Esercizi: Similitudine di triangoli rettangoli

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti che misurano $4$ cm e $9$ cm. Calcola la lunghezza di tale altezza utilizzando il teorema corrispondente.

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura $25$ cm e la proiezione di uno dei suoi cateti su di essa misura $9$ cm. Calcola la lunghezza di tale cateto applicando il teorema del cateto.

L'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura $6$ cm. Se uno dei segmenti in cui divide l'ipotenusa misura $3$ cm, quanto misura l'altro segmento dell'ipotenusa?

Un cateto di un triangolo rettangolo misura $8$ cm e la sua proiezione ortogonale sull'ipotenusa misura $3,2$ cm. Determina la lunghezza totale dell'ipotenusa.

Due triangoli rettangoli sono simili. Il primo ha i cateti che misurano $3$ cm e $4$ cm. Se il cateto minore del secondo triangolo misura $9$ cm, quanto misura l'ipotenusa di questo secondo triangolo?

Due squadre da disegno (a forma di triangolo rettangolo scaleno) sono simili. Se l'ipotenusa della squadra più grande è il triplo di quella della squadra più piccola, quante volte è maggiore l'area della squadra grande rispetto a quella piccola?

In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa misurano rispettivamente $5$ cm e $12$ cm. Quanto misura l'ipotenusa del triangolo?

In una verifica di Matematica, Lucia deve calcolare la lunghezza del cateto minore $c$ di un triangolo rettangolo. Il testo indica che la proiezione di tale cateto sull'ipotenusa misura $m = 3\text{ cm}$ e la proiezione dell'altro cateto misura $n = 9\text{ cm}$. Lucia scrive la seguente risoluzione:

«Per il teorema del cateto, so che il quadrato del cateto è il prodotto delle due proiezioni: $c^2 = m \cdot n = 3 \cdot 9 = 27$, quindi $c = \sqrt{27} \approx 5,2\text{ cm}$».

1. a) Spiega con precisione quale errore concettuale ha commesso Lucia e quale teorema o formula ha confuso.
2. b) Correggi il procedimento e calcola il valore esatto del cateto $c$ sotto forma di radicale semplificato e la sua approssimazione arrotondata ai decimi.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti di lunghezze $m = 2\text{ cm}$ e $n = 10\text{ cm}$.

1. a) Prima di operare, stima con un ragionamento tra quali due numeri interi consecutivi deve trovarsi la lunghezza dell'altezza $h$. Pensi che $h$ sarà maggiore, minore o uguale alla metà dell'ipotenusa ($(m+n)/2 = 6\text{ cm}$)? Giustifica la tua previsione.
2. b) Applica il teorema corrispondente per calcolare il valore esatto dell'altezza $h$ e ottieni la sua approssimazione con due cifre decimali.
3. c) Verifica se il tuo calcolo conferma la stima fatta al punto a) e spiega perché in ogni triangolo rettangolo non isoscele l'altezza relativa all'ipotenusa è sempre strettamente minore della metà di tale ipotenusa.

Nel progetto di una capriata per un tetto a due falde a forma di triangolo rettangolo, la trave verticale (che fa da altezza relativa all'ipotenusa) misura $2,4$ m e divide la trave inferiore (ipotenusa) in due tratti, uno dei quali misura $1,8$ m. Calcola il perimetro totale della struttura esterna della capriata.

Per misurare l'altezza di un edificio, uno studente colloca uno specchio piano sul suolo a $15$ m dalla base dell'edificio. Allontanandosi di $1,2$ m dallo specchio, vede la sommità dell'edificio riflessa in esso. Se gli occhi dello studente sono a $1,6$ m da terra, qual è l'altezza dell'edificio?

Una rampa per l'accessibilità ha una lunghezza totale di $12$ m appoggiata al suolo e supera un dislivello massimo di $1,5$ m. Se una sedia a rotelle è avanzata di $4$ m sulla rampa dal suo inizio nella parte inferiore, a quale altezza si trova rispetto al livello del suolo?

In una camera oscura artigianale profonda $20$ cm si forma l'immagine capovolta di un albero che si trova a $15$ m dal foro stenopeico. Se l'immagine formata sul fondo della camera ha un'altezza di $8$ cm, qual è l'altezza reale dell'albero in metri?

La vela principale di una barca a vela ha la forma di un triangolo rettangolo. La cucitura che segna l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa misura $6$ m. Se la proiezione del lato minore della vela sull'ipotenusa è di $4,5$ m, calcola la superficie totale della vela in metri quadrati.

L'arco di un ponte di pietra ha la forma di una semicirconferenza perfetta con un diametro di $20$ m. A $4$ m da una delle estremità del ponte occorre collocare un pilastro verticale che arrivi dal suolo all'arco. Utilizzando il teorema dell'altezza, determina quale lunghezza esatta deve avere questo pilastro.

Su un tavolo da biliardo rettangolare colpisci una palla senza effetto contro una delle sponde, in modo che rimbalzi formando nella sua traiettoria due triangoli rettangoli simili. La palla parte da una posizione situata a $40\text{ cm}$ da tale sponda e, dopo il rimbalzo, arriva a un punto situato a $60\text{ cm}$ dalla stessa sponda. Se la distanza longitudinale totale che la palla percorre nella direzione parallela alla sponda è di $150\text{ cm}$, determina:

1. a) La distanza longitudinale percorsa dalla palla prima del rimbalzo.
2. b) La distanza longitudinale percorsa dopo il rimbalzo.

In un parco di Roma si progetta di costruire un modulo per skateboard la cui sezione laterale è un triangolo rettangolo appoggiato sul suolo orizzontale, che fa da ipotenusa e misura $3,2\text{ m}$ di lunghezza. Per rinforzare la struttura in legno, si collocherà una trave d'acciaio verticale dal vertice superiore perpendicolarmente al suolo (facendo da altezza relativa all'ipotenusa). I progetti indicano che tale trave divide la base in due tratti, di cui il tratto più lungo è esattamente il triplo di quello corto.

1. a) Modella la situazione individuando gli elementi geometrici del triangolo ($a$, $m$, $n$, $h$) e calcola la lunghezza esatta di ciascuno dei due tratti del suolo.
2. b) Calcola l'altezza che deve avere la trave verticale di rinforzo e la lunghezza delle due superfici inclinate della rampa (i cateti). Arrotonda i risultati al centimetro.
3. c) Se la normativa comunale di sicurezza per le piste di iniziazione richiede che l'altezza totale non superi $1,5\text{ m}$, determina con un ragionamento se il progetto rispetta la normativa.

In un triangolo rettangolo conosciamo con esattezza le lunghezze dei due cateti: $b = 15\text{ cm}$ e $c = 20\text{ cm}$. Per trovare l'altezza relativa all'ipotenusa $h$, due studenti propongono percorsi diversi:

• Metodo di Sergio: Calcola prima l'ipotenusa $a$ mediante il teorema di Pitagora. Poi usa il teorema del cateto per trovare le due proiezioni $m$ e $n$ sull'ipotenusa. Infine calcola $h$ applicando il teorema dell'altezza ($h^2 = m \cdot n$).

• Metodo di Nerea: Calcola prima l'ipotenusa $a$ mediante Pitagora. Poi uguaglia due modi di esprimere l'area del triangolo (il prodotto dei cateti diviso due rispetto all'ipotenusa per l'altezza diviso due: $\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$) per ricavare direttamente $h$.

1. a) Sviluppa passo dopo passo entrambi i metodi e verifica che si ottiene lo stesso risultato.
2. b) Se i cateti misurassero valori con decimali non esatti (per esempio $b = 13,4\text{ cm}$ e $c = 18,1\text{ cm}$), quale dei due metodi risulterebbe più vantaggioso e meno soggetto ad accumulare errori di arrotondamento? Giustifica la tua scelta analizzando il numero di passaggi e le operazioni richieste in ciascun caso.

In un terreno a forma di triangolo rettangolo è stato tracciato un fosso di irrigazione che coincide con l'altezza relativa all'ipotenusa e misura $12$ m. Se il rapporto tra i due segmenti in cui questo fosso divide l'ipotenusa è $\frac{9}{16}$, calcola le dimensioni dei tre lati che delimitano il terreno.

In un triangolo rettangolo la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura $x$ cm, la proiezione del cateto maggiore misura $(x+5)$ cm e l'altezza relativa all'ipotenusa misura $(x+2)$ cm. Imposta l'equazione corrispondente, trova il valore di $x$ e calcola l'area totale del triangolo.

Due pali verticali di altezze $a = 3$ m e $b = 6$ m sono separati da una distanza sconosciuta. Si tendono due cavi dalla base di ciascun palo fino all'estremità superiore dell'altro palo. Utilizzando la similitudine dei triangoli rettangoli che si formano, dimostra che l'altezza $h$ a cui si incrociano i cavi è indipendente dalla distanza che separa i pali e calcola il suo valore.

In un triangolo rettangolo di cateti $8$ cm e $6$ cm si inscrive un quadrato in modo che uno dei suoi vertici coincida con l'angolo retto del triangolo e i due lati del quadrato che formano quel vertice poggino sui cateti. Calcola la misura del lato del quadrato $x$ utilizzando la similitudine dei triangoli rettangoli che si formano.

L'area di un pannello solare a forma di triangolo rettangolo è di $150$ dm$^2$ e l'altezza relativa alla sua ipotenusa misura $12$ dm. Impostando un sistema di equazioni con le proiezioni dei cateti, determina la lunghezza esatta dei due cateti del pannello solare.

In un triangolo rettangolo il rapporto tra i quadrati dei cateti è $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Se l'ipotenusa misura $50$ cm, utilizza la relazione di proporzionalità dedotta dai teoremi di Euclide sui cateti per trovare prima la misura delle proiezioni di entrambi i cateti sull'ipotenusa, e poi la lunghezza esatta dei cateti.

Un bicchiere conico di vetro ha una profondità totale di $15$ cm e un raggio di $6$ cm nell'apertura superiore. Viene riempito d'acqua fino a che il liquido raggiunge un'altezza di $10$ cm misurata dal fondo (vertice inferiore). Calcola il raggio della superficie circolare dell'acqua utilizzando la similitudine dei triangoli rettangoli che si formano con l'asse centrale del bicchiere.

Considera la Terra come una sfera di raggio $R = 6371$ km e una persona che si trova su una mongolfiera a un'altezza $h = 2$ km sopra la superficie: la visuale tangente alla superficie forma un triangolo rettangolo nel punto dell'orizzonte. Utilizza il primo teorema di Euclide (o il teorema di Pitagora in triangoli simili) per trovare la distanza in linea retta $d$ dalla mongolfiera all'orizzonte visibile, approssimando a due cifre decimali.

Ricorda che in un'equazione di secondo grado monica $x^2 - S\cdot x + P = 0$, il coefficiente $S$ rappresenta la somma delle sue due soluzioni e il termine noto $P$ rappresenta il loro prodotto.

1. a) In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è la somma delle proiezioni ($a = m + n$) e il quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa è il prodotto di tali proiezioni ($h^2 = m \cdot n$). Senza risolvere l'equazione, deduci il valore dell'ipotenusa $a$ e quello dell'altezza $h$ di un triangolo rettangolo sapendo che le misure delle sue proiezioni $m$ e $n$ sono le radici dell'equazione $x^2 - 13x + 36 = 0$ (con misure in centimetri).
2. b) Imposta il problema inverso: scrivi l'equazione di secondo grado le cui soluzioni corrispondono alle proiezioni $m$ e $n$ di un triangolo rettangolo che ha un'ipotenusa di $a = 25\text{ cm}$ e un'altezza relativa all'ipotenusa di $h = 12\text{ cm}$.
3. c) Risolvi l'equazione che hai formulato nel punto b) per trovare $m$ e $n$, e calcola a partire da esse le lunghezze esatte dei due cateti del triangolo.

In un triangolo rettangolo $ABC$ con angolo retto in $A$, il cateto $b$ misura esattamente il doppio del cateto $c$ ($b = 2c$). Si traccia l'altezza $h$ relativa all'ipotenusa, che divide questa in due segmenti: $m$ (proiezione del cateto minore $c$) e $n$ (proiezione del cateto maggiore $b$). Tale altezza divide il triangolo originale in due triangoli rettangoli minori, $T_1$ e $T_2$.

1. a) Utilizzando il teorema di Euclide per entrambi i cateti, dimostra in modo deduttivo che la proiezione maggiore non è il doppio della minore, ma che vale $n = 4m$.
2. b) Dimostra, a partire dal teorema dell'altezza, che tale altezza misura esattamente il doppio della proiezione minore ($h = 2m$).
3. c) Una squadra tecnica rileva una particella con queste proporzioni la cui ipotenusa misura in totale $a = 45\text{ m}$. Calcola le misure di $m$, $n$, $h$ e il rapporto esatto tra l'area di $T_2$ e l'area di $T_1$. Spiega come si deduce lo stesso rapporto tra le aree direttamente dalla similitudine dei triangoli, senza calcolare le aree numeriche.