Esercizi: Espressioni algebriche

In un negozio di app per cellulari, il costo di un abbonamento mensile a un servizio musicale è di $x$ euro. Inoltre, c'è una commissione fissa di $1,50$ € per spese di gestione su ogni ricevuta (viene emessa una ricevuta per persona e per mese). Esprimi in linguaggio algebrico:

1. a) Il costo totale di un mese di abbonamento.
2. b) Il costo di tre mesi di abbonamento per uno stesso utente.
3. c) Il costo dell'abbonamento di un mese per un gruppo di 4 amici se a ciascuno viene applicato uno sconto di $2$ € sul prezzo base $x$.

Copia e completa la seguente tabella identificando gli elementi di ciascun monomio dato:

Monomio	Coefficiente	Parte letterale	Grado
$-5x^2y$
$\frac{3}{4}ab^3$
$x^2yz^2$
$-12$

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche per i valori delle variabili indicati:

1. a) $3x^2 - 5x + 2$ per $x = 2$
2. b) $2(a + b)^2$ per $a = -1$ e $b = 3$
3. c) $\frac{x + 2y}{2}$ per $x = 4$ e $y = -3$

Riduci le seguenti espressioni algebriche sommando o sottraendo i monomi simili:

1. a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$
2. b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$
3. c) $x + \frac{1}{2}x + 3x$

Un architetto sta progettando una stanza rettangolare. La lunghezza della stanza misura $5$ metri in più della larghezza. Se chiamiamo $x$ la larghezza della stanza:

1. a) Scrivi un'espressione algebrica che rappresenti il perimetro della stanza.
2. b) Scrivi un'espressione algebrica che rappresenti l'area della stanza.

Dato il polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, rispondi alle seguenti domande:

1. a) Qual è il grado del polinomio?
2. b) Qual è il coefficiente del termine di grado 2?
3. c) Qual è il termine noto?
4. d) Ordina il polinomio in modo crescente (dal grado minore al maggiore).

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni di polinomi:

1. a) $(3x^2 - 5x + 4) + (2x^2 + x - 6)$
2. b) $(x^3 - 2x^2 + 3) - (x^2 - 5x + 1)$
3. c) $(-4x^4 + 2x^2) + (4x^4 - x^2 + x)$

Osserva la seguente figura formata da un quadrato di lato $x$ e da un rettangolo adiacente di base $3$ e altezza $x$.

1. a) Scrivi il polinomio che rappresenta l'area totale della figura.
2. b) Se il lato $x$ vale $4$ cm, qual è l'area totale della figura?

Mario sta svolgendo un compito sui polinomi e deve semplificare la seguente espressione riducendo i termini simili:

$$P(x) = 4x^3 - 7x^2 + 2x^3 + 5$$

Sul quaderno scrive il seguente procedimento:

$$P(x) = (4 - 7 + 2)x^{3+2+3} + 5 = -1x^8 + 5 = -x^8 + 5$$

e conclude affermando che il risultato finale è un binomio di grado $8$.

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Mario nella sua risoluzione.
2. b) Correggi l'esercizio sul quaderno svolgendo i passaggi in modo corretto. Qual è il polinomio ridotto che ne risulta, il suo grado e il suo termine noto?

Progetta e scrivi in ciascun caso un'espressione algebrica che soddisfi rigorosamente tutte le condizioni richieste:

1. a) Un monomio in cui compaiano due variabili distinte, $x$ e $y$, il cui coefficiente sia un numero frazionario negativo e il cui grado totale sia uguale a $5$.
2. b) Un polinomio di grado $3$ nell'indeterminata $x$, ordinato dal grado maggiore al minore, con tre termini, il cui coefficiente principale sia $4$, il cui termine noto sia $-6$ e che abbia come radice $x = 1$ (ricorda che un numero $a$ è radice di un polinomio se il suo valore numerico è $0$, cioè $P(a) = 0$). Giustifica passo dopo passo come ricavi il termine intermedio mancante.

Osserva la seguente figura composta da due rettangoli uniti. Le lunghezze sono date in funzione di una variabile indeterminata $x$.

Il tuo compito consiste nel:

1. Trovare l'espressione algebrica semplificata (polinomio) che rappresenta il perimetro totale della figura.

2. Trovare l'espressione algebrica semplificata (polinomio) che rappresenta l'area totale della figura.

Un'azienda di noleggio di monopattini elettrici utilizza la seguente espressione algebrica per calcolare il costo in centesimi del noleggio in funzione dei minuti di utilizzo ($x$):

$$ C(x) = 2x^2 - 5x + 150 $$

Nota: questa formula è un modello promozionale per utenti VIP ed è valida per tragitti brevi.

1. Calcola il valore numerico del costo se utilizzi il monopattino per 10 minuti.

2. Se un utente ha pagato esattamente 150 centesimi, per quanti minuti ha teoricamente usato il monopattino secondo la formula? (Suggerimento: osserva il termine noto e trova tutte le soluzioni possibili).

3. Sviluppa l'espressione del costo per un tempo di $(x + 3)$ minuti, cioè calcola e semplifica $C(x+3)$.

Considera i seguenti polinomi che rappresentano le dimensioni e le proprietà di diversi solidi geometrici:

$$ P(x) = 3x^2 - 5x + 1 $$ $$ Q(x) = 2x^2 + 4x - 2 $$ $$ R(x) = x - 3 $$

Esegui le seguenti operazioni combinate e semplifica il risultato finale:

1. Calcola la differenza: $P(x) - Q(x)$.

2. Calcola il prodotto: $Q(x) \cdot R(x)$.

3. Calcola: $2 \cdot P(x) - 3 \cdot Q(x)$.

Utilizzando i prodotti notevoli (quadrato di un binomio, differenza di quadrati), sviluppa o scomponi in fattori le seguenti espressioni algebriche a seconda dei casi. Collega il punto 2 all'interpretazione geometrica mostrata nell'immagine.

1. Sviluppa: $(3x + 2)^2$

2. Sviluppa: $(x - 4)^2$

3. Sviluppa: $(2x + 5)(2x - 5)$

4. Scomponi in fattori il polinomio (scrivilo come quadrato di un binomio): $x^2 + 10x + 25$

Vogliamo verificare se certi valori sono "radici" di un polinomio. Ricorda che una radice è un valore che annulla il polinomio.

Dato il polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$:

1. Utilizza la regola di Ruffini per dividere $P(x)$ per $(x - 1)$. Qual è il resto? $x=1$ è una radice del polinomio?

2. Senza usare Ruffini, calcola il valore numerico $P(-2)$. $x=-2$ è una radice?

3. Scrivi il polinomio $P(x)$ come prodotto dei suoi fattori irriducibili, conoscendo le sue radici.

Abbiamo una scatola di cartone a forma di parallelepipedo rettangolo il cui volume è dato dall'espressione algebrica:

$$ V(x) = x^3 + 4x^2 + 3x $$

1. Raccogli a fattor comune nell'espressione del volume.

2. Scomponi completamente in fattori il polinomio ottenuto per trovare le espressioni algebriche che corrispondono a lunghezza, larghezza e altezza della scatola.

3. Se sappiamo che $x = 5$ cm, quali sono le dimensioni numeriche reali della scatola?

Trova il valore della costante $k$ nei seguenti casi, applicando il teorema del resto:

1. Affinché la divisione del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + kx - 2$ per $(x+2)$ sia esatta (cioè il resto sia 0).

2. Affinché il resto della divisione di $Q(x) = 2x^2 + kx + 5$ per $(x-1)$ sia uguale a 4.

Semplificazione di frazioni algebriche. Ricorda che per semplificare devi prima scomporre in fattori sia il numeratore sia il denominatore, usando i prodotti notevoli o il raccoglimento a fattor comune.

Semplifica le seguenti frazioni algebriche:

1. $$ \frac{4x^2 - 9}{2x + 3} $$
2. $$ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} $$
3. $$ \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 + 4x + 4} $$

In una città italiana, l'azienda pubblica municipale di trasporto offre due opzioni per spostarsi in autobus durante un mese:

• Opzione A (Biglietto singolo): ogni biglietto costa $1,40$ €.

• Opzione B (Abbonamento mensile ricaricabile): si paga una quota fissa di mantenimento di $12,50$ € al mese, e ogni viaggio effettuato ha un costo ridotto di $0,60$ €.

1. a) Scrivi il polinomio $A(x)$ che rappresenta il costo mensile di $x$ viaggi con l'Opzione A, e il polinomio $B(x)$ che rappresenta il costo mensile di $x$ viaggi con l'Opzione B.
2. b) Definisci e riduci il polinomio $D(x) = A(x) - B(x)$, che rappresenta il risparmio che si ottiene scegliendo l'abbonamento mensile al posto dei biglietti singoli.
3. c) Se una studentessa stima di effettuare esattamente $20$ viaggi nel corso del mese, calcola il valore numerico $D(20)$ e interpreta il risultato ottenuto nel contesto del problema: quale opzione le conviene di più e perché? Da quanti viaggi in poi l'abbonamento mensile diventa conveniente?

In una stazione meteorologica di montagna si modellizza la temperatura $T$ (in gradi Celsius) durante una giornata invernale mediante il seguente polinomio:

$$T(h) = -0,2h^2 + 2,4h - 3$$

dove $h$ rappresenta il numero di ore trascorse dalle 08:00 del mattino ($h = 0$ corrisponde alle 08:00, $h = 4$ corrisponde alle 12:00, ecc.).

1. a) Osserva i coefficienti del polinomio prima di operare. Sapendo che alle 08:00 ($h = 0$) la temperatura era di $-3$ °C, fai una stima ragionata per stabilire se alle 12:00 ($h = 4$) la temperatura avrà superato o meno i $0$ °C.
2. b) Calcola ora il valore numerico esatto $T(4)$ e confronta il risultato con la tua stima precedente.
3. c) Un osservatore inesperto afferma che alle $18:00$ ($h = 10$) la temperatura raggiungerà i $15$ °C. Senza calcolare ancora il valore esatto, stima se questa affermazione è verosimile tenendo conto del segno del termine quadratico $-0,2h^2$ per valori crescenti di $h$. Poi calcola $T(10)$ e verifica se l'affermazione era corretta.

In uno studio di architettura stanno progettando una nuova piazza rettangolare per una scuola. Il progetto prevede una zona a giardino centrale rettangolare circondata da un camminamento pavimentato di larghezza uniforme.

Sappiamo che la zona a giardino interna ha dimensioni di $x$ metri di larghezza e il doppio di lunghezza, cioè $2x$ metri. Il camminamento che circonda il giardino ha una larghezza costante di 3 metri su tutti i lati.

1. Disegna uno schema della situazione.

2. Scrivi l'espressione algebrica ridotta che rappresenta l'area totale della piazza (giardino più camminamento).

3. Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta l'area del camminamento pavimentato (la zona grigia nel disegno).

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Abbiamo un polinomio $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12$. Sappiamo che dividendo questo polinomio per il binomio $(x + 2)$, il resto ottenuto è 40.

Utilizzando il teorema del resto (senza eseguire la divisione lunga né Ruffini completo), determina il valore di $k$. Una volta trovato il valore di $k$, verifica se $x=2$ è una radice del polinomio risultante.

Un'azienda di spedizioni vuole fabbricare scatole senza coperchio a partire da fogli rettangolari di cartone di 40 cm di lunghezza per 30 cm di larghezza. Per farlo, si ritagliano quattro quadrati uguali di lato $x$ negli angoli e si piegano verso l'alto le alette risultanti.

1. Scrivi il polinomio che esprime il volume della scatola in funzione di $x$.

2. Determina il volume della scatola se ritagliamo quadrati di 5 cm di lato.

3. Avrebbe senso fisico ritagliare quadrati di 16 cm di lato? Motiva la tua risposta basandoti sulle dimensioni del foglio.

Osserva la seguente sequenza di figure formate da punti.

• Figura 1: ha 3 punti (a formare un triangolo).

• Figura 2: ha 6 punti.

• Figura 3: ha 10 punti.

• Disegna la Figura 4 seguendo lo schema di crescita.

• Trova un'espressione algebrica (polinomio) in funzione di $n$ che permetta di calcolare il numero totale di punti della Figura n. Suggerimento: collega questi numeri all'area di un rettangolo di lati $n+1$ e $n+2$.

• Utilizza la tua espressione per calcolare quanti punti avrebbe la Figura 20.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Analizza i seguenti prodotti notevoli incompleti. Il tuo compito consiste nel trovare il valore dei termini mancanti (rappresentati da spazi vuoti) e scrivere l'identità completa.

1. $( \dots + 3y)^2 = 4x^2 + \dots + 9y^2$

2. $(5x - \dots)^2 = \dots - 20x + 4$

3. $(3x + \dots) \cdot (3x - \dots) = 9x^2 - 16$

Spiega brevemente quale formula hai utilizzato in ciascun caso (quadrato di un binomio somma, quadrato di un binomio differenza o somma per differenza).

L'area di un rettangolo è data dal polinomio $A(x) = 2x^2 + 7x + 3$.

1. Scomponi in fattori il polinomio $A(x)$ per trovare le espressioni algebriche che corrispondono alla base e all'altezza del rettangolo, sapendo che entrambe le espressioni sono binomi a coefficienti interi.

2. Se sappiamo che il valore di $x$ è tale che $x > 0$, calcola quanto varrebbe il perimetro del rettangolo in funzione di $x$. Semplifica al massimo l'espressione ottenuta.

Vogliamo dimostrare algebricamente una curiosità matematica sui numeri dispari.

Sappiamo che qualsiasi numero dispari si può scrivere nella forma $2n + 1$ (con $n$ numero intero) e il dispari consecutivo sarebbe $2n + 3$.

1. Scrivi l'espressione algebrica della differenza dei quadrati di due numeri dispari consecutivi: $(2n+3)^2 - (2n+1)^2$.

2. Sviluppa e semplifica al massimo tale espressione.

3. Basandoti sul risultato semplificato, ragiona: è vero che la differenza dei quadrati di due numeri dispari consecutivi è sempre un multiplo di 8?

Si vuole costruire un pezzo metallico a forma di corona circolare (un anello piatto).

Il raggio esterno dell'anello è $R$ e il raggio del foro interno è $r$.

1. Scrivi l'espressione algebrica dell'area del pezzo ($A$) utilizzando $\pi$, $R$ e $r$.

2. Sapendo che il raggio esterno è $x + 3$ e il raggio interno è $x - 3$:

   a) Sostituisci questi valori nella formula dell'area.

   b) Utilizza i prodotti notevoli per semplificare l'espressione dell'area. Il risultato finale deve essere un monomio o un polinomio molto semplice moltiplicato per $\pi$.

Si vuole trovare il valore numerico dell'espressione algebrica:

$$E(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5) - (2x^2 - x) \cdot (x + 4)$$

per il valore $x = -2$.

Due studenti discutono su quale sia la strategia migliore per calcolarlo:

• Marco propone il Metodo 1: sostituire direttamente $x = -2$ in ciascuno dei fattori dell'espressione originale ed eseguire le operazioni aritmetiche rispettando la precedenza.

• Sara propone il Metodo 2: moltiplicare prima i polinomi, raggruppare e ridurre tutti i termini simili fino a ottenere l'espressione nella sua forma normale più semplice, e poi sostituire $x = -2$.

1. a) Applica il Metodo 1 di Marco, indicando ciascuna delle operazioni intermedie.
2. b) Applica il Metodo 2 di Sara, sviluppando e riducendo prima l'espressione algebrica e calcolando poi il valore numerico per verificare che coincida con il precedente.
3. c) Confronta i due percorsi valutando il rischio di errore in ciascuno. Se ora ti chiedessero di calcolare il valore della stessa espressione per quattro valori diversi ($x = 0$, $x = 1$, $x = 2$ e $x = 3$), quale dei due metodi sceglieresti e perché? Giustifica la tua risposta.

Considera la famiglia di polinomi data dall'espressione:

$$P(x) = 2x^3 + kx^2 - 8x - 12$$

dove $k$ è un numero reale costante che non conosciamo.

1. a) Sapendo che $x = -2$ è una radice di $P(x)$, calcola in modo giustificato il valore esatto del coefficiente $k$.
2. b) Una volta fissato tale valore di $k$, verifica in modo ragionato, calcolando il valore numerico, se $x = 3$ e $x = 1$ sono anch'essi radici del polinomio.
3. c) Un compagno di classe afferma: «Poiché $P(x)$ ha grado $3$, possiamo sicuramente trovare quattro numeri reali distinti che annullano il polinomio». Argomenta perché questa affermazione è matematicamente falsa, basandoti sulla relazione tra il grado di un polinomio e il suo numero massimo di radici.
4. d) Costruisci un polinomio $Q(x)$ di grado $2$ che abbia come uniche radici i valori $x = -2$ e $x = 3$, e il cui coefficiente principale sia $-5$. Presenta il risultato ordinato e ridotto.