Esercizi: Teorema di Pitagora

Una scala dei vigili del fuoco è appoggiata alla facciata di un edificio. La base della scala dista $3\text{ m}$ dalla parete e raggiunge un'altezza di $4\text{ m}$ sulla facciata. Calcola la lunghezza totale della scala.

Un palo per telecomunicazioni è sostenuto da un cavo teso dalla sua estremità superiore a un punto del suolo. Il cavo misura $13\text{ m}$ e il palo è alto $12\text{ m}$. Determina a quale distanza dalla base del palo è ancorato il cavo al suolo.

Le dimensioni di uno schermo rettangolare di computer sono $32\text{ cm}$ di larghezza e $24\text{ cm}$ di altezza. Calcola la lunghezza della sua diagonale per conoscere la dimensione reale dello schermo.

Una piazza ha forma quadrata con lato di $50\text{ m}$. Se decidi di attraversarla in linea retta da un angolo all'angolo opposto, quale distanza percorrerai?

Per costruire un aquilone a forma di rombo, sono state incrociate due asticelle di legno che misurano $60\text{ cm}$ e $80\text{ cm}$. Calcola la lunghezza del bordo esterno dell'aquilone (il lato del rombo).

Un segnale stradale ha forma di triangolo isoscele. La sua base misura $60\text{ cm}$ e ciascuno dei due lati uguali misura $50\text{ cm}$. Calcola l'altezza $h$ del segnale.

Nel progetto della copertura di un capannone industriale, la struttura principale forma un triangolo rettangolo. L'altezza relativa all'ipotenusa divide questa in due segmenti di $4\text{ m}$ e $9\text{ m}$. Applica il teorema dell'altezza (secondo teorema di Euclide) per calcolare la lunghezza di tale altezza.

In un parco, un'aiuola di fiori ha forma di triangolo rettangolo. L'ipotenusa misura $25\text{ m}$ e la proiezione di uno dei cateti sull'ipotenusa misura $9\text{ m}$. Usa il teorema del cateto (primo teorema di Euclide) per calcolare la lunghezza di quel cateto.

Per calcolare il lato di un segnale stradale riflettente a forma di rombo le cui diagonali misurano $16\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$, Mario scrive sul quaderno quanto segue:

1. a) Individua e spiega dettagliatamente quale errore concettuale ha commesso Mario applicando il teorema di Pitagora direttamente alle misure delle diagonali.
2. b) Correggi il procedimento giustificando quale triangolo rettangolo si deve considerare e calcola la misura reale del lato del segnale.

Vuoi verificare se un pannello rettangolare di compensato potrà passare in diagonale attraverso il vano di una porta della tua scuola, che misura $2{,}1\text{ m}$ di altezza per $0{,}8\text{ m}$ di larghezza.

1. a) Senza eseguire il calcolo della radice quadrata, fai una stima motivata: spiega perché la diagonale del vano deve essere necessariamente maggiore di $2{,}1\text{ m}$ e minore di $2{,}9\text{ m}$, e proponi un valore approssimato con una cifra decimale giustificando il tuo ragionamento.
2. b) Calcola la lunghezza esatta della diagonale applicando il teorema di Pitagora (arrotondando a due decimali) e verifica se la tua stima precedente era coerente con i limiti stabiliti.

La sezione trasversale di un canale di irrigazione ha forma di trapezio isoscele. La larghezza in alto è $8\text{ m}$, la larghezza sul fondo è $2\text{ m}$ e la profondità del canale è $4\text{ m}$. Calcola la lunghezza dei lati obliqui $x$ del canale.

Un mosaico decorativo è formato da piastrelle a forma di esagono regolare di lato $10\text{ cm}$. Calcola l'apotema di una di queste piastrelle.

Un appezzamento di terreno ha forma di trapezio rettangolo. Il lato perpendicolare alle basi misura $12\text{ m}$, la base maggiore misura $30\text{ m}$ e la base minore misura $25\text{ m}$. Calcola il perimetro totale dell'appezzamento.

Una tubatura cilindrica trasporta acqua. Il raggio della tubatura è $13\text{ cm}$ e la superficie dell'acqua forma una corda orizzontale larga $24\text{ cm}$. Se il livello dell'acqua è sotto il centro della tubatura, qual è la profondità massima dell'acqua $h$?

Il tetto di una casa ha forma di triangolo rettangolo appoggiato sulla sua ipotenusa. L'altezza del tetto rispetto alla base orizzontale è $6\text{ m}$ e la proiezione di una delle falde (cateto) sulla base è $8\text{ m}$. Calcola la lunghezza dell'altra proiezione e la misura dei due lati inclinati del tetto.

Per trasportare una barra di metallo rigida si dispone di una scatola a forma di parallelepipedo rettangolo le cui dimensioni sono $80\text{ cm}$ di lunghezza, $60\text{ cm}$ di larghezza e $50\text{ cm}$ di altezza. Calcola la lunghezza massima che può avere la barra perché stia completamente all'interno della scatola chiusa.

Un'antenna verticale è sostenuta da due cavi ancorati al suolo da lati opposti della base. Un cavo misura $15\text{ m}$ ed è ancorato a $9\text{ m}$ dalla base. L'altro cavo è ancorato a $16\text{ m}$ dalla base. Calcola l'altezza dell'antenna e la lunghezza del secondo cavo.

Il perimetro di una piscina a forma di rombo è $52\text{ m}$ e una delle sue diagonali misura $10\text{ m}$. Calcola la lunghezza dell'altra diagonale e l'area della superficie della piscina.

In una carta topografica dell'Istituto Geografico Militare (IGM) in scala $1:25\,000$, la distanza in linea retta tra la stazione del Passo di Navacerrada e il rifugio de La Bola del Mundo è $7{,}6\text{ cm}$. Le curve di livello indicano che la stazione si trova a un'altitudine di $1860\text{ m}$ e il rifugio a $2260\text{ m}$.

1. a) Modellizza il profilo del terreno mediante un triangolo rettangolo, indicando che cosa rappresentano i cateti e l'ipotenusa nella realtà fisica.
2. b) Calcola la distanza geometrica reale in linea retta che separa i due punti lungo il pendio, esprimendo il risultato in metri arrotondati alle unità.
3. c) Se un escursionista mantiene un ritmo medio costante di salita di $1{,}8\text{ km/h}$ lungo quella linea retta, calcola quanti minuti impiegherà a completare la salita.

L'ufficio urbanistica di un comune deve delimitare un'aiuola con forma di triangolo rettangolo. Si è stabilito come condizione che il perimetro totale dell'aiuola sia esattamente $60\text{ m}$ e che l'ipotenusa misuri $26\text{ m}$.

1. a) Imposta un'equazione di secondo grado che permetta di trovare la lunghezza dei cateti a partire dai dati forniti, definendo con chiarezza che cosa rappresenta l'incognita $x$.
2. b) Risolvi l'equazione impostata per determinare le dimensioni esatte dei due cateti.
3. c) Giustifica algebricamente se sarebbe possibile progettare un'altra aiuola a forma di triangolo rettangolo con la stessa ipotenusa di $26\text{ m}$ ma con un perimetro totale di $68\text{ m}$.

La Grande Piramide di Giza ha base quadrata. Supponiamo che il lato della sua base misuri $230\text{ m}$ e che la lunghezza di uno dei suoi spigoli laterali (da un vertice della base al vertice della piramide) sia $219\text{ m}$. Calcola l'altezza $h$ della piramide.

In un giardino si vuole delimitare una zona a forma di triangolo rettangolo. Si sa che le lunghezze dei suoi tre lati sono tre numeri interi pari consecutivi. Imposta l'equazione corrispondente usando il teorema di Pitagora e determina le lunghezze dei tre lati.

In un pezzo circolare di legno di raggio $25\text{ cm}$ si eseguono due tagli rettilinei e paralleli. Uno dei tagli ha lunghezza $48\text{ cm}$ e l'altro $40\text{ cm}$. Se entrambi i tagli sono eseguiti da parti opposte rispetto al centro del cerchio, calcola la distanza perpendicolare che separa i due tagli.

Una stanza ha forma di parallelepipedo rettangolo con dimensioni $5\text{ m}$ di lunghezza, $4\text{ m}$ di larghezza e $3\text{ m}$ di altezza. Un ragno si trova in un angolo del soffitto e vuole raggiungere l'angolo opposto del pavimento camminando sulle pareti, sul soffitto o sul pavimento. Se il ragno sceglie il percorso più breve possibile, calcola tale distanza. (Suggerimento: immagina lo sviluppo piano della stanza).

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa misura $12\text{ cm}$ e uno dei cateti misura $15\text{ cm}$. Utilizzando i teoremi di Euclide, oppure il teorema di Pitagora in modo iterato, calcola la lunghezza dell'ipotenusa $a$ e dell'altro cateto $c$.

Un ponte ha una struttura laterale a forma di trapezio scaleno. Le basi orizzontali misurano $40\text{ m}$ e $26\text{ m}$, e i lati obliqui misurano $13\text{ m}$ e $15\text{ m}$. Impostando un sistema di equazioni con il teorema di Pitagora, calcola l'altezza del trapezio.

Un logo è formato da un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza. La base del triangolo misura $16\text{ cm}$ e la sua altezza relativa alla base misura $18\text{ cm}$. Calcola il raggio della circonferenza in cui è inscritto il triangolo.

Due torri alte $15\text{ m}$ e $20\text{ m}$ sono separate da una distanza orizzontale sconosciuta. Un uccello vola in linea retta dalla cima della torre di $15\text{ m}$ fino alla base della torre di $20\text{ m}$, percorrendo esattamente $25\text{ m}$. Calcola la distanza tra le basi delle torri. Poi, se un altro uccello vola in linea retta dalla cima della torre di $20\text{ m}$ fino alla base della torre di $15\text{ m}$, quale distanza percorrerà?

Una torre verticale per telecomunicazioni alta $24\text{ m}$ è fissata al suolo mediante due cavi tesi ancorati nei punti $A$ e $B$, situati da parti opposte rispetto alla base della torre $P$ e allineati con essa. Il cavo ancorato in $A$ misura $25\text{ m}$ e quello ancorato in $B$ misura $30\text{ m}$. Si vuole calcolare la distanza totale a terra tra i due ancoraggi, $d(A,B)$.

Due studenti propongono metodi diversi:

• Ugo afferma: «Posso considerare direttamente il triangolo grande formato dai due cavi e dalla distanza a terra, quindi $d(A,B) = \sqrt{25^2 + 30^2}$».

• Sofia afferma: «Quel metodo non è valido; bisogna applicare Pitagora a ciascun lato della torre separatamente e sommare i cateti della base: $d(A,B) = \sqrt{25^2 - 24^2} + \sqrt{30^2 - 24^2}$».

1. a) Valuta la validità della proposta di Ugo spiegando perché non funziona dal punto di vista delle ipotesi geometriche del teorema di Pitagora.
2. b) Sviluppa il metodo di Sofia per calcolare la distanza $d(A,B)$ in forma esatta e con una cifra decimale.
3. c) Immagina un caso ipotetico diverso in cui i due cavi formino tra loro un angolo retto ($90^\circ$) in cima alla torre. In quello scenario, quale delle due strategie sarebbe più diretta per trovare $d(A,B)$? Giustifica la risposta confrontando i due percorsi.

Un trasporto speciale di merci deve attraversare una galleria di montagna a senso unico la cui sezione trasversale è un semicerchio perfetto di raggio $R = 5\text{ m}$. La carreggiata occupa il diametro orizzontale del semicerchio. Il veicolo trasporta un container con sezione trasversale rettangolare di $3{,}6\text{ m}$ di larghezza totale. La normativa di sicurezza richiede che il veicolo viaggi centrato sulla carreggiata e che si mantenga un margine di sicurezza verticale di almeno $0{,}4\text{ m}$ tra lo spigolo superiore del container e la volta della galleria.

1. a) Modellizza la sezione della galleria mediante un sistema geometrico individuando il triangolo rettangolo che mette in relazione il raggio della galleria, la semilarghezza del container e la quota massima del soffitto sopra il suo spigolo.
2. b) Applica il teorema di Pitagora per ricavare l'altezza massima totale che può avere il container per transitare legalmente nella galleria in posizione centrata, arrotondando a due decimali.
3. c) A causa di lavori sulla carreggiata, il camion viene spostato verso destra, in modo che il lato destro del container si trovi a soli $0{,}5\text{ m}$ dal bordo esterno della carreggiata della galleria. Ragiona geometricamente se l'altezza ammissibile aumenterà o diminuirà rispetto al caso centrato e calcola analiticamente la nuova altezza massima consentita.