Esercizi: Problemi con equazioni di secondo grado

Trova un numero positivo tale che il triplo del suo quadrato sia esattamente uguale a dodici volte quello stesso numero.

Il prodotto di due numeri interi consecutivi è $156$. Quali sono questi numeri?

La base di un terreno rettangolare misura $5$ metri più della sua altezza. Se la sua area totale è di $150 \text{ m}^2$, calcola le sue dimensioni.

Se al quadrato dell'età che avrà Lucia tra $3$ anni sottraiamo il triplo dell'età che aveva $2$ anni fa, otteniamo $55$. Quanti anni ha Lucia attualmente?

In un triangolo rettangolo, un cateto misura $7 \text{ cm}$ più dell'altro. Se l'ipotenusa misura $13 \text{ cm}$, calcola la lunghezza di entrambi i cateti.

Il prodotto di due numeri pari positivi consecutivi è $288$. Trova tali numeri.

La somma dei quadrati di due numeri naturali dispari consecutivi è $130$. Determina di quali numeri si tratta.

Se si aumenta il lato di una piastrella quadrata di ceramica di $4 \text{ cm}$, la sua area si quadruplica. Quanto misurava inizialmente il lato?

Marco risolve nel suo compito in classe il seguente problema: «Il pavimento di un magazzino rettangolare ha una lunghezza che misura $5\text{ m}$ più della sua larghezza. Se la superficie totale è di $66\text{ m}^2$, quali sono le sue dimensioni?».

Per risolverlo, imposta $x(x+5) = 66 \implies x^2 + 5x - 66 = 0$. Applica la formula risolutiva e ottiene correttamente le radici algebriche $x_1 = 6$ e $x_2 = -11$. Poi conclude: «Ci sono due magazzini possibili: uno di $6\text{ m}$ di larghezza per $11\text{ m}$ di lunghezza, e un altro di $11\text{ m}$ di larghezza per $16\text{ m}$ di lunghezza, perché, visto che le distanze non possono essere negative, cambiamo il segno a $-11$ e sommiamo $5$».

1. a) Individua con precisione l'errore concettuale di Marco nell'interpretare la soluzione negativa $x_2 = -11$.
2. b) Spiega perché l'equazione algebrica dà due soluzioni mentre il problema geometrico ne ammette solo una.
3. c) Correggi la risposta finale determinando le vere dimensioni del magazzino e calcola quanti metri lineari di battiscopa servono per costeggiare tutto il suo perimetro (senza togliere le porte).

Un artigiano della ceramica di Faenza progetta una piastrella decorativa quadrata. Per un ordine speciale, modifica lo stampo aumentando la base di $3\text{ cm}$ e riducendo l'altezza di $2\text{ cm}$, ottenendo un pezzo rettangolare la cui superficie è di $84\text{ cm}^2$.

1. a) Senza risolvere l'equazione, fai una stima preliminare: tenendo conto che l'area finale ($84\text{ cm}^2$) deve essere molto simile a quella del quadrato iniziale, stima tra quali due numeri interi consecutivi deve trovarsi la lunghezza del lato originale della piastrella.
2. b) Definisci l'incognita, imposta la corrispondente equazione di secondo grado e risolvila passo per passo per trovare la misura esatta del lato della piastrella originale.
3. c) Verifica se la tua soluzione matematica è coerente con la stima iniziale e controlla nel testo che le dimensioni del nuovo rettangolo rispettino l'area indicata.

Una piscina rettangolare di $10 \text{ m}$ di lunghezza per $6 \text{ m}$ di larghezza è circondata da un vialetto di prato di larghezza uniforme $x$. Se l'area del solo vialetto è di $80 \text{ m}^2$, qual è la larghezza del vialetto?

Per costruire un aquilone serve un tessuto a forma di rombo. Si sa che la diagonale maggiore misura $4 \text{ cm}$ più della diagonale minore e che l'area totale dell'aquilone è di $96 \text{ cm}^2$. Calcola la lunghezza di entrambe le diagonali.

Un gruppo di amici decide di comprare un regalo di nozze che costa $120$ euro, da pagare in parti uguali. All'ultimo momento si aggiungono al gruppo altri due amici, per cui ognuno dei precedenti deve pagare $3$ euro in meno di quanto previsto inizialmente. Quanti amici formavano il gruppo iniziale?

Un proiettile viene lanciato verticalmente verso l'alto. La sua altezza $h$ (in metri) in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dall'espressione matematica $h = 40t - 5t^2$. In quali istanti il proiettile si troverà esattamente a un'altezza di $75 \text{ metri}$?

Il prezzo di costo di un lotto di magliette è di $300$ euro. Il venditore decide di tenere $5$ magliette per la sua famiglia e di vendere le altre a $2$ euro in più di quanto gli è costata ciascuna. Se dopo averle vendute tutte ottiene un guadagno netto di $60$ euro (cioè incassa in totale $360$ euro), quante magliette ha comprato inizialmente?

Un'azienda tecnologica produce pannelli solari di forma rettangolare. La lunghezza del pannello deve essere il doppio della sua larghezza meno $1 \text{ metro}$. Se per un nuovo modello si richiede che la superficie del pannello sia di $28 \text{ m}^2$, trova le sue dimensioni.

La differenza tra le età di un nonno e di suo nipote è di $56$ anni. $4$ anni fa, l'età del nonno era esattamente il quadrato dell'età del nipote. Che età hanno attualmente?

In una gara di atletica si lancia il peso. La traiettoria segue una parabola data dall'equazione $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, dove $x$ è la distanza orizzontale in metri e $y$ l'altezza in metri. A quale distanza orizzontale toccherà il suolo?

Per promuovere la mobilità sostenibile, un comune progetta un nuovo parcheggio chiuso per biciclette di $180\text{ m}^2$ di superficie. A causa dei limiti del marciapiede pedonale, la profondità (larghezza) del recinto deve misurare esattamente $8\text{ m}$ in meno della sua facciata (lunghezza).

1. a) Chiama $x$ la lunghezza della facciata in metri, scrivi l'espressione che rappresenta la profondità e imposta una sola equazione di secondo grado che modellizzi la superficie.
2. b) Risolvi l'equazione, analizza il significato delle due soluzioni matematiche ottenute e determina le dimensioni reali dell'area.
3. c) Il comune dispone di un budget massimo di $8000\text{ euro}$. Se la pavimentazione drenante costa $35\text{ euro/m}^2$ e la recinzione di sicurezza perimetrale che circonda i quattro lati costa $25\text{ euro}$ per metro lineare, verifica numericamente se il budget assegnato è sufficiente per realizzare l'opera.

Un docente vuole preparare per la sua classe un problema di progettazione geometrica la cui risoluzione conduca all'equazione di secondo grado $x^2 - 15x + 54 = 0$, le cui soluzioni sono $x_1 = 9$ e $x_2 = 6$.

1. a) Scrivi il testo di un problema contestualizzato (per esempio recintare un orto o progettare una terrazza) in cui intervengano il semiperimetro ($15\text{ m}$) e la superficie ($54\text{ m}^2$), in modo che, impostandolo, emerga direttamente tale equazione.
2. b) Risolvi l'equazione e interpreta perché in questo caso particolare ENTRAMBE le soluzioni numeriche sono positive e valide, spiegando che cosa rappresentano geometricamente.
3. c) Modifica soltanto il dato della superficie nel tuo testo per proporre una situazione fisicamente impossibile (cioè in cui non esista alcun rettangolo costruibile con quel semiperimetro). Giustifica la tua proposta analizzando il segno del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) della nuova equazione ottenuta.

Si dispone di un foglio di cartone rettangolare di $30 \text{ cm}$ di lunghezza per $20 \text{ cm}$ di larghezza. Si vuole costruire una scatola senza coperchio ritagliando un quadrato di lato $x$ in ogni angolo e piegando le alette verso l'alto. Se l'area della base della scatola risultante deve essere di $336 \text{ cm}^2$, calcola il valore di $x$ e il volume della scatola.

Due tubi riempiono insieme una cisterna d'acqua in $6$ ore. Se si aprisse solo il primo tubo, impiegherebbe $5$ ore in meno a riempire la cisterna rispetto a se si aprisse solo il secondo. Quanto impiegherebbe ciascun tubo a riempire la cisterna da solo?

Due auto partono contemporaneamente dallo stesso incrocio lungo due strade perpendicolari. Una viaggia a una velocità maggiore di $10 \text{ km/h}$ rispetto all'altra. Dopo $2$ ore, la distanza in linea retta che le separa è di $100 \text{ km}$. A che velocità viaggia ciascuna?

Un investitore deposita un capitale di $5000$ euro a un certo tasso di interesse composto annuo. Dopo due anni, il montante è di $5408$ euro. Qual è stato il tasso di interesse annuo applicato?

Un ciclista va da un paese A a un paese B, distanti $60 \text{ km}$. Al ritorno, a causa della stanchezza, la sua velocità media è inferiore di $5 \text{ km/h}$ rispetto all'andata, per cui impiega $1$ ora in più per fare lo stesso tragitto. A che velocità ha viaggiato all'andata?

Un artigiano vuole realizzare una cornice di legno per uno specchio rettangolare. Le dimensioni dello specchio sono $80 \text{ cm}$ di altezza per $60 \text{ cm}$ di larghezza. La cornice avrà uno spessore uniforme di $x \text{ cm}$ nella parte superiore e inferiore, ma ai lati lo spessore sarà il doppio, cioè $2x \text{ cm}$. Se l'area totale della cornice (senza includere lo specchio) deve essere di $2400 \text{ cm}^2$, determina il valore di $x$.

Una compagnia teatrale affitta una sala per $800$ euro per una rappresentazione. Per coprire le spese, decide di fissare un prezzo per il biglietto. Il giorno dello spettacolo assistono $40$ spettatori in più del previsto, per cui l'organizzatore decide di ridurre il prezzo del biglietto di $1$ euro, incassando esattamente i $800$ euro necessari. Quanti spettatori hanno assistito in tutto alla rappresentazione?

Una lattina cilindrica di conserve è progettata in modo che la sua altezza sia esattamente uguale al diametro della sua base. Se per fabbricare la lattina (comprese le due basi circolari e la superficie laterale) sono stati utilizzati esattamente $150\pi \text{ cm}^2$ di banda stagnata, calcola il raggio della base.

Un condominio a Bologna dispone di un cortile interno quadrato di lato sconosciuto. Durante una ristrutturazione, i condomini decidono di ridurre di $2\text{ m}$ un lato per installare una rampa di accessibilità e di ampliare di $6\text{ m}$ il lato perpendicolare sfruttando un magazzino in disuso. Il nuovo cortile rettangolare risultante ha una superficie di $105\text{ m}^2$.

Per trovare le dimensioni del cortile originale, due membri dell'assemblea propongono percorsi diversi:

• Metodo A (Carlo): Sceglie come incognita $x$ il lato del cortile quadrato originale e imposta l'equazione: $(x - 2)(x + 6) = 105$.

• Metodo B (Lucia): Sceglie come incognita $y$ la larghezza minore del nuovo cortile rettangolare, deduce che la lunghezza misurerà $y + 8$ e imposta l'equazione: $y(y + 8) = 105$, calcolando alla fine il lato originale come $y + 2$.

1. a) Sviluppa e risolvi completamente entrambi i metodi. Verifica che con entrambi si arriva alle stesse dimensioni iniziali e finali.
2. b) Confronta algebricamente le due equazioni: quale presenta coefficienti più maneggevoli per il calcolo mentale del discriminante? Quali vantaggi e svantaggi ha ciascuna riguardo al rischio di distrazione nel rispondere alla domanda finale del problema?

Un treno ad alta velocità percorre abitualmente il tragitto diretto di $300\text{ km}$ tra Roma e Bologna a una velocità media costante $v$ (in $\text{km/h}$). A causa di lavori sull'infrastruttura, in una giornata deve ridurre la sua velocità media lungo tutto il percorso di $50\text{ km/h}$, il che provoca un ritardo di mezz'ora ($0,5\text{ h}$) rispetto all'orario abituale.

1. a) Definisci con chiarezza che cosa rappresenta l'incognita $v$ e imposta una sola equazione che metta in relazione la distanza fissa, le due velocità medie e la differenza dei tempi tra i due viaggi.
2. b) Trasforma la relazione precedente in un'equazione di secondo grado in forma normale ($av^2+bv+c=0$), risolvila e determina la velocità media abituale del treno e la durata normale del tragitto.
3. c) L'equazione matematica dà due soluzioni reali ($v_1$ e $v_2$). Spiega con ragionamento perché la radice negativa viene scartata in questo contesto fisico.
4. d) La normativa di qualità ferroviaria richiede che i ritardi dovuti a lavori non superino i $20\text{ minuti}$ ($\frac{1}{3}\text{ de hora}$). Senza dover risolvere un'altra equazione di secondo grado completa, ragiona qualitativamente se la riduzione di velocità ammissibile dovrebbe essere maggiore o minore di $50\text{ km/h}$ per rispettare tale standard.