionale terrestre a quell'altezza ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcola la forza gravitazionale che la Terra esercita su un astronauta di $75\ \text{kg}$ all'interno della stazione.
3. c) Se la Terra lo attira con quella forza, perché l'astronauta fluttua all'interno della stazione? Dai una spiegazione dettagliata usando i concetti di caduta libera e peso apparente.

Una persona di $70\ \text{kg}$ è in piedi su una bilancia in un ascensore ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Il cavo si spezza e l'ascensore cade con accelerazione $g$: calcola ciò che segna la bilancia e spiega il risultato.
2. b) In un guasto meno grave, l'ascensore scende con un'accelerazione di $2,0\ \text{m/s}^2$: calcola la lettura della bilancia.
3. c) Spiega se sarebbe possibile che la bilancia segnasse un valore negativo durante una discesa e quale condizione dovrebbe verificarsi.

Gli aerei per i voli parabolici si usano per addestrare gli astronauti e per sperimentare esperimenti medici in assenza di gravità. Lo schema mostra un profilo di volo di questo tipo:

1. a) Spiega come deve muoversi l'aereo durante la parabola affinché i passeggeri abbiano peso apparente nullo: quanto deve valere la sua accelerazione?
2. b) Quanto vale il peso apparente di una ricercatrice di $65\ \text{kg}$ durante la fase di assenza di gravità? E il suo peso reale ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) Perché secondo te la medicina spaziale utilizza questi voli prima di inviare i suoi esperimenti sulla Stazione Spaziale?

I satelliti del sistema GPS orbitano a una distanza di $2,66\cdot10^{7}\ \text{m}$ dal centro della Terra.

1. a) Calcola il campo gravitazionale terrestre sulla loro orbita ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Calcola la forza gravitazionale su un satellite GPS di $1000\ \text{kg}$.
3. c) Confronta tale forza con il peso dello stesso satellite sulla superficie ($g = 9,81\ \text{m/s}^2$): quante volte è minore?

Il modulo di comando dell'Apollo 11 rimase in orbita lunare a $110\ \text{km}$ di altezza mentre due astronauti scendevano sulla superficie.

1. a) Calcola il campo gravitazionale lunare su quell'orbita ($M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcola la forza gravitazionale sul modulo, di $5500\ \text{kg}$.
3. c) Confronta tale forza con il peso del modulo sulla Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

In metrologia, i campioni di massa devono essere pesati con estrema precisione.

1. a) Calcola $g$ sulla vetta del Monte Bianco ($4808\ \text{m}$) con $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcola la differenza di peso di una massa campione di $1,000\ \text{kg}$ tra la vetta e il livello del mare.
3. c) A quanti grammi di massa equivale tale differenza? Commenta perché i laboratori di taratura annotano l'altitudine del luogo di misura.

Una persona di $70\ \text{kg}$ viaggia in un ascensore in piedi su una bilancia ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Il viaggio di salita ha tre tratti: partenza con accelerazione di $1,5\ \text{m/s}^2$ verso l'alto, tratto centrale a velocità costante e frenata finale con accelerazione di $1,5\ \text{m/s}^2$ diretta verso il basso.

1. a) Calcola la lettura della bilancia in ciascuno dei tre tratti.
2. b) Disegna sul quaderno il grafico della lettura in funzione del tempo e indica in quale tratto la persona si sente più pesante e in quale più leggera.
3. c) Che cosa indicherebbe la bilancia durante tutto il viaggio se il cavo si spezzasse proprio alla partenza? Giustificalo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per altezze piccole rispetto al raggio terrestre si usa l'approssimazione $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$, che deriva da $(1 + x)^{-2} \approx 1 - 2\cdot x$ quando $x \ll 1$.

1. a) Partendo da $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, giustifica tale approssimazione.
2. b) Applicala alla vetta dell'Everest ($h = 8848\ \text{m}$, $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$) e confronta con il calcolo esatto.
3. c) Stima a partire da quale altezza l'errore dell'approssimazione supera l'1 % (suggerimento: il termine trascurato è dell'ordine di $3\cdot x^2$) e decidi se l'approssimazione è adatta all'orbita della Stazione Spaziale ($h = 400\ \text{km}$).

Un orologio a pendolo viene tarato al livello del mare, dove il suo periodo è $T_0 = 2,00\ \text{s}$ con $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, e poi viene portato sulla vetta dell'Everest, dove $g = 9,78\ \text{m/s}^2$. Il periodo di un pendolo semplice è $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{L}{g}}$.

1. a) Senza cambiare la lunghezza del pendolo, stabilisci se l'orologio va avanti o rimane indietro sulla vetta.
2. b) Calcola il nuovo periodo.
3. c) Calcola di quanto va in ritardo l'orologio in un giorno intero.

Il modulo di risalita dell'Apollo 11, di $4700\ \text{kg}$, decollò dalla superficie lunare ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola la spinta minima che il suo motore dovette fornire per sollevarsi verticalmente con un'accelerazione di $2,0\ \text{m/s}^2$ (applica $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ sulla verticale).
2. b) Calcola la spinta che sarebbe necessaria per compiere la stessa manovra dalla superficie terrestre ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Alla luce dei due risultati, spiega perché il modulo lunare poté decollare con un motore piccolo mentre il razzo Saturn V ebbe bisogno di una spinta di $3,4\cdot10^{7}\ \text{N}$.

In una torre di caduta di un parco divertimenti, la cabina con una passeggera di $60\ \text{kg}$ cade liberamente per $2,0\ \text{s}$ e poi frena con accelerazione costante fino a fermarsi ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quanto vale il peso apparente della passeggera durante la caduta libera? Giustificalo.
2. b) La frenata avviene con un'accelerazione di modulo $2\cdot g$ diretta verso l'alto: calcola il peso apparente in questa fase e confrontalo con il peso reale.
3. c) Calcola la velocità alla fine della caduta libera e la distanza percorsa durante la frenata.

Una sonda parte dalla Terra verso lo spazio profondo.

1. a) Calcola a quale altezza sulla superficie il peso della sonda è la metà di quello al lancio: imposta $G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2} = \frac{g_0}{2}$, osserva che $G$ e $M_T$ si semplificano, e ricava $h$ in funzione di $R_T$ ($R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$).
2. b) A quale distanza dal centro della Terra il peso sarebbe un decimo?
3. c) Esprimi entrambi i risultati in raggi terrestri e commenta che cosa implica la rapidità con cui il campo decresce sulla validità di considerare $g$ costante nei problemi sui proiettili.

All'interno di un pianeta di densità uniforme, il campo gravitazionale cresce linearmente con la distanza dal centro, così che a una profondità $d$ vale $g = g_0\cdot\left(1 - \frac{d}{R_T}\right)$. La gráfica muestra cómo varía $g$ con la distancia $r$ dal centro:

1. a) Calcola $g$ a $3000\ \text{m}$ di profondità, sul fondo di una miniera ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcola il peso lì di un ascensore da miniera carico, di $800\ \text{kg}$, e la differenza rispetto al suo peso in superficie.
3. c) Salendo di $3000\ \text{m}$ in altezza, la variazione relativa di $g$ è il doppio di quella che si ha scendendo di $3000\ \text{m}$: verificalo con l'approssimazione $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$ e spiega fisicamente perché scendendo l'effetto è minore (pensa alla massa che rimane «al di sopra»).

Un astronauta si allena con salti verticali con una velocità iniziale di $3,0\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola l'altezza massima che raggiungerebbe sulla Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$) usando $h = \frac{v_0^2}{2\cdot g}$.
2. b) Calcola l'altezza massima sulla Luna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).
3. c) Calcola il tempo totale di volo (salita e discesa) nei due luoghi con $t = \frac{2\cdot v_0}{g}$.
4. d) Spiega, a partire dalle due formule, perché sia l'altezza sia il tempo di volo si moltiplicano per lo stesso fattore cambiando pianeta, e calcola quel fattore.

Sfida del tema. La tua posizione influisce sul lancio dei satelliti? Redigi una relazione tecnica che valuti la gravità locale e le sue conseguenze dinamiche in tre fasi:

1. Misura: monta un pendolo semplice a casa. Cronometra il tempo di $10$ oscillazioni per quattro lunghezze diverse ($L$ tra $0,30\text{ m}$ e $0,90\text{ m}$, con $\Delta L = \pm 0,002\text{ m}$). Tabula le misure, rappresenta graficamente $T^2$ in funzione di $L$ e ottieni tramite il coefficiente angolare il valore sperimentale di $g \pm \Delta g$.

2. Calcolo vettoriale: consulta sul sito dell'Istituto Geografico Militare (IGM) il valore ufficiale dell'accelerazione gravitazionale della tua zona. Modella vettorialmente il campo gravitazionale netto $\vec{g}_{\text{totale}}$ in un punto a $400\text{ km}$ sulla tua verticale, sommando i contributi vettoriali della Terra e della Luna, supponendo la Luna al tuo zenit (Terra, punto e Luna allineati sulla stessa verticale).

3. Effetti dinamici e cinematici: determina la velocità orbitale $v$ e il periodo che richiederebbe un satellite in tale posizione sotto quel campo sovrapposto. Analizza come varierebbe la forza centripeta se usassi il tuo valore sperimentale invece del dato dell'IGM, estrapolando entrambi i valori al suolo a $400\text{ km}$ con $g(r) = g_0\,(R_T/r)^2$.

Verranno valutati:

• Rigore nel trattamento sperimentale dei dati, propagazione delle incertezze e interpolazione grafica.

• Precisione nel calcolo e nella sovrapposizione vettoriale dei campi gravitazionali.

• Corretta applicazione dei concetti dinamici e cinematici del moto orbitale.

• Qualità analitica e giustificazione critica delle conclusioni nella relazione.