Esercizi: Numeri razionali

Osserva la seguente rappresentazione grafica di una frazione. Il tuo compito è:

1. Scrivere la frazione irriducibile che rappresenta la parte colorata di arancione rispetto all'intero cerchio.

2. Indicare se la frazione $\frac{9}{24}$ è equivalente a quella rappresentata nell'immagine. Giustifica la tua risposta semplificando entrambe le frazioni.

Tre amici stanno partecipando a una corsa a ostacoli di 100 metri. In un dato momento, le loro posizioni sono le seguenti:

• Anna ha percorso $\frac{2}{5}$ del totale.

• Beto ha percorso $\frac{3}{4}$ del totale.

• Carla ha percorso $\frac{7}{10}$ del totale.

• Calcola quanti metri ha percorso esattamente ciascuno.

• Ordina le frazioni dalla minore alla maggiore utilizzando il simbolo $<$.

• Colloca approssimativamente la posizione di Anna (A), Beto (B) e Carla (C) sulla retta numerica mostrata qui sotto.

Classifica i seguenti numeri decimali in limitati, periodici semplici o periodici misti. Poi esprimi quelli limitati sotto forma di frazione irriducibile.

1. a) $3,25$
2. b) $7,1111\dots$
3. c) $0,25$
4. d) $5,0424242\dots$

In un videogioco di strategia, la mappa è divisa in diverse zone a seconda del terreno.

La mappa totale occupa 1200 pixel quadrati.

• Il bosco occupa $\frac{1}{3}$ della mappa.

• L'acqua occupa $\frac{1}{4}$ della mappa.

• Il resto è deserto.

• Quanti pixel quadrati occupa il bosco?

• Quanti pixel quadrati occupa l'acqua?

• Calcola quale frazione irriducibile della mappa rappresenta il deserto.

Esegui le seguenti operazioni con le frazioni. Ricorda che per sommare o sottrarre devi prima ottenere il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. Esprimi il risultato sotto forma di frazione irriducibile.

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

1. b) $\frac{4}{5} - \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$

La memoria del tuo telefono cellulare è suddivisa nel modo seguente:

• Le foto occupano $\frac{2}{5}$ dello spazio.

• Le app occupano $\frac{1}{3}$ dello spazio.

• Quale frazione del totale occupano insieme le foto e le app?

• Se il resto dello spazio è libero, quale frazione rappresenta lo spazio libero?

• Se la capacità totale del telefono è di 60 GB, quanti GB restano liberi?

Calcola i seguenti prodotti e divisioni di frazioni. Ricorda di semplificare il risultato finale, se possibile.

1. a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$

1. b) $\frac{2}{5} : \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{5}{6} \cdot (-2)$

Nota: Ricorda la regola dei segni e che un numero intero ha denominatore 1.

Marta ha comprato una grande pizza rettangolare per cena. Aprendo la scatola, vede che la pizza è tagliata in 24 pezzi uguali.

• Marta mangia 4 pezzi.

• Suo fratello Luigi mangia 6 pezzi.

• I suoi genitori mangiano 8 pezzi in due.

• Scrivi la frazione di pizza che ha mangiato ciascuno (Marta, Luigi e i genitori). Semplificale il più possibile.

• Quale frazione della pizza è avanzata? Esprimi il risultato come frazione irriducibile.

Marco sta risolvendo in classe un esercizio sulle potenze e commette un errore molto comune. Sul suo quaderno compare scritto quanto segue:

$$\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = -\left(\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$$

La sua compagna Lucia lo avverte che il risultato finale è sbagliato perché ha applicato in modo scorretto il significato dell'esponente negativo e il trattamento del segno della base.

1. Spiega con ragionamento quali due errori concettuali ha commesso Marco nel suo svolgimento.

2. Scrivi lo svolgimento corretto passo dopo passo, applicando le proprietà delle potenze di numeri razionali, e indica la frazione irriducibile che ne risulta.

Prima di calcolare esattamente il valore della seguente espressione:

$$E = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2$$

1. Stima: Senza eseguire lunghe operazioni numeriche sulla carta, rifletti e rispondi in modo giustificato:

2. La base $\left(1 - \frac{2}{3}\right)$ è un numero minore o maggiore di $1$? Elevandola al cubo, il risultato diventa più grande o più vicino a zero?

3. La base $\frac{5}{2}$ è maggiore o minore di $2$? Quanto vale approssimativamente il suo quadrato?

4. Con queste due deduzioni, stima se il valore finale di $E$ sarà minore di $1$, sarà compreso tra $1$ e $2$, oppure sarà maggiore di $2$.

5. Verifica: Esegui ora il calcolo esatto di $E$ rispettando la priorità delle operazioni, ottieni la frazione irriducibile e calcola il suo valore decimale arrotondato a due cifre per verificare se la tua stima iniziale era corretta.

Calcola il valore della seguente operazione combinata, rispettando la priorità delle operazioni (parentesi, potenze, moltiplicazioni/divisioni, addizioni/sottrazioni). Devi semplificare il risultato finale fino a ottenere la frazione irriducibile.

$$ \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 : \frac{5}{8} - \left( 1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \right) $$

Il tuo telefono cellulare ha una capacità di memoria totale sconosciuta. Il sistema operativo occupa $\frac{1}{6}$ della memoria totale. Di ciò che resta libero, le tue app e i tuoi giochi occupano $\frac{3}{5}$. Se alla fine ti restano liberi 32 GB per le foto e i video:

1. a) Quale frazione del totale rappresenta la memoria libera per le foto?
2. b) Qual è la capacità totale di memoria del telefono in GB?

Aiutati con il seguente schema grafico per visualizzare il problema:

Classifica i seguenti numeri decimali (limitato, periodico semplice o periodico misto) e trova la loro frazione generatrice. Una volta ottenute le frazioni, esegui la seguente operazione e semplifica il risultato:

$$ 1,2\widehat{5} - 0,\widehat{6} $$

Nel laboratorio di Fisica abbiamo misurato la lunghezza di un tavolo e lo spessore di una moneta. I risultati sono stati:

• Lunghezza del tavolo: valore reale $120 \text{ cm}$, valore misurato $118 \text{ cm}$.

• Spessore della moneta: valore reale $2 \text{ mm}$, valore misurato $2,5 \text{ mm}$.

Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo (in percentuale) di ciascuna misurazione. Quale delle due misurazioni è stata più precisa? Giustifica la tua risposta basandoti sull'errore relativo.

Rappresenta sulla retta numerica i numeri razionali $\frac{7}{4}$ e $-\frac{2}{3}$.

Per farlo, utilizza il teorema di Talete o la divisione di segmenti per collocare i punti in modo esatto, non approssimato.

Disegna sul tuo quaderno una retta come la seguente, con i numeri interi segnati (conviene che l'unità sia grande, per esempio 6 cm), e realizza su di essa la tua costruzione:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Tre amici comprano un regalo di compleanno che costa 60 €.

• Giulia contribuisce con $\frac{1}{3}$ del prezzo totale.

• Berto contribuisce con $\frac{2}{5}$ del prezzo totale.

• Carla paga il resto.

1. a) Quale frazione del totale paga Carla?
2. b) Quanti euro mette ciascuno?

Si lascia cadere una palla di gomma da un'altezza di 27 metri. A ogni rimbalzo, la palla sale a un'altezza pari a $\frac{2}{3}$ dell'altezza precedente.

1. a) Scrivi la frazione e l'altezza in metri che raggiunge dopo il primo rimbalzo.
2. b) Scrivi la frazione e l'altezza in metri che raggiunge dopo il secondo rimbalzo.
3. c) A quale altezza salirà dopo il terzo rimbalzo?

Disponiamo di una cisterna di olio con una capacità di 120 litri.

Vogliamo imbottigliare tutto l'olio in due tipi di contenitori:

• Riempiamo 40 bottiglie da $\frac{3}{4}$ di litro ciascuna.

• Il resto dell'olio lo mettiamo in taniche da $1,5$ litri.

Quante taniche da 1,5 litri ci serviranno per imbottigliare l'olio rimanente?

Nota: Ricorda che 1,5 litri si può esprimere come la frazione $\frac{3}{2}$.

In una verifica di terza media viene chiesto di semplificare il più possibile la seguente operazione combinata con potenze:

$$A = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right)^{-2}}{\left(\frac{8}{27}\right)^{-1}}$$

Due alunni propongono strade diverse per arrivare alla frazione irriducibile:

• Metodo di Sergio: Sviluppare direttamente i numeri naturali (elevare $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, invertire $(-4/9)$ a $(-9/4)^2 = 81/16$, ecc.), moltiplicare le frazioni ottenute e infine semplificare dividendo per il massimo comune divisore.

• Metodo di Irene: Scomporre tutti i numeri che compaiono in fattori primi ($4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $8 = 2^3$, $27 = 3^3$), esprimere ogni potenza con basi $2$ e $3$, gestire i segni delle basi e operare sommando o sottraendo gli esponenti mediante le proprietà delle potenze.

• Risolvi l'espressione utilizzando il metodo di Irene, spiegando ogni passaggio.

• Confronta i due metodi e giustifica perché quello di Irene è molto più conveniente e sicuro di quello di Sergio quando si lavora con numeri razionali e potenze con esponenti elevati.

A causa di un lungo periodo senza precipitazioni nel sud Italia, i tecnici del Ministero dell'Ambiente analizzano la riserva d'acqua di un bacino che ha una capacità massima di $160\text{ hm}^3$. All'inizio di giugno, il bacino si trova a $\frac{3}{4}$ della sua capacità totale.

Durante i mesi di giugno, luglio e agosto, l'acqua non riceve apporti di pioggia e, a causa dell'irrigazione e dell'evaporazione, il volume trattenuto alla fine di ogni mese diventa esattamente i $\frac{4}{5}$ del volume che c'era alla fine del mese precedente.

1. Modella la situazione scrivendo un'unica espressione matematica con potenze di frazioni che rappresenti la frazione della capacità massima totale del bacino che rimane al termine dei tre mesi.

2. Le normative di bacino obbligano ad attivare un protocollo di emergenza se le riserve scendono sotto i $65\text{ hm}^3$. Calcola il volume esatto di acqua disponibile alla fine di agosto (sotto forma di frazione irriducibile e in valore decimale con la virgola) e determina in modo giustificato se è necessario attivare tale protocollo.

Calcola il valore esatto della seguente espressione combinata. Per farlo, devi convertire prima tutti i numeri decimali nella loro frazione generatrice irriducibile e semplificare ogni passaggio prima di operare. Fai attenzione alla priorità delle operazioni e ai segni negativi.

$$ \frac{2^{-2} - \left( 1,1\widehat{6} - \frac{5}{6} \right)^{-1} \cdot \sqrt{\frac{16}{81}}}{0,\widehat{3} \cdot \left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + 2,5} $$

Nota: Ricorda che $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Un gruppo di studenti di terza media sta organizzando il finanziamento per la gita di fine anno. Hanno ideato un piano di raccolta fondi a tappe:

1. Nella prima tappa (vendita di lotteria), sono riusciti a raccogliere $\frac{2}{5}$ del costo totale del viaggio.

2. Nella seconda tappa (torneo di e-sports), hanno raccolto $\frac{3}{4}$ di ciò che mancava dopo la prima tappa.

3. Nella terza tappa (mercatino solidale), hanno ottenuto $\frac{2}{3}$ del nuovo resto che rimaneva.

Se dopo queste tre tappe mancano ancora 150 € per coprire il costo totale:

1. a) Quale frazione del totale rappresenta quanto raccolto nella terza tappa?
2. b) Qual è il costo totale del viaggio?
3. c) Quanti soldi hanno raccolto nel torneo di e-sports?

Aiutati con il seguente diagramma a barre per visualizzare le frazioni del resto:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due stampanti 3D stanno lavorando per stampare i pezzi di un progetto di tecnologia.

• La stampante modello A (più vecchia) impiegherebbe 6 ore a stampare tutti i pezzi da sola.

• La stampante modello B (di ultima generazione) impiegherebbe solo 4 ore a svolgere da sola lo stesso lavoro completo.

Per accelerare il processo, vengono fatte funzionare entrambe contemporaneamente. Tuttavia, dopo un'ora e mezza di funzionamento insieme, la stampante B si guasta e si ferma.

1. a) Quale frazione del lavoro totale hanno completato insieme prima del guasto?
2. b) Quale frazione del lavoro resta da fare?
3. c) Quanto tempo in più impiegherà la stampante A a terminare da sola il lavoro rimanente? Esprimi il risultato in ore e minuti.

Abbiamo un pezzo quadrato di materiale conduttore per un circuito. Si eseguono tagli successivi seguendo uno schema geometrico frattale:

1. Il quadrato originale viene diviso in 4 quadrati uguali e si elimina (si colora di nero) il quadrato in alto a sinistra.

2. Dei 3 quadrati verdi rimasti, ciascuno viene nuovamente diviso in 4 quadrati uguali e si elimina quello in alto a sinistra di ognuno.

Osserva la figura ottenuta dopo il secondo passaggio:

1. a) Scrivi l'operazione combinata di frazioni che calcola quale parte dell'area totale è stata eliminata (zone ombreggiate) dopo il secondo passaggio.
2. b) Se il lato del quadrato originale misura $1 \text{ m}$, quanti $\text{cm}^2$ di materiale "bianco" (non eliminato) rimangono dopo il secondo passaggio?

Trova una frazione irriducibile $\frac{a}{b}$ che sia il risultato dell'operazione:

$$ 2,3\widehat{1} - 0,\widehat{5} + \frac{1}{11} \cdot 0,5 $$

Se provi a fare questa operazione convertendo in decimali e operando, otterrai un errore di approssimazione. Dimostra algebricamente, usando le frazioni generatrici, che il risultato è esatto.

Poi calcola l'errore assoluto e l'errore relativo (in %) che si commetterebbe se approssimassimo il numero $2,3\widehat{1}$ semplicemente con $2,31$ prima di cominciare a operare.

Un biologo sta preparando una coltura di batteri e ha bisogno di una temperatura ambiente molto specifica.

Il termostato del laboratorio ha una scala un po' strana, segnata in frazioni di grado.

La temperatura ideale $T$ deve soddisfare la seguente condizione di distanza (valore assoluto):

$$ \left| T - \frac{25}{4} \right| \leq \frac{3}{8} $$

1. a) Rappresenta sulla retta numerica l'insieme di tutti i valori possibili della temperatura $T$ (intervallo).
2. b) Scrivi l'intervallo soluzione usando disuguaglianze e frazioni.
3. c) Sarebbe valida una temperatura di $6,65^\circ \text{C}$? Giustifica la tua risposta operando con le frazioni.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Abbiamo tre serbatoi di succo con capacità diverse:

• Serbatoio A: pieno fino a $\frac{3}{5}$ della sua capacità.

• Serbatoio B: pieno fino a $\frac{5}{6}$ della sua capacità.

• Serbatoio C: vuoto, con una capacità di 100 litri.

Sappiamo che la capacità totale del serbatoio A è $\frac{2}{3}$ della capacità del serbatoio B.

Se versiamo il contenuto attuale di A e di B nel serbatoio C, la miscela occupa esattamente $\frac{11}{20}$ della capacità di C.

Calcola la capacità massima (volume totale) dei serbatoi A e B.

Una palla di gomma molto elastica viene lasciata cadere da un'altezza di 243 cm.

Ogni volta che rimbalza sul suolo, la palla sale a un'altezza pari a $\frac{2}{3}$ dell'altezza da cui era caduta in precedenza.

1. a) Scrivi la sequenza delle altezze (sotto forma di potenze e frazioni) che la palla raggiunge al primo, secondo e terzo rimbalzo.
2. b) A quale altezza salirà dopo il quinto rimbalzo? Esprimi il risultato come frazione irriducibile e poi trasformalo in decimale.
3. c) Quale distanza totale avrà percorso la palla (sommando discese e salite) proprio quando toccherà il suolo per la quarta volta?

Si ha la seguente uguaglianza in cui compare una potenza con esponente intero incognito $x$:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{-2} : \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} = \frac{27}{8}$$

1. Esprimi tutte le potenze e il risultato finale come potenze di un'unica frazione base della forma $\frac{3}{2}$. Applica le proprietà delle potenze con esponente negativo e delle potenze di potenza.

2. Imposta una semplice equazione con gli esponenti e deduci in modo giustificato il valore intero di $x$.

3. Trova ora una frazione irriducibile positiva $\frac{a}{b}$ e un esponente intero strettamente negativo $n < 0$ tali che, moltiplicando $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ per il risultato dell'espressione originale ($\frac{27}{8}$), si ottenga esattamente l'unità ($1$). Giustifica la tua scelta.

Il dipartimento di tecnologia di una scuola acquista un lotto di computer portatili del valore di $9\,600\text{ €}$. Per l'uso intensivo e l'obsolescenza tecnologica, le attrezzature subiscono un ammortamento continuo: ogni anno perdono un terzo del valore contabile che avevano l'anno precedente.

La scuola valuta due opzioni per quando le attrezzature raggiungeranno una certa anzianità:

• Piano di rinnovo a 3 anni ($t = 3$): Vendere il lotto a un'azienda di ricondizionamento per l'esatto valore contabile che avranno in quel momento.

• Piano di rinnovo a 4 anni ($t = 4$): Tenere i computer un anno in più a scuola e venderli a 4 anni per il loro valore contabile a quella data, ma aggiungendo un contributo fisso istituzionale per il riciclo digitale pari a $300\text{ €}$ per l'istituto scolastico.

• Scrivi la formula che esprime il valore contabile $V(t)$ in funzione degli anni trascorsi $t$, utilizzando una potenza di base razionale irriducibile.

• Calcola il valore contabile esatto del lotto dopo $3$ anni e dopo $4$ anni, semplificando le frazioni prima di ottenere l'importo in euro.

• Analizza quale dei due piani porta maggiori ricavi economici alla scuola e calcola la differenza economica esatta tra le due opzioni.