Esercizi: Moti rettilinei e circolari

Un treno pendolare viaggia in linea retta con velocità costante $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. Quando $t = 0$ passa per la posizione $x_0 = 100\ \text{m}$.

1. a) Scrivi l'equazione della sua posizione $x(t)$.
2. b) Calcola la sua posizione quando $t = 8\ \text{s}$.

Un aereo parte da fermo sulla pista e accelera uniformemente con $\vec{a} = 3\,\vec{i}\ \text{m/s}^2$.

1. a) Scrivi l'equazione della sua velocità $v(t)$.
2. b) Calcola la velocità che raggiunge dopo $10\ \text{s}$.
3. c) Spiega con parole tue che cosa significa un'accelerazione di $3\ \text{m/s}^2$.

Un ciclista si muove in linea retta di moto rettilineo uniformemente accelerato, con $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ e $a = 1\ \text{m/s}^2$.

1. a) Scrivi la sua equazione di posizione $x(t)$.
2. b) Calcola la sua posizione quando $t = 6\ \text{s}$ usando $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

Si lascia cadere una moneta dalla cima di una torre di $20\ \text{m}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il tempo che impiega ad arrivare al suolo.
2. b) Calcola la velocità con cui arriva.

Le pale di un ventilatore a soffitto impiegano $0,5\ \text{s}$ per compiere un giro completo.

1. a) Quanto valgono il periodo $T$ e la frequenza $f$ della rotazione?
2. b) Calcola la velocità angolare $\omega = \frac{2\pi}{T}$, in $\text{rad/s}$, e approssimala con una cifra decimale.

Una ruota panoramica ruota con velocità angolare costante $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ e il suo raggio è $r = 10\ \text{m}$. Lo schema mostra una cabina sul bordo e un'altra più vicina all'asse.

1. a) Calcola la velocità lineare $v = \omega \cdot r$ di una cabina situata sul bordo.
2. b) Spiega perché una cabina situata più vicino all'asse si muoverebbe più lentamente, anche se la velocità angolare è la stessa.

Un pattinatore percorre una curva di raggio $8\ \text{m}$ a $4\ \text{m/s}$. La figura mostra la curva e il vettore velocità.

1. a) Calcola la sua accelerazione normale $a_n = \frac{v^2}{r}$.
2. b) Indica la sua direzione e il suo verso.

Un satellite descrive un'orbita approssimativamente circolare attorno alla Terra con velocità scalare costante.

1. a) Il satellite ha accelerazione?
2. b) Se il modulo della velocità non cambia, che cosa cambia del vettore velocità? Spiega perché ciò implica che esiste un'accelerazione e come si chiama.

Un autobus che viaggia a $72\ \text{km/h}$ frena uniformemente con $a = -2\ \text{m/s}^2$ fino a fermarsi.

1. a) Esprimi la sua velocità iniziale in $\text{m/s}$.
2. b) Calcola il tempo che impiega a fermarsi.
3. c) Calcola la distanza che percorre durante la frenata.

Da un ponte alto $15\ \text{m}$ si lancia un sasso verticalmente verso il basso con $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Osserva lo schema:

1. a) Imposta l'equazione della posizione prendendo come origine la superficie dell'acqua e calcola il tempo che impiega ad arrivare in acqua.
2. b) Calcola la velocità con cui arriva.

Un giocoliere lancia una palla verticalmente verso l'alto con $v_0 = 30\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Osserva lo schema del lancio:

1. a) Calcola il tempo che impiega a raggiungere l'altezza massima.
2. b) Calcola tale altezza massima.
3. c) Quanto tempo passa prima che la palla ritorni nella sua mano e con quale velocità arriva? Giustificalo con la simmetria del moto.

Un treno della metropolitana parte da fermo e accelera uniformemente a $0,5\ \text{m/s}^2$ lungo $400\ \text{m}$.

1. a) Calcola la velocità che raggiunge usando $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x$.
2. b) Calcola il tempo che impiega a percorrere quei $400\ \text{m}$.

Una giostra di raggio $4\ \text{m}$ compie un giro ogni $8\ \text{s}$.

1. a) Calcola la sua velocità angolare $\omega$ in $\text{rad/s}$, in funzione di $\pi$.
2. b) Calcola la velocità lineare di un bambino seduto sul bordo.
3. c) Calcola la sua accelerazione normale. Esprimi i risultati finali anche con una cifra decimale.

Una bicicletta avanza a $7\ \text{m/s}$ e le sue ruote hanno raggio $0,35\ \text{m}$.

1. a) Calcola la velocità angolare delle ruote, tenendo conto che sul bordo $v = \omega \cdot r$.
2. b) Calcola il periodo di rotazione della ruota.
3. c) Calcola la distanza che la bicicletta percorre a ogni giro completo della ruota e spiega perché coincide con la lunghezza della circonferenza.

Una centrifuga da laboratorio ruota con frequenza $f = 50\ \text{Hz}$ e i campioni descrivono cerchi di raggio $0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcola la velocità angolare $\omega = 2\pi \cdot f$.
2. b) Calcola la velocità lineare dei campioni.
3. c) Calcola la loro accelerazione normale ed esprimila in notazione scientifica.

Un automobilista viaggia a $90\ \text{km/h}$, impiega $0,8\ \text{s}$ a reagire davanti a un ostacolo e poi frena con $a = -5\ \text{m/s}^2$. Lo schema mostra le due fasi dell'arresto.

1. a) Esprimi la velocità in $\text{m/s}$ e calcola la distanza percorsa durante il tempo di reazione.
2. b) Calcola il tempo di frenata e la distanza di frenata.
3. c) Calcola la distanza totale di arresto, somma delle due precedenti.

Un'automobile parte da ferma con accelerazione costante $a = 2\ \text{m/s}^2$ proprio quando una motocicletta le passa accanto con velocità costante di $12\ \text{m/s}$, nello stesso verso. I grafici $x$-$t$ dei due veicoli sono mostrati nella figura.

1. a) Scrivi le equazioni di posizione dei due veicoli prendendo come origine il punto del sorpasso.
2. b) Calcola l'istante in cui l'automobile raggiunge la motocicletta.
3. c) In quale posizione avviene e quale velocità ha l'automobile in quel momento?
4. d) Spiega, a partire da come varia la velocità dell'automobile nel tempo, perché finisce per raggiungerla anche se all'inizio resta indietro.

Da un balcone a $15\ \text{m}$ dal suolo si lancia una palla verticalmente verso l'alto con $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola l'altezza massima che raggiunge, misurata dal suolo.
2. b) Scrivi l'equazione della posizione prendendo il suolo come origine e calcola il tempo totale di volo fino a quando arriva al suolo.
3. c) Calcola la velocità con cui arriva al suolo.
4. d) Confronta questo tempo di volo con quello che impiegherebbe se fosse semplicemente lasciato cadere dal balcone e spiega la differenza.

Un'automobile viaggia a $108\ \text{km/h}$.

1. a) Esprimi questa velocità in $\text{m/s}$.
2. b) Calcola la distanza di frenata su strada asciutta, con $a = -6\ \text{m/s}^2$.
3. c) Calcola la distanza di frenata su strada bagnata, con $a = -3\ \text{m/s}^2$.
4. d) Se il tempo di reazione del conducente è $0,5\ \text{s}$, calcola la distanza totale di arresto nei due casi e spiega perché conviene aumentare la distanza di sicurezza quando piove.

Su una piattaforma girevole di un parco di divertimenti che ruota con $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$, un bambino è seduto a $2\ \text{m}$ dall'asse e un adulto a $8\ \text{m}$.

1. a) Calcola la velocità lineare di ciascuno.
2. b) Calcola l'accelerazione centripeta di ciascuno.
3. c) Ragiona, a partire dall'espressione $a_n = \omega^2 \cdot r$, quale dei due è sottoposto a un'accelerazione maggiore e che cosa implica ciò per l'aderenza di cui ha bisogno per non scivolare verso l'esterno.

Il cestello di una lavatrice ha $0,25\ \text{m}$ di raggio e durante la centrifuga ruota a $600$ giri al minuto, cioè $10$ giri al secondo.

1. a) Esprimi la frequenza di rotazione in $\text{Hz}$ e calcola la velocità angolare.
2. b) Calcola la velocità lineare di un bottone attaccato al cestello.
3. c) Calcola la sua accelerazione centripeta e confrontala con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: quante volte è maggiore, approssimativamente?
4. d) Spiega come questo risultato aiuta a capire perché la centrifuga elimina l'acqua dai vestiti.

La lancetta dei minuti dell'orologio di una stazione misura $1,5\ \text{m}$ e impiega un'ora a compiere un giro completo.

1. a) Calcola la sua velocità angolare in $\text{rad/s}$, in notazione scientifica.
2. b) Calcola la velocità lineare della punta della lancetta.
3. c) Calcola l'accelerazione centripeta della punta ed esprimila in notazione scientifica.
4. d) Confronta la velocità angolare della lancetta dei minuti con quella della lancetta dei secondi, che impiega $60\ \text{s}$ per giro: quante volte è maggiore quella della lancetta dei secondi?

Una mongolfiera sale con velocità costante di $8\ \text{m/s}$. Quando si trova a $48\ \text{m}$ di altezza si stacca un sacco di zavorra. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Osserva lo schema della situazione:

1. a) Spiega perché il sacco, quando si stacca, continua a salire per qualche istante invece di cadere subito.
2. b) Scrivi l'equazione della posizione del sacco prendendo il suolo come origine e calcola il tempo che impiega ad arrivare al suolo.
3. c) Calcola la velocità con cui arriva al suolo.
4. d) Calcola l'altezza a cui si trova la mongolfiera nell'istante in cui il sacco tocca il suolo.

Nell'attrazione «il rotor», le persone si appoggiano alla parete interna di un cilindro di $4\ \text{m}$ di raggio che ruota finché il pavimento viene ritirato. Si vuole che l'accelerazione centripeta dei passeggeri sia $2,5$ volte $g$; prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola la velocità lineare che deve avere la parete.
2. b) Calcola la velocità angolare $\omega$.
3. c) Calcola il periodo di rotazione.
4. d) Spiega perché le persone non cadono quando il pavimento scompare, indicando quale forza fornisce l'accelerazione centripeta e quale equilibra il peso.