Esercizi: Equazioni e grafici del moto

Il grafico $x$-$t$ di un mobile è una retta orizzontale in $x = 5\ \text{m}$ per $10\ \text{s}$. È mostrato in figura.

1. a) In che stato si trova il mobile durante quel tempo?
2. b) Quanto vale la sua velocità? Giustificalo a partire dalla pendenza del grafico.

Il grafico $x$-$t$ di un pedone è una retta che passa per i punti $(0, 2)$ e $(4, 10)$, con $x$ in metri e $t$ in secondi. È mostrato in figura.

1. a) Calcola la pendenza della retta e indica quale grandezza rappresenta.
2. b) Scrivi l'equazione della posizione del pedone.

Il grafico $v$-$t$ di un ciclista è una retta orizzontale in $v = 6\ \text{m/s}$ da $t = 0$ a $t = 5\ \text{s}$. È mostrato in figura.

1. a) Quale tipo di moto descrive?
2. b) Calcola la distanza percorsa usando l'area sotto il grafico.

Il grafico $v$-$t$ di un'automobile è una retta che unisce i punti $(0, 0)$ e $(4, 12)$, con $v$ in $\text{m/s}$ e $t$ in secondi. È mostrato in figura.

1. a) Calcola la pendenza della retta e indica quale grandezza rappresenta.
2. b) Qual è il suo valore con la sua unità di misura?

Completa le seguenti frasi sui grafici del moto:

1. a) La pendenza di un grafico $x$-$t$ rappresenta la $\dots$
2. b) La pendenza di un grafico $v$-$t$ rappresenta la $\dots$
3. c) L'area sotto un grafico $v$-$t$ rappresenta la $\dots$ percorsa.

Il grafico $a$-$t$ di un mobile è una retta orizzontale in $a = 2\ \text{m/s}^2$ da $t = 0$ a $t = 6\ \text{s}$, come mostrato in figura.

Se il mobile parte da fermo, calcola la sua velocità dopo $6\ \text{s}$ usando l'area sotto il grafico $a$-$t$.

Un compagno ti mostra due grafici $x$-$t$: nel primo, la posizione cresce seguendo una retta inclinata; nel secondo, la posizione cresce seguendo una curva sempre più ripida. Sono mostrati in figura.

1. a) Quale corrisponde a un moto uniforme e quale a un moto accelerato?
2. b) Spiega, in ciascun caso, che cosa succede alla velocità.

Il grafico $v$-$t$ di un'automobile è una retta che unisce i punti $(0, 20)$ e $(5, 0)$, con $v$ in $\text{m/s}$ e $t$ in secondi. È mostrato in figura.

1. a) L'automobile accelera o frena? Giustificalo.
2. b) Calcola la sua accelerazione a partire dalla pendenza.

Il grafico $x$-$t$ di un'escursione a piedi ha tre tratti rettilinei: da $(0, 0)$ a $(10, 50)$, da $(10, 50)$ a $(15, 50)$ e da $(15, 50)$ a $(25, 0)$, con $x$ in metri e $t$ in secondi. È mostrato in figura.

1. a) Calcola la velocità di ciascun tratto.
2. b) Interpreta ciascun tratto: che cosa fanno gli escursionisti in ognuno?
3. c) Quanto dura l'intera escursione?

Il grafico $v$-$t$ di un'automobile ha tre tratti: da $(0, 0)$ a $(10, 20)$, da $(10, 20)$ a $(30, 20)$ e da $(30, 20)$ a $(40, 0)$, con $v$ in $\text{m/s}$ e $t$ in secondi. È mostrato in figura.

1. a) Calcola l'accelerazione di ciascun tratto.
2. b) Calcola la distanza percorsa in ciascun tratto mediante le aree (triangoli e rettangolo) sotto il grafico.
3. c) Qual è la distanza totale?

Misurando la posizione di un carrellino da laboratorio si ottengono questi dati: a $t = 0\ \text{s}$, $x = 3\ \text{m}$; a $t = 1\ \text{s}$, $x = 5\ \text{m}$; a $t = 2\ \text{s}$, $x = 7\ \text{m}$; a $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Rappresenta i punti in un grafico $x$-$t$ sul tuo quaderno e verifica che sono allineati.
2. b) Deduci l'equazione della posizione del carrellino.
3. c) Prevedi la sua posizione quando $t = 10\ \text{s}$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La posizione di un mobile, in unità del Sistema Internazionale, è $x = 10 - 3 \cdot t$.

1. a) Calcola la sua posizione in $t = 0\ \text{s}$, $t = 1\ \text{s}$ e $t = 2\ \text{s}$.
2. b) Descrivi il grafico $x$-$t$: è crescente o decrescente? Che cosa indica la pendenza negativa?
3. c) Calcola in quale istante passa per l'origine, arrotondando a una cifra decimale.

Il grafico $v$-$t$ di un'automobile è una retta che unisce i punti $(0, 5)$ e $(6, 17)$, con $v$ in $\text{m/s}$ e $t$ in secondi. È mostrato in figura.

1. a) Calcola l'accelerazione.
2. b) Scrivi l'equazione della velocità e calcola $v$ quando $t = 3\ \text{s}$.
3. c) Calcola la distanza percorsa nei $6\ \text{s}$ dividendo l'area sotto il grafico in un rettangolo e un triangolo.

In un grafico $x$-$t$ comune, il mobile A segue la retta $x_A = 4 \cdot t$ e il mobile B la retta $x_B = 20 + t$, in unità del Sistema Internazionale.

1. a) Disegna le due rette sul quaderno.
2. b) Che cosa significa il punto in cui si intersecano?
3. c) Calcola l'istante e la posizione di intersezione, arrotondati a una cifra decimale.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il grafico $a$-$t$ di un mobile che parte da fermo è: $a = 3\ \text{m/s}^2$ da $t = 0$ a $t = 4\ \text{s}$, e $a = 0$ da $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$. È mostrato in figura.

1. a) Calcola la velocità a $4\ \text{s}$ usando l'area sotto il grafico $a$-$t$.
2. b) Quale velocità ha a $10\ \text{s}$? Giustificalo.
3. c) Disegna sul quaderno il grafico $v$-$t$ corrispondente.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il grafico $v$-$t$ di una ciclista ha tre tratti rettilinei che uniscono i punti $(0, 0)$, $(5, 10)$, $(15, 10)$ e $(20, 0)$, con $v$ in $\text{m/s}$ e $t$ in secondi.

1. a) Descrivi a parole che cosa fa la ciclista in ogni tratto.
2. b) Calcola la distanza totale percorsa mediante le aree sotto il grafico.

Il grafico $v$-$t$ di un treno della metropolitana tra due stazioni è: accelera da $0$ a $15\ \text{m/s}$ in $30\ \text{s}$, mantiene $15\ \text{m/s}$ per $60\ \text{s}$ e frena fino a fermarsi in $15\ \text{s}$. È mostrato in figura.

1. a) Calcola l'accelerazione di ogni tratto.
2. b) Calcola la distanza di ogni tratto e la distanza totale tra le stazioni.
3. c) Calcola la velocità media del percorso, arrotondata a una cifra decimale.

Misurando la posizione di un carrellino che scende lungo un piano inclinato si ottiene: a $t = 0\ \text{s}$, $x = 0\ \text{m}$; a $t = 1\ \text{s}$, $x = 1\ \text{m}$; a $t = 2\ \text{s}$, $x = 4\ \text{m}$; a $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Verifica che i dati rispettano la relazione $x = t^2$ e, confrontandola con $x = \frac{1}{2} a \cdot t^2$, deduci l'accelerazione del carrellino.
2. b) Prevedi la sua posizione quando $t = 5\ \text{s}$.
3. c) Calcola di quanto avanza in ogni secondo ($0$-$1\ \text{s}$, $1$-$2\ \text{s}$, $2$-$3\ \text{s}$) e spiega, a partire da questi valori, perché il grafico $x$-$t$ è una curva e non una retta.

In uno stesso grafico $v$-$t$, l'automobile A è una linea orizzontale in $v = 20\ \text{m/s}$ e l'automobile B è una retta che parte dall'origine con accelerazione $a = 4\ \text{m/s}^2$, come mostrato in figura. Entrambe partono dallo stesso punto contemporaneamente.

1. a) Calcola l'istante in cui le due linee del grafico si incrociano.
2. b) Calcola la distanza percorsa da ciascuna automobile fino a quell'istante, usando le aree. Si trovano nello stesso punto?
3. c) Calcola l'istante in cui B raggiunge realmente A uguagliando le equazioni della posizione.
4. d) Spiega la differenza tra «incrocio dei grafici $v$-$t$» e «raggiungimento»: che cosa è uguale in ciascun caso?

Il grafico $v$-$t$ di un mobile ha due tratti: una retta da $(0, 0)$ a $(4, 8)$ e una orizzontale in $v = 8\ \text{m/s}$ da $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$, con $v$ in $\text{m/s}$.

1. a) Calcola la distanza percorsa in ogni tratto.
2. b) Calcola la posizione in $t = 2\ \text{s}$, $t = 4\ \text{s}$ e $t = 10\ \text{s}$ (prendi l'origine come posizione iniziale).
3. c) Con questi valori, descrivi la forma del grafico $x$-$t$: quale tratto è curvo e quale è rettilineo? Giustificalo.

Il grafico $x$-$t$ di un mobile è una retta che unisce i punti $(0, 50)$ e $(10, 0)$, con $x$ in metri e $t$ in secondi. È mostrato in figura.

1. a) Scrivi la sua equazione della posizione.
2. b) Spiega che cosa significano la posizione iniziale e il segno della pendenza.
3. c) Calcola la posizione quando $t = 14\ \text{s}$ e spiega il significato fisico del fatto che sia negativa.
4. d) In quale istante si trova in $x = -50\ \text{m}$?

Il grafico $x$-$t$ di una passeggiata è: una retta da $(0, 0)$ a $(4, 40)$ e un'altra da $(4, 40)$ a $(8, 0)$, con $x$ in metri e $t$ in secondi. È mostrato in figura.

1. a) Calcola la velocità di ogni tratto.
2. b) Calcola la distanza totale percorsa e lo spostamento totale.
3. c) Calcola la velocità media (spostamento diviso tempo) e la velocità scalare media (distanza divisa tempo).
4. d) Spiega perché una delle due risulta zero e l'altra no.

Un mobile parte da fermo. Il suo grafico $a$-$t$ è: $a = 4\ \text{m/s}^2$ da $t = 0$ a $t = 5\ \text{s}$, e $a = -2\ \text{m/s}^2$ da $t = 5\ \text{s}$ a $t = 15\ \text{s}$. È mostrato in figura.

1. a) Calcola la velocità massima raggiunta e in quale istante.
2. b) Calcola la velocità a $15\ \text{s}$.
3. c) Disegna sul quaderno il grafico $v$-$t$ e calcola la distanza totale percorsa mediante la sua area.
4. d) Descrivi a parole il moto completo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un compagno disegna un grafico $x$-$t$ in cui un tratto è una linea verticale e afferma che rappresenta un cambiamento di posizione istantaneo.

1. a) Spiega perché un grafico $x$-$t$ non può avere un tratto verticale: che cosa implicherebbe sulla posizione del mobile in uno stesso istante e sulla sua velocità?
2. b) Per lo stesso motivo, ragiona se il grafico $x$-$t$ possa «tornare indietro» verso sinistra sull'asse del tempo.
3. c) Disegna sul quaderno un grafico $x$-$t$ corretto per questa situazione: una persona esce di casa, si ferma un po' a parlare con un vicino e torna a casa. Giustifica la forma di ogni tratto.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sfida del tema. Progetta una relazione cinematica integrando moti del tuo ambiente quotidiano:

1. Caduta libera: Misura un'altezza fissa ($h \approx 2,00 \pm 0,01\text{ m}$) e cronometra $5$ cadute di un oggetto piccolo. Tabula i tempi, trova la media e l'incertezza ($\bar{t} \pm \Delta t$), calcola sperimentalmente il valore di $g$ mediante $h = \frac{1}{2}gt^2$ e rappresenta il grafico $y-t$ previsto dal modello $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ con il tuo valore di $g$.

2. Moto rettilineo uniforme e frenata (moto rettilineo uniformemente accelerato): Misura con Google Maps la distanza di un percorso che fai di solito in bici o in monopattino. Modella un tratto intermedio a velocità costante $v$ (moto rettilineo uniforme) e una decelerazione finale fino a fermarti con accelerazione $a$ (moto rettilineo uniformemente accelerato). Scrivi le sue equazioni del moto $x(t)$ e $v(t)$.

3. Rotazione (moto circolare uniforme): Per le ruote ($R = 0,32\text{ m}$) che girano a quella velocità $v$, determina la velocità angolare $\omega$, il periodo $T$ e l'accelerazione centripeta $a_c$.

Presenta i risultati in una breve relazione con i tuoi dati, calcoli e grafici.

Verrà valutato:

• Rigore nella raccolta di misure casalinghe, stima dell'incertezza e tracciamento dei grafici.

• Correttezza nell'impostazione delle equazioni e delle unità del SI per moto rettilineo uniforme, moto rettilineo uniformemente accelerato, caduta libera e moto circolare uniforme.

• Analisi critica delle possibili fonti di errore e chiarezza nelle conclusioni.