Esercizi: Lunghezze, aree e volumi

Due pentagoni sono simili con rapporto di similitudine $k = 3$. Se il perimetro del pentagono minore è $15 \text{ cm}$ e la sua area è $20 \text{ cm}^2$, calcola il perimetro e l'area del pentagono maggiore.

Il rapporto tra le aree di due esagoni simili è $\frac{16}{25}$. Determina qual è il rapporto di similitudine tra i loro lati corrispondenti.

Una carta stradale è disegnata in scala $1:50\,000$. Se un tratto rettilineo di strada misura $4 \text{ cm}$ sulla carta, calcola quanti chilometri misura quel tratto nella realtà.

Si hanno due cubi simili. Il volume del cubo più piccolo è $8 \text{ cm}^3$ e il volume del cubo più grande è $64 \text{ cm}^3$. Trova il rapporto di similitudine $k$ tra gli spigoli dei due cubi.

Un modellino di un'auto sportiva è realizzato in scala $1:24$. Se l'auto reale è lunga $4,8 \text{ m}$, scopri qual è la lunghezza del modellino espressa in centimetri.

L'area di un triangolo è $12 \text{ cm}^2$. Si disegna un secondo triangolo simile al primo, ma con i lati che misurano esattamente la metà. Calcola l'area di questo nuovo triangolo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due bottiglie d'acqua hanno forme simili. La bottiglia più grande è $1,5$ volte più alta della bottiglia piccola. Se la bottiglia piccola ha una capacità di $500 \text{ ml}$, determina la capacità della bottiglia grande.

Un appezzamento di terreno rettangolare ha un'area reale di $400 \text{ m}^2$. In una mappa urbanistica, lo stesso appezzamento occupa un'area di $4 \text{ cm}^2$. Calcola la scala numerica in cui è disegnata la mappa.

Lucia consulta sul sito del Catasto la mappa in scala $1:500$ di un appezzamento rettangolare che la sua famiglia vuole recintare e seminare a prato a Siena. Nella mappa, l'appezzamento misura $4\text{ cm}$ di larghezza per $6\text{ cm}$ di lunghezza. Per calcolare l'area reale, Lucia esegue la seguente operazione: «Poiché l'area sulla carta è $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}^2$, l'area reale dell'appezzamento sarà $24 \cdot 500 = 12\,000\text{ cm}^2 = 1,2\text{ m}^2$». Individua e spiega dettagliatamente il doppio errore (geometrico e di buon senso) commesso da Lucia e calcola correttamente l'area reale dell'appezzamento in metri quadrati.

Un laboratorio artigianale di ceramica a Deruta produce brocche tradizionali simili di due dimensioni. Il modello standard ha una capacità di $1\text{ litro}$ e verniciarlo con una speciale vernice impermeabile costa $3,50\text{ \euro}$. L'artigiano vuole progettare un modello gigante con una capacità di esattamente $8\text{ litri}$. Se il costo della verniciatura è direttamente proporzionale alla superficie esterna della brocca e il cliente ha fissato un limite di spesa di $15\text{ \euro}$ per la verniciatura di questo nuovo modello:

1. a) Trova il rapporto di similitudine lineare $k$ che devono avere le dimensioni della brocca gigante rispetto a quella standard.
2. b) Determina se il costo della vernice del modello gigante rispetterà il budget fissato dal cliente.

Due campi coltivati triangolari sono simili. Le dimensioni del campo più piccolo sono $30 \text{ m}$, $40 \text{ m}$ e $50 \text{ m}$, e la sua area è $600 \text{ m}^2$. Se il perimetro del campo più grande è $360 \text{ m}$, calcola l'area di questo secondo campo.

Il modello in scala di un monumento storico è stato costruito in scala $1:40$. Se il volume del modello è $0,05 \text{ m}^3$ e la sua superficie esterna misura $1,2 \text{ m}^2$, trova il volume reale del monumento in $\text{m}^3$ e la sua superficie reale in $\text{m}^2$.

Una marca di zuppe commercializza il suo prodotto in due lattine cilindriche simili. La quantità di latta necessaria per fabbricare la lattina grande (la sua area superficiale) è $4$ volte maggiore di quella necessaria per la lattina piccola. Se la lattina piccola contiene $250 \text{ ml}$ di zuppa, scopri quanti litri contiene la lattina grande.

In una carta topografica in scala $1:250\,000$, un parco naturale occupa un'estensione di $12 \text{ cm}^2$. Sapendo che $1 \text{ ettaro (ha)}$ equivale a $10\,000 \text{ m}^2$, calcola l'estensione reale del parco naturale espressa in ettari.

Una designer stampa in 3D una piccola figura di plastica che pesa $30 \text{ g}$. Vedendo il risultato, decide di stampare una versione simile ma ingrandita al $150\%$ delle dimensioni originali. Supponendo che la densità del riempimento plastico sia identica nelle due stampe, calcola il peso della nuova figura.

Un pallone da basket regolamentare ha un diametro di $24 \text{ cm}$, mentre una pallina da tennis ha un diametro di $6 \text{ cm}$. Supponendo che entrambi siano sfere perfette, determina quante volte è maggiore la superficie del pallone da basket rispetto alla pallina da tennis, e quante volte è maggiore il suo volume.

Un pittore vuole realizzare un murale su una parete ingrandendo un bozzetto preliminare. Il bozzetto è disegnato su una tela rettangolare larga $20 \text{ cm}$ e alta $30 \text{ cm}$. La parete destinata al murale ha un'area totale di $24 \text{ m}^2$ e il murale finale sarà esattamente simile al bozzetto, occupando tutta la parete. Quali saranno le dimensioni del murale in metri?

Una pizzeria offre le sue pizze circolari in due dimensioni simili: media e famiglia. La pizza media ha un diametro di $28 \text{ cm}$ e costa $8 \text{ €}$. Se il prezzo della pizza è strettamente proporzionale all'area che occupa, trova quale diametro deve avere la pizza famiglia se il suo prezzo nel menù è $18 \text{ €}$.

Il comune di una località commissiona la costruzione di una piscina pubblica a forma di prisma con base trapezoidale irregolare. Nel progetto tecnico è stato realizzato un modello in scala la cui superficie interna (fondo e pareti) misura $1,2\text{ m}^2$ e la cui capacità d'acqua è $0,3\text{ m}^3$. La piscina reale deve avere lunghezze $10$ volte maggiori di quelle del modello (rapporto di similitudine lineare $k = 10$).

Due tecnici discutono su come preventivare il rivestimento ceramico e il riempimento:

• Il tecnico A propone di ricavare prima ciascuna delle quote lineari reali (lunghezza, larghezze e profondità) a partire dalle formule geometriche del prisma trapezoidale, per poi calcolare la nuova superficie e il nuovo volume.

• Il tecnico B propone di applicare direttamente i rapporti tra grandezze di solidi simili a partire dai dati globali del modello.

Spiega con una motivazione quale dei due metodi è il più adatto ed efficiente in questo caso e indica quale difficoltà insormontabile presenta l'altro. Poi calcola l'area da rivestire e i metri cubi d'acqua necessari per riempire la piscina reale.

Un'azienda conserviera di Santoña commercializza tonno del Cantabrico in lattine cilindriche simili di banda stagnata. La lattina singola è alta $4\text{ cm}$, contiene una massa netta di $100\text{ g}$ di pesce e il suo contenitore costa $0,25\text{ \euro}$ per essere prodotto. L'azienda lancia un formato famiglia simile con un'altezza di $8\text{ cm}$. Supponendo che la densità del contenuto sia identica nei due formati e che il costo del contenitore dipenda esclusivamente dalla superficie totale di banda stagnata impiegata:

1. a) Imposta il modello della relazione tra le masse e calcola quanti grammi di tonno conterrà il formato famiglia.
2. b) Imposta il modello della relazione tra le superfici e calcola il costo di produzione della lattina grande.
3. c) Calcola il rapporto tra costo del contenitore e grammi di prodotto (in $\text{\euro}/\text{g}$) nei due formati e spiega perché all'azienda conviene economicamente confezionare in formati grandi.

Un serbatoio d'acqua ha la forma di un cono rovesciato. Si sa che il liquido al suo interno raggiunge una profondità pari a $\frac{2}{3}$ dell'altezza totale del serbatoio. Determina quale frazione del volume totale del serbatoio è attualmente piena d'acqua.

Una fabbrica di giocattoli produce piramidi piene di legno. Dipingere la superficie di una piramide piccola costa $2,50 \text{ €}$ (il costo è direttamente proporzionale all'area della superficie) e per la sua fabbricazione si impiegano $100 \text{ cm}^3$ di legno. Se si fabbrica una piramide più grande, simile alla prima, che richiede $800 \text{ cm}^3$ di legno, quale sarà il costo per dipingere questa piramide grande?

La Grande Piramide di Giza aveva originariamente un'altezza di circa $146 \text{ m}$. Immagina che si costruisca nelle vicinanze una replica simile, ma progettata per avere esattamente la metà del volume della piramide originale. Calcola quale sarebbe l'altezza esatta di questa replica, esprimendo il risultato mediante radicali.

Lo schermo di uno smartphone ha un'area di $A \text{ cm}^2$. Il produttore lancia un nuovo modello "Pro" con esattamente la stessa proporzione (cioè uno schermo simile), ma la cui diagonale è maggiore del $20\%$ rispetto a quella del modello standard. Di quale percentuale esatta aumenta l'area dello schermo? Inoltre, se tutte le dimensioni tridimensionali del telefono aumentano del $20\%$, di quale percentuale aumenterà il suo volume totale?

Una statua di bronzo esposta in una piazza ha una massa di $432 \text{ kg}$. Nel negozio del museo si vende una replica in scala fabbricata esattamente con la stessa lega di bronzo, la cui massa è $2 \text{ kg}$. Se l'area della superficie della replica è $450 \text{ cm}^2$, trova l'area della superficie della statua originale espressa in $\text{m}^2$.

Una piazza di forma quadrata ha un perimetro di $160 \text{ m}$. Il comune decide di ristrutturarla costruendo una nuova piazza quadrata simile, in modo che l'area pavimentata della nuova piazza sia esattamente il triplo di quella della vecchia. Calcola il perimetro della nuova piazza, dando il valore esatto mediante radicali.

Si hanno due poligoni simili. L'area del primo poligono è $S_1 = 45 \text{ cm}^2$ e l'area del secondo è $S_2 = 80 \text{ cm}^2$. Se la somma dei perimetri dei due poligoni è $70 \text{ cm}$, determina il perimetro di ciascuno.

In biologia, il rapporto tra superficie e volume di una cellula determina la sua capacità di scambiare nutrienti. Considera una cellula sferica di raggio $r$. Se la cellula cresce in modo che il suo nuovo raggio sia $k \cdot r$ (con $k > 1$), dimostra matematicamente che il rapporto superficie/volume si riduce di un fattore $\frac{1}{k}$. Quindi calcola il valore esatto del nuovo rapporto superficie/volume se il raggio originale era $2 \,\mu\text{m}$ e il fattore di crescita è $k = 3$.

In biologia, la regola ecologica di Bergmann descrive l'adattamento termico degli animali mediante il rapporto tra la loro superficie corporea (da cui disperdono calore) e il loro volume (che genera calore). Considera due mammiferi di sagoma simile e densità identica: un topo campagnolo di lunghezza $6\text{ cm}$ e una lontra di lunghezza $60\text{ cm}$. L'energia metabolica che devono bruciare per ogni grammo di massa corporea per mantenere costante la temperatura è proporzionale al quoziente superficie/volume ($S/V$).

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo numerico, stima con un ragionamento: chi pensi debba bruciare proporzionalmente più cibo al giorno rispetto al proprio peso per non raffreddarsi, il topo o la lontra? Formula un'ipotesi qualitativa.
2. b) Sapendo che il rapporto di similitudine lineare della lontra rispetto al topo è $k = 10$, deduci algebricamente come varia il quoziente $S/V$ di un corpo quando le sue lunghezze si moltiplicano per $k$ e calcola il valore del rapporto $\dfrac{(S/V)_{\text{topo}}}{(S/V)_{\text{lontra}}}$.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta e interpreta il risultato: se il topo deve ingerire ogni giorno l'equivalente del $30\,\%$ della sua massa corporea in cibo per compensare la perdita termica, quale percentuale della propria massa corporea dovrebbe ingerire la lontra per lo stesso scopo?

Una scultrice ha fuso in bronzo un modello pieno alto $25\text{ cm}$ per un monumento che sarà installato in una piazza pubblica. Il modello pesa $3,2\text{ kg}$ e applicare una speciale patina protettiva su tutta la sua superficie è costato $6\text{ \euro}$. La commissione di urbanistica stabilisce due condizioni rigorose per commissionare la scultura definitiva, che sarà una figura in scala geometricamente simile e dello stesso bronzo pieno:

1. Per motivi di sicurezza nel trasporto con gru, la massa totale della scultura non può superare $1\,350\text{ kg}$.

2. Lo stanziamento massimo assegnato per la patina protettiva della scultura è $216\text{ \euro}$ (il costo del trattamento per metro quadrato è identico a quello del modello).

Imposta le disequazioni corrispondenti alle due restrizioni in funzione del rapporto di similitudine $k$, determina il valore massimo ammissibile per $k$ e calcola l'altezza massima che potrà avere il monumento definitivo. Giustifica in dettaglio quale delle due restrizioni (il peso o il budget per la patina) impone il limite reale alle dimensioni dell'opera.

Sfida del tema. Come misurare ciò che è inaccessibile e riprodurlo in scala? Realizzerai una relazione tecnica calcolando le dimensioni reali di un elemento urbano vicino (albero, lampione o edificio) e quelle del suo modello virtuale.

1. Raccolta dei dati reali: scegli una giornata di sole e misura con un metro a nastro la lunghezza dell'ombra dell'elemento scelto e, contemporaneamente, la tua ombra e la tua altezza (o quella di un'asta di $1\text{ m}$).

2. Geometria e calcolo: modella i triangoli rettangoli simili formati dai raggi solari con GeoGebra o con un foglio di calcolo. Applica il teorema di Talete per dedurre l'altezza dell'oggetto. Con la calcolatrice e il teorema di Pitagora, determina la distanza dal punto più alto dell'elemento all'estremità della sua ombra.

3. Scala tridimensionale: assimila l'oggetto a un solido geometrico di base (cilindro, cono o prisma) e stima il suo volume e la sua area laterale reali. Se costruissi un modello con rapporto di similitudine $k = 0,05$ ($1:20$), calcola l'area della superficie e il volume che occuperebbe applicando i rapporti $k^2$ e $k^3$.

Presenta la tua relazione con i dati ottenuti, i calcoli giustificati e una schermata del modello digitale.

Verrà valutato:

• Applicazione rigorosa di Talete e Pitagora nei triangoli rettangoli simili.

• Uso corretto della calcolatrice e giustificazione dei rapporti di similitudine per le lunghezze ($k$), le aree ($k^2$) e i volumi ($k^3$).

• Chiarezza della relazione tecnica e uso adeguato degli strumenti digitali (GeoGebra o foglio di calcolo).