Esercizi: Il modello quantistico e le particelle subatomiche

Nell'attuale modello quantistico non si parla più di orbite, come faceva Bohr, ma di orbitali. Spiega la differenza tra un'orbita e un orbitale: quale informazione dà ciascuno sull'elettrone e quale dei due concetti descrive una traiettoria determinata?

Il numero quantico principale $n$ identifica i livelli di energia dell'atomo.

1. a) Quali valori può assumere $n$?
2. b) Che cosa succede all'energia del livello e alla dimensione media della nube elettronica quando $n$ aumenta?

All'interno di ogni livello ci sono dei sottolivelli. In questo tema studieremo i sottolivelli s e p: l'orbitale s ha forma sferica e ogni orbitale p ha forma di due lobi simmetrici. Le loro forme sono mostrate nella figura.

1. a) Quanti elettroni possono stare al massimo in un orbitale s?
2. b) Un sottolivello p ha $3$ orbitali: quanti elettroni possono stare in totale in un sottolivello p?

Nel $1927$, Heisenberg enunciò il suo principio di indeterminazione. Spiega che cosa afferma questo principio sulla posizione e sulla velocità dell'elettrone e perché, a causa di esso, i fisici disegnano l'elettrone come una «nube di probabilità» e non come una pallina che segue una traiettoria.

Indica la carica elettrica (positiva, negativa o nulla) e la localizzazione nell'atomo (nucleo o corteccia) del protone, del neutrone e dell'elettrone. Quali delle tre particelle hanno quasi la stessa massa? Quale è circa $2000$ volte più leggera delle altre due?

Dagli anni sessanta del secolo scorso sappiamo che protoni e neutroni non sono particelle elementari: sono formati da quark.

1. a) Quanti quark compongono un protone? E un neutrone?
2. b) Quale differenza c'è, in questo senso, tra queste due particelle e l'elettrone?

Gli scanner PET degli ospedali funzionano grazie ai positroni.

1. a) Che cos'è un positrone? In che cosa somiglia a un elettrone e in che cosa se ne differenzia?
2. b) Che cosa succede quando un positrone incontra un elettrone?

Le centrali nucleari usano come combustibile l'uranio-235, mentre l'uranio più abbondante in natura è l'uranio-238; entrambi hanno numero atomico $Z = 92$. La figura rappresenta i due nuclei.

1. a) Spiega che cosa sono gli isotopi di un elemento.
2. b) Calcola quanti neutroni ha nel nucleo ciascuno di questi due isotopi dell'uranio.

Gli elettroni occupano i sottolivelli in quest'ordine: $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$. Ogni sottolivello s ammette $2$ elettroni e ogni sottolivello p, $6$.

1. a) Scrivi la configurazione elettronica del sodio ($Z = 11$) e quella del cloro ($Z = 17$).
2. b) Quanti elettroni ha ciascuno dei due atomi nell'ultimo livello occupato?

Lo iodio è un oligoelemento essenziale che viene aggiunto al sale da cucina; il suo isotopo più comune ha $Z = 53$ e $A = 127$.

1. a) Calcola i protoni, i neutroni e gli elettroni di un atomo neutro di iodio.
2. b) Scrivi il suo simbolo con la notazione ${}^{A}_{Z}\text{X}$.

Lo smalto dei denti contiene calcio e molti dentifrici contengono fluoro.

1. a) L'atomo di calcio ($Z = 20$) forma lo ione $\text{Ca}^{2+}$: quanti elettroni ha quello ione?
2. b) L'atomo di fluoro ($Z = 9$) forma lo ione $\text{F}^{-}$: quanti elettroni ha quello ione?
3. c) Spiega, pensando alle loro configurazioni elettroniche, perché gli atomi tendono a guadagnare o perdere elettroni fino ad avere l'ultimo livello completo.

Nella radioterapia contro il cancro si utilizza il cobalto-60, una sorgente radioattiva con $Z = 27$.

1. a) Scrivi il simbolo del cobalto-60 con la notazione ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
2. b) Calcola i suoi protoni, neutroni ed elettroni, supponendo l'atomo neutro.
3. c) Quale differenza c'è tra il cobalto-60 e il cobalto-59, l'isotopo stabile dello stesso elemento?

Il cloro naturale è un miscuglio di due isotopi: un $75\ \%$ di cloro-35 e un $25\ \%$ di cloro-37.

1. a) Calcola la massa atomica media del cloro come media ponderata delle masse dei suoi isotopi.
2. b) La tavola periodica indica per il cloro una massa di $35,5\ \text{u}$: spiega perché quel valore non è un numero intero se ogni atomo di cloro ha un numero intero di particelle nel suo nucleo.

In un esame PET, il paziente riceve glucosio marcato con fluoro-18 ($Z = 9$), un isotopo che emette positroni. Quando un positrone incontra un elettrone, entrambi si annichilano e vengono emessi due fotoni gamma in direzioni opposte, che l'anello dello scanner rivela. Lo schema dello scanner è mostrato nella figura.

1. a) Calcola i neutroni del fluoro-18 e del fluoro-19, l'isotopo stabile del fluoro.
2. b) Perché, rivelando i due fotoni contemporaneamente, l'apparecchio sa che l'annichilazione è avvenuta sulla retta che unisce i due rivelatori?
3. c) I tumori consumano più glucosio del tessuto sano: motiva perché la PET permette di localizzarli.

I quark hanno cariche elettriche frazionarie: il quark up ha $+\frac{2}{3}$ della carica del protone e il quark down, $-\frac{1}{3}$. Il protone è formato da due quark up e uno down (uud), e il neutrone da uno up e due down (udd). La figura riassume questa composizione.

1. a) Verifica, sommando le cariche dei loro quark, che il protone ha carica $+1$ e il neutrone carica $0$.
2. b) Quale combinazione di tre quark up o down darebbe una particella di carica $-1$?
3. c) E una di carica $+2$? Giustifica entrambe le risposte con la somma di frazioni.

Il livello $n = 1$ ha un unico sottolivello s; il livello $n = 2$ ha un sottolivello s e un sottolivello p.

1. a) Quanti elettroni possono stare al massimo nel livello $n = 1$? E nel livello $n = 2$?
2. b) La prima riga della tavola periodica ha $2$ elementi e la seconda, $8$: metti in relazione questi numeri con i risultati del punto precedente.

La massa atomica media del boro è $10,8\ \text{u}$ e i suoi due isotopi naturali sono il boro-10 e il boro-11.

1. a) Chiama $x$ la frazione di boro-10 e imposta l'equazione che soddisfa la media ponderata: $10\cdot x + 11\cdot(1 - x) = 10,8$.
2. b) Risolvila ed esprimi le abbondanze di ciascun isotopo in percentuale.
3. c) Verifica il risultato calcolando di nuovo la massa media con queste abbondanze.

Il magnesio naturale ha tre isotopi: magnesio-24 ($78,7\ \%$), magnesio-25 ($10,1\ \%$) e magnesio-26 ($11,2\ \%$).

1. a) Calcola la massa atomica media del magnesio come media ponderata.
2. b) Spiega perché il risultato è molto più vicino a $24$ che a $26$.
3. c) Potrebbe la massa media di un elemento coincidere esattamente con un numero intero? Motiva in quale caso accadrebbe.

Considera queste tre specie: $\text{F}^{-}$ ($Z = 9$), $\text{Ne}$ ($Z = 10$) e $\text{Na}^{+}$ ($Z = 11$).

1. a) Calcola il numero di elettroni di ciascuna.
2. b) Sono lo stesso elemento? Sono isotopi tra loro? Giustifica entrambe le risposte.
3. c) Scrivi la configurazione elettronica comune delle tre specie con l'ordine $1s$, $2s$, $2p$ e spiega perché si dice che sono isoelettroniche.

Calcola i protoni, i neutroni e gli elettroni di ciascuna di queste specie e rispondi poi:

1. a) ${}^{40}_{20}\text{Ca}^{2+}$
2. b) ${}^{37}_{17}\text{Cl}^{-}$
3. c) ${}^{35}_{17}\text{Cl}$

1. d) Quali di esse sono isotopi tra loro? Perché?
2. e) Quali hanno lo stesso numero di elettroni?

L'ordine di riempimento dei sottolivelli è $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$, $4s$ (nota: dopo $3p$ si riempie $4s$). Ogni sottolivello s ammette $2$ elettroni e ogni sottolivello p, $6$.

1. a) Scrivi la configurazione elettronica del potassio ($Z = 19$).
2. b) Scrivi la configurazione dello ione solfuro, $\text{S}^{2-}$ ($Z = 16$), e verifica che coincide con quella di un gas nobile: di quale si tratta?
3. c) Il potassio è un metallo che reagisce violentemente con l'acqua: spiega, a partire dalla sua configurazione, perché perde con facilità un elettrone.

I raggi cosmici che arrivano nell'alta atmosfera producono positroni, l'antiparticella dell'elettrone.

1. a) Quando un positrone e un elettrone quasi fermi si annichilano, escono due fotoni in direzioni opposte. Spiega, con l'idea della conservazione della quantità di moto (se il sistema era quasi fermo, la sua quantità di moto totale era zero), perché non può uscire un solo fotone.
2. b) Motiva perché non troviamo antimateria stabile nel nostro ambiente quotidiano.
3. c) Il Large Hadron Collider (LHC) produce antiparticelle e altre particelle nuove in collisioni molto energetiche: perché serve tanta energia per creare particelle massive? Pensa all'equivalenza tra massa ed energia, $E = m\cdot c^{2}$.

In uno stesso orbitale possono stare al massimo $2$ elettroni e, secondo il principio di esclusione di Pauli, devono differenziarsi per lo spin: uno con spin $+\frac{1}{2}$ e l'altro con spin $-\frac{1}{2}$ (puoi immaginarlo come due versi di rotazione su sé stessi).

1. a) Con questa regola, quanti elettroni ammette al massimo un sottolivello p, che ha $3$ orbitali?
2. b) Quanti elettroni possono stare in totale nel livello $n = 2$, che ha un sottolivello s e un sottolivello p?
3. c) Uno studente scrive: «L'orbitale $2p$ è la traiettoria chiusa percorsa dagli elettroni del secondo livello». Correggi la frase usando ciò che sai del modello quantistico.

Il rame dei cavi elettrici è un miscuglio di due isotopi, rame-63 e rame-65, con massa media $63,5\ \text{u}$.

1. a) Senza fare calcoli, motiva quale dei due isotopi è più abbondante.
2. b) Imposta l'equazione della media ponderata e calcola le abbondanze percentuali di entrambi gli isotopi.
3. c) In medicina nucleare si usa a volte il rame-64, prodotto artificialmente. È ancora rame? Spiega che cosa decide che un atomo sia di rame e non di un altro elemento.

Sfida del tema. Come facciamo a sapere che cosa c'è dentro la materia se non possiamo vedere un atomo? Indaga la scala atomica e il passaggio dal modello di Thomson a quello quantistico mediante un'esperienza casalinga.

1. Misura sperimentale: Taglia 5 quadrati di carta di alluminio di lati crescenti ($L = 5,0\text{ cm}$; $8,0\text{ cm}$; $10,0\text{ cm}$; $12,0\text{ cm}$; $15,0\text{ cm}$), con un'incertezza di $\pm 0,1\text{ cm}$. Misura la massa di ciascuno con una bilancia di precisione ($\pm 0,01\text{ g}$).

2. Trattamento dei dati: Costruisci una tabella con area ($A = L^2$), massa ($m$) e le incertezze associate. Rappresenta il grafico $m$ in funzione di $A$. A partire dalla pendenza e dalla densità dell'alluminio ($2,70\text{ g/cm}^3$), calcola lo spessore della lamina e stima quanti atomi impilati contiene ($d \approx 0,28\text{ nm}$).

3. Proposta argomentata: Redigi una breve relazione: spiega perché le particelle $\alpha$ di Rutherford attraversavano quasi tutte lamine simili con deviazioni minime mentre poche venivano deviate fortemente o rimbalzavano, e perché queste grandi deviazioni confutarono il modello di Thomson, e giustifica come il modello quantistico attuale descriva quel volume atomico mediante orbitali e probabilità elettronica.

Verranno valutati:

• Rigore nella raccolta delle misure, tabella con incertezze e grafico lineare.

• Correttezza nel calcolo dello spessore e nella stima degli strati atomici.

• Coerenza scientifica nel confronto tra i modelli classici e il modello quantistico.