Esercizi: Altri tipi di equazioni

Risolvi la seguente equazione biquadratica effettuando la sostituzione $x^2 = t$:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Trova tutte le soluzioni reali della seguente equazione biquadratica incompleta raccogliendo a fattor comune:

$2x^4 - 32x^2 = 0$

Risolvi la seguente equazione razionale moltiplicando tutti i termini per $x$ per eliminare il denominatore:

$\frac{12}{x} = x - 4$

Trova il valore di $x$ che verifica la seguente semplice equazione razionale:

$\frac{x+3}{x-1} = 2$

Risolvi l'equazione irrazionale isolando il radicale ed elevando al quadrato entrambi i membri:

$\sqrt{3x + 4} = 5$

Determina i valori di $x$ che soddisfano la seguente equazione con radicali. Ricorda che devi verificare le soluzioni alla fine per scartare eventuali soluzioni false:

$\sqrt{x + 2} = x$

Risolvi la seguente equazione esponenziale esprimendo entrambi i membri come potenze della stessa base:

$3^{2x-1} = 27$

Trova il valore di $x$ nell'equazione logaritmica applicando direttamente la definizione di logaritmo:

$\log_2(x + 5) = 3$

Daniele deve risolvere in classe l'equazione con radicali $\sqrt{2x + 5} = x - 5$. Per eliminare la radice, eleva al quadrato entrambi i membri e ottiene $2x + 5 = x^2 - 10x + 25$. Dopo aver semplificato e portato tutti i termini a un membro, arriva a $x^2 - 12x + 20 = 0$. Applica la formula risolutiva e trova due soluzioni: $x = 10$ e $x = 2$. Molto convinto, scrive nel compito che entrambe sono soluzioni dell'equazione iniziale.

1. a) Spiega quale proprietà logica viene meno elevando al quadrato entrambi i membri di un'uguaglianza e perché questo passaggio può introdurre «soluzioni false».
2. b) Senza risolvere di nuovo l'equazione quadratica, verifica numericamente i due valori nell'equazione originale $\sqrt{2x + 5} = x - 5$ e indica quale è l'unica soluzione valida, spiegando perché l'altra va scartata.

Si vuole costruire un'equazione biquadratica della forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ che soddisfi contemporaneamente due condizioni:

1. Le sue uniche soluzioni reali devono essere $x = 3$ e $x = -3$.

2. Applicando la sostituzione $t = x^2$, l'equazione di secondo grado risultante nella variabile $t$ deve avere due soluzioni reali distinte: $t_1$ e $t_2$.

1. a) Ragiona su quale segno e quale valore numerico esatto deve avere una delle soluzioni di $t$ e quale segno deve avere obbligatoriamente l'altra soluzione perché non fornisca altre radici reali per l'incognita $x$.
2. b) Scegli un valore numerico per quella seconda soluzione di $t$ e scrivi l'equazione biquadratica completa $x^4 + bx^2 + c = 0$ che ne risulta, verificando che soddisfi le condizioni richieste.

L'area di un rettangolo è $6 \text{ cm}^2$. Sapendo che la sua base misura $x^2 + 2$ cm e la sua altezza $x^2 - 3$ cm, imposta un'equazione biquadratica per trovare il valore di $x$ (con $x > 0$) e determina le dimensioni reali del rettangolo.

Un ciclista va in un paese vicino a una velocità di $20 \text{ km/h}$ e torna per la stessa strada a una velocità di $x \text{ km/h}$. La velocità media dell'intero percorso di andata e ritorno è data dalla formula $v_m = \frac{2 \cdot 20 \cdot x}{20 + x}$. Se la velocità media totale è stata $24 \text{ km/h}$, imposta un'equazione razionale e calcola la velocità di ritorno $x$.

La distanza $d$ (in metri) che percorre un'auto da quando preme il freno fino a fermarsi si può approssimare con la formula $d = \frac{v^2}{20}$, dove $v$ è la velocità in m/s. Se un'auto lascia segni di frenata lunghi $45$ m, a che velocità viaggiava?

Il numero di membri di un server Discord segue la formula esponenziale $N = 500 \cdot 2^{t/3}$, dove $t$ è il tempo trascorso in mesi. Quanti mesi devono trascorrere perché il server raggiunga esattamente $4000$ membri?

Il livello di intensità sonora $L$ in decibel (dB) si calcola mediante l'espressione logaritmica $L = 10 \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$, dove $I$ è l'intensità acustica in $\text{W/m}^2$. Calcola l'intensità $I$ di un suono prodotto dal traffico intenso, sapendo che il suo livello è $80 \text{ dB}$.

Risolvi la seguente equazione biquadratica e indica chiaramente quali sono le sue soluzioni reali e perché le altre vengono scartate:

$x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

Risolvi la seguente equazione razionale riducendo allo stesso denominatore. Presta particolare attenzione alle possibili soluzioni che annullano qualche denominatore:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Risolvi l'equazione irrazionale isolando una delle radici ed elevando al quadrato. Ricorda di verificare la soluzione ottenuta:

$\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$

Considera l'equazione razionale $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2} = 1$.

1. a) Prima di operare, fai una stima ragionata per cercare una soluzione positiva $x > 0$:

• Se $x = 2$, calcola a mente il valore di $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2}$ e confrontalo con $1$.

• Se $x = 6$, calcola a mente il valore della stessa espressione e confrontalo con $1$.

• Sulla base di queste due prove, deduci e giustifica tra quali due numeri interi deve trovarsi la soluzione positiva.

1. b) Risolvi formalmente l'equazione eliminando i denominatori mediante il minimo comune multiplo, verifica se la tua stima è confermata e determina tutte le soluzioni reali dell'equazione, indicando quali valori di $x$ erano esclusi fin dall'inizio.

Per risolvere le equazioni esponenziali si usano di solito due strategie principali: raccogliere a fattor comune o effettuare una sostituzione del tipo $u = a^x$. Osserva queste due equazioni:

(1) $2^{x + 3} - 2^x = 56$

(2) $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

1. a) Risolvi l'equazione (1) raccogliendo a fattor comune la potenza $2^x$ nel membro di sinistra e giustifica perché questo percorso è più diretto rispetto a una sostituzione.
2. b) Spiega perché il metodo del raccoglimento a fattor comune non è applicabile direttamente all'equazione (2) (facendo attenzione alla presenza del termine noto e alle basi delle potenze).
3. c) Risolvi l'equazione (2) utilizzando la sostituzione $u = 2^x$, indicando chiaramente le soluzioni finali per l'incognita $x$.

La diagonale di una cornice rettangolare di legno misura $\sqrt{10}$ cm. Se uno dei suoi lati misura $x$ cm e l'altro misura $\frac{3}{x}$ cm, imposta un'equazione razionale, trasformala in un'equazione biquadratica e calcola le dimensioni della cornice.

Una cisterna d'acqua per l'irrigazione si può riempire usando due rubinetti diversi. Il primo rubinetto impiega $x$ ore a riempirla da solo e il secondo rubinetto, che ha una portata minore, impiega $x+3$ ore. Se si aprono entrambi contemporaneamente, la cisterna si riempie in esattamente $2$ ore. Imposta un'equazione razionale e determina quanto impiega ciascun rubinetto separatamente.

In un pezzo di lamiera a forma di triangolo rettangolo, un cateto misura $x$ cm, l'altro cateto misura $\sqrt{x+5}$ cm e l'ipotenusa misura $x+1$ cm. Imposta un'equazione irrazionale applicando il teorema di Pitagora, trova il valore di $x$ e calcola l'area del pezzo.

Il valore di un investimento finanziario (in migliaia di euro) segue l'andamento $V(t) = 4^t - 6 \cdot 2^t + 10$, dove $t$ è il tempo in anni dall'inizio dell'investimento. In quali istanti $t$ il valore dell'investimento è esattamente di $2$ mila euro? (Suggerimento: usa le proprietà delle potenze ed esegui il cambio di variabile $u = 2^t$).

La magnitudo di un terremoto nella scala Richter è data da $M = \log(A) - \log(A_0)$, dove $A$ è l'ampiezza massima delle onde sismiche registrate e $A_0$ è un'ampiezza di riferimento standard. Se in un terremoto di magnitudo $M_1 = 3$ l'ampiezza è stata $A_1$, e in un altro terremoto più forte l'ampiezza è stata $A_2 = 100 \cdot A_1$, qual è stata la magnitudo $M_2$ di questo secondo terremoto? Applica le proprietà dei logaritmi per dimostrarlo passo dopo passo.

Un gruppo di amici affitta una casa in campagna per il fine settimana per un totale di $120$ €. All'ultimo momento si aggiungono al viaggio altri $2$ amici, per cui ciascuno di quelli che dovevano partire inizialmente paga $3$ € in meno. Se $x$ è il numero iniziale di amici, imposta un'equazione razionale e scopri quanti amici sono andati alla fine nella casa in campagna.

Risolvi la seguente equazione irrazionale che contiene due radicali. Dovrai elevare al quadrato due volte. Verifica le soluzioni ottenute alla fine del procedimento:

$\sqrt{2x+3} - \sqrt{x-2} = 2$

Risolvi la seguente equazione logaritmica applicando le proprietà dei logaritmi (somma di logaritmi) e verifica il risultato per scartare le soluzioni che generano argomenti negativi:

$\log(x+2) + \log(x-1) = 1$

Un treno regionale di Trenitalia effettua un viaggio di andata e ritorno tra due città distanti $60\text{ km}$. All'andata, a causa di una limitazione temporanea di velocità per lavori di manutenzione sulla linea, il treno viaggia a una velocità media di $v - 20\text{ km/h}$, dove $v$ è la sua velocità media abituale. Nel viaggio di ritorno, ormai senza restrizioni, viaggia alla sua velocità abituale $v\text{ km/h}$. Si sa che il viaggio di andata è durato esattamente 15 minuti ($0,25\text{ ore}$) in più del viaggio di ritorno.

1. a) Imposta un'equazione razionale che descriva la situazione a partire dalla relazione tra tempo, distanza e velocità, indicando il significato di ciascun termine e le restrizioni che la realtà fisica impone sul valore di $v$.
2. b) Risolvi l'equazione per calcolare il valore della velocità abituale $v$ e la velocità effettiva a cui ha viaggiato all'andata.
3. c) Calcola il tempo totale in cui il treno è stato in movimento durante l'intero percorso (andata e ritorno), esprimendo il risultato in ore e minuti.

Si vuole costruire un'equazione logaritmica della forma $\log(x + a) + \log(x + 1) = \log(b)$, dove $a$ e $b$ sono costanti reali fissate, in modo che accada quanto segue:

• Applicando le proprietà dei logaritmi e trasformando l'uguaglianza in un'equazione polinomiale di secondo grado, le soluzioni algebriche di tale equazione siano esattamente $x = 5$ e $x = -3$.

• Tuttavia, verificando nell'equazione logaritmica originale, il valore $x = -3$ deve essere scartato (perché non appartiene al dominio di definizione), così che $x = 5$ sia l'unica soluzione valida.

1. a) A partire dalle relazioni tra le radici e i coefficienti di un polinomio di secondo grado, deduci i valori numerici obbligati delle costanti $a$ e $b$.
2. b) Spiega con precisione l'apparente paradosso: perché il valore $x = -3$ verifica l'equazione polinomiale ottenuta ma risulta inammissibile nell'equazione logaritmica di partenza?
3. c) Verifica che, con i valori di $a$ e $b$ ottenuti, il valore $x = 5$ soddisfa pienamente l'equazione logaritmica iniziale.