Esercizi: Frazioni e decimali

Osserva la seguente illustrazione che rappresenta il livello di carica della batteria di un telefono cellulare.

1. Scrivi la frazione che rappresenta la parte carica della batteria rispetto al totale.

2. Semplifica tale frazione fino a ottenere la frazione ridotta ai minimi termini.

3. Se la batteria ha una capacità totale di $4000 \text{ mAh}$, quanti mAh di energia restano disponibili?

Indica se le seguenti coppie di frazioni sono equivalenti. Per giustificare la risposta, usa il metodo del prodotto incrociato (moltiplicare in croce) oppure semplifica entrambe le frazioni fino a ottenere quella ridotta ai minimi termini.

1. a) $\frac{3}{5}$ e $\frac{9}{15}$
2. b) $\frac{4}{7}$ e $\frac{10}{21}$
3. c) $\frac{-2}{3}$ e $\frac{8}{-12}$

Rappresenta sulla seguente retta numerica, in modo approssimato, i numeri razionali indicati di seguito.

Numeri da rappresentare:

• $A = \frac{3}{2}$

• $B = -\frac{1}{2}$

• $C = \frac{3}{4}$

• $D = -1,5$

Esegui le seguenti operazioni con le frazioni. Ricorda di semplificare il risultato finale quando possibile e rispetta la priorità delle operazioni (prima le parentesi, poi moltiplicazioni/divisioni e infine addizioni/sottrazioni).

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$
2. b) $\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{2}$
3. c) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$

Classifica i seguenti numeri decimali in decimali finiti, periodici semplici o periodici misti. Poi trasforma i primi due (punti a e b) nella corrispondente frazione generatrice.

1. a) $2,5$
2. b) $1,333...$
3. c) $4,1252525...$
4. d) $0,08$

Un gruppo di amici compra una pizza gigante per cena.

• Anna mangia $\frac{1}{6}$ della pizza.

• Carlo mangia $\frac{2}{6}$ della pizza.

• Beatrice mangia $\frac{1}{3}$ della pizza.

1. a) Quale frazione della pizza hanno mangiato in tutto i tre amici? (Ricorda di ridurre allo stesso denominatore se necessario).
2. b) Quale frazione di pizza è avanzata?

Calcola la frazione ridotta ai minimi termini equivalente a ciascuna delle seguenti percentuali e numeri decimali.

1. a) $25\%$
2. b) $0,75$
3. c) $10\%$
4. d) $1,5$

In una scuola di 500 alunni è stato condotto un sondaggio sugli sport preferiti. I risultati sono i seguenti:

• $\frac{1}{2}$ degli alunni preferisce il calcio.

• $\frac{3}{10}$ degli alunni preferisce la pallacanestro.

• Gli altri alunni preferiscono altri sport.

1. a) Quanti alunni preferiscono il calcio?
2. b) Quanti alunni preferiscono la pallacanestro?
3. c) Quale frazione del totale degli alunni preferisce "altri sport"?

Matteo deve calcolare la frazione generatrice del numero decimale periodico misto $0,3\widehat{8}$ per risolvere un'attività in classe. Sul suo quaderno scrive quanto segue:

$$0,3\widehat{8} = \frac{38}{90} = \frac{19}{45}$$

1. Individua l'errore commesso da Matteo al numeratore e spiega con un ragionamento perché il suo procedimento è sbagliato.

2. Applica la regola corretta (sottraendo al numero senza virgola la parte che non si ripete) per trovare la frazione generatrice e semplificala fino a ottenere la frazione ridotta ai minimi termini.

3. Esegui a mano la divisione del numeratore per il denominatore della frazione ottenuta per verificare che riproduca effettivamente il decimale $0,3888\dots$

Per montare uno scaffale nel laboratorio di Tecnologia, Sofia deve unire due listelli di legno. Il primo listello è lungo $1,\widehat{6}\text{ m}$ e il secondo listello misura esattamente $\frac{9}{4}\text{ m}$.

1. Prima di eseguire calcoli con le frazioni, fai una stima mentale approssimando ciascuna misura a un numero decimale con una sola cifra decimale (decimi) e sommali. Quanto misura approssimativamente l'unione dei due listelli?

2. Trova la frazione generatrice ridotta ai minimi termini di $1,\widehat{6}$ e calcola la somma esatta con la frazione $\frac{9}{4}$, esprimendo il risultato finale come frazione ridotta ai minimi termini.

3. Converti in forma decimale la frazione ridotta ai minimi termini ottenuta e confrontala con la tua stima iniziale. È stata una stima ragionevole? Giustifica a cosa è dovuta la piccola differenza.

Classifica i seguenti numeri nell'insieme numerico più piccolo a cui appartengono ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) e, per quelli che sono decimali (finiti o periodici), trova la loro frazione generatrice semplificata.

1. a) $4,25$
2. b) $-7$
3. c) $3,1\widehat{6}$
4. d) $5,\widehat{27}$
5. e) $-\frac{18}{3}$

Una volta ottenute le frazioni, ordinale dalla minore alla maggiore.

Esegui le seguenti operazioni con le frazioni, rispettando la priorità delle operazioni. Ricorda di semplificare il risultato finale fino a ottenere la frazione ridotta ai minimi termini.

$$ \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right)^{-2} + \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} - 1 \right) - \frac{1}{2} : \frac{3}{4} $$

Saverio ha controllato la memoria del suo cellulare, che ha una capacità totale di $128 \text{ GB}$. Osserva la distribuzione dei suoi dati:

1. Il sistema operativo e le app preinstallate occupano $\frac{1}{8}$ del totale.

2. Le foto e i video delle sue vacanze occupano $\frac{2}{5}$ del resto (ciò che rimane libero dopo aver contato il sistema).

3. I suoi giochi occupano $\frac{1}{4}$ di ciò che rimaneva dopo aver salvato le foto.

Quale frazione del totale rappresenta lo spazio ancora libero? Quanti gigabyte (GB) sono? Aiutati con il seguente schema per visualizzare il problema.

Abbiamo due bilance diverse.

• Bilancia A: viene usata in un laboratorio e, pesando una provetta, indica un valore di $24,5 \text{ g}$. Il valore reale esatto è $\frac{49}{2} \text{ g}$.

• Bilancia B: viene usata in un magazzino e, pesando una scatola, indica un valore di $5,4 \text{ kg}$. Il valore reale esatto è $\frac{16}{3} \text{ kg}$.

Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo commessi in ciascuna misurazione. Quale delle due misurazioni è più precisa? Giustifica la risposta basandoti sull'errore relativo.

Calcola il valore esatto della seguente espressione, convertendo prima tutti i numeri decimali nella loro frazione generatrice. Non usare approssimazioni decimali durante il procedimento.

$$ \frac{1,2 - 0,\widehat{6}}{1 - 0,8\widehat{3}} : 3^{-1} $$

Tre amici, Anna, Beto e Carla, decidono di comprare un regalo di compleanno che costa $120 \text{ €}$.

• Anna contribuisce con $\frac{2}{5}$ del totale.

• Beto contribuisce con $\frac{1}{3}$ del totale.

• Carla paga il resto.

1. a) Quale frazione del totale paga Carla?
2. b) Quanti euro paga ciascuno?
3. c) Se avessero deciso di pagare in parti uguali, quale frazione del totale avrebbe pagato ciascuno e a quanti soldi corrisponderebbe?

Si vuole recintare un terreno rettangolare. Sappiamo che la lunghezza della sua base è $\frac{15}{2}$ metri e la sua altezza misura $\frac{2}{3}$ della misura della base.

1. a) Calcola il perimetro del rettangolo in forma di frazione e in forma decimale.
2. b) Calcola l'area del terreno in metri quadrati ($\text{m}^2$).
3. c) Se il metro di recinzione costa $8,50 \text{ €}$, quanto costerà recintare tutto il terreno?

Un batterio si riproduce dividendosi in due ogni ora. Inizialmente, in una coltura c'è un certo numero di batteri che occupa $\frac{1}{64}$ della capacità totale della piastra di Petri.

1. a) Se ogni ora la popolazione raddoppia, quale frazione della piastra sarà occupata dopo 3 ore? Esprimi il risultato come potenza di base 2.
2. b) Quante ore in totale dovranno passare (dall'inizio) perché la piastra sia completamente piena (cioè la frazione sia 1)?
3. c) Se all'inizio c'erano 500 batteri (corrispondenti a quel $\frac{1}{64}$), quanti batteri ci saranno quando la piastra sarà a metà della sua capacità?

Trova una frazione irriducibile positiva $\frac{n}{d}$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

• Il denominatore $d$ è un numero di una sola cifra ($d < 10$).

• Dividendo $n$ per $d$ si ottiene un numero decimale periodico semplice il cui periodo ha una sola cifra.

• Il valore del numero decimale è compreso strettamente tra $1,5$ e $2$ ($1,5 < \frac{n}{d} < 2$).

• La somma di numeratore e denominatore è uguale a $25$ ($n + d = 25$).

• Giustifica quali cifre non possono in nessun caso essere il denominatore $d$ se vogliamo che il decimale sia periodico semplice.

• Deduci i valori esatti di $n$ e di $d$ scartando con argomenti matematici le opzioni che non soddisfano tutti gli indizi.

• Scrivi la frazione definitiva, verifica che sia irriducibile ed esprimila in forma decimale indicandone il periodo.

Secondo i dati del bollettino idrologico di un bacino idrografico italiano, un invaso ha una capacità massima di $180\text{ hm}^3$. Dopo le ultime piogge, l'acqua accumulata è così distribuita:

• L'acqua destinata al consumo urbano rappresenta il $22,\widehat{2}\%$ della capacità totale dell'invaso.

• L'acqua riservata all'irrigazione agricola equivale esattamente a $\frac{5}{12}$ della capacità totale dell'invaso.

• Il volume restante di acqua accumulata è riservato al deflusso ecologico del fiume.

• Trasforma la percentuale di consumo urbano ($22,\widehat{2}\%$) in una frazione generatrice irriducibile. Ricorda che una percentuale equivale a una frazione con denominatore 100.

• Calcola quanti ettometri cubi ($\text{hm}^3$) di acqua corrispondono esattamente a ciascuno dei tre usi: urbano, agricolo e deflusso ecologico.

• Per evitare sanzioni ambientali, la normativa richiede che il deflusso ecologico accumulato superi la quarta parte del volume totale dell'invaso. In base ai tuoi calcoli, stabilisci in modo giustificato se tale requisito è soddisfatto.

Calcola il valore esatto della seguente espressione, convertendo prima tutti i numeri decimali nella loro frazione generatrice ridotta ai minimi termini e semplificando il risultato passo dopo passo:

$$ \frac{1,1\widehat{6} - \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot 0,1}{2 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}} + \sqrt{0,\widehat{4}} $$

Nota: ricorda di rispettare la priorità delle operazioni e di lavorare con le frazioni durante tutto il procedimento per evitare errori di arrotondamento.

Un server di archiviazione nel cloud ha subito una serie di caricamenti massicci di dati e cancellazioni accidentali durante il fine settimana.

1. Il sabato mattina, il server era pieno per i $\frac{3}{4}$ della sua capacità totale.

2. A mezzogiorno, uno script automatico ha cancellato $\frac{1}{5}$ dei dati che erano memorizzati in quel momento.

3. Nel pomeriggio sono stati caricati nuovi file che hanno occupato $\frac{2}{3}$ della capacità rimasta libera dopo la cancellazione.

Se a fine giornata restavano ancora 120 GB di spazio libero nel disco del server:

a) Quale frazione del totale del disco rappresenta lo spazio libero finale?

b) Qual è la capacità totale di archiviazione del server in GB?

Osserva la seguente figura geometrica che rappresenta un terreno quadrato diviso in diversi appezzamenti coltivati.

Calcola quale frazione dell'area totale del quadrato rappresenta la zona colorata (arancione). Esprimi il risultato come frazione irriducibile.

In un laboratorio di chimica si stanno eseguendo misurazioni di precisione. Due studenti, Alex e Bea, misurano la lunghezza di una fibra microscopica.

• Il valore reale della lunghezza della fibra è $2,345 \cdot 10^{-4}$ metri.

• Alex ottiene una misura di $2,3 \cdot 10^{-4}$ metri.

• Bea ottiene una misura di $2,4 \cdot 10^{-4}$ metri.

Rispondi giustificando le risposte con dei calcoli:

a) Calcola l'errore assoluto commesso da ciascuno studente. Esprimi il risultato in notazione scientifica.

b) Calcola l'errore relativo di ciascuna misura ed esprimilo come percentuale.

c) In base all'errore relativo, quale delle due misurazioni è più precisa e perché?

d) Se tronchiamo il valore reale ai decimillesimi, coincide con l'arrotondamento ai decimillesimi? Spiegalo.

Tre rubinetti ($A$, $B$ e $C$) versano acqua in un serbatoio e uno scarico ($D$) permette di svuotarlo.

• Il rubinetto $A$ riempie il serbatoio in 4 ore se funziona da solo.

• Il rubinetto $B$ riempie il serbatoio in 6 ore se funziona da solo.

• Il rubinetto $C$ riempie il serbatoio in 12 ore se funziona da solo.

• Lo scarico $D$ svuota il serbatoio pieno in 8 ore.

Il serbatoio è inizialmente vuoto. Si aprono contemporaneamente i tre rubinetti ($A$, $B$, $C$) e lo scarico ($D$). Tuttavia, dopo 2 ore di funzionamento, il rubinetto $A$ viene chiuso per un guasto, lasciando in funzione gli altri due e lo scarico.

Calcola il tempo totale (in ore e minuti) che il serbatoio impiegherà a riempirsi completamente dall'inizio.

Trova due numeri razionali e due numeri irrazionali strettamente compresi nell'intervallo:

$$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5} \right) $$

Spiega in dettaglio il procedimento che hai seguito per trovarli e dimostra che appartengono effettivamente a tale intervallo.

Un orafo dispone di due lingotti di una lega di oro e rame.

• Il primo lingotto ha una purezza tale che ogni 5 parti di oro ci sono 2 di rame.

• Il secondo lingotto è di qualità inferiore, con 3 parti di oro ogni 4 parti di rame.

L'orafo fonde una certa quantità del primo lingotto con una certa quantità del secondo per ottenere un nuovo lingotto di 420 grammi. Se vuole che la frazione finale di oro nel nuovo lingotto sia esattamente $\frac{2}{3}$ del peso totale:

Quanti grammi deve tagliare e fondere da ciascuno dei due lingotti originali?

Sia $x$ un numero decimale periodico misto la cui parte intera è 0.

Sapendo che:

• Il suo antiperiodo ha 2 cifre.

• Il suo periodo ha 1 cifra.

• La frazione generatrice irriducibile di tale numero ha come denominatore 900.

• Il numero soddisfa che: $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$

Trova tutti i possibili valori di $x$ ed esprimili come frazione e come numero decimale.

In una verifica si chiede di calcolare il valore esatto della seguente operazione combinata:

$$M = \frac{0,\widehat{7} - 0,4\widehat{6}}{0,\widehat{3}}$$

Tre studenti di terza media propongono strade diverse:

• Ugo arrotonda in anticipo ogni decimale ai centesimi ($0,78$; $0,47$ e $0,33$) e opera con la calcolatrice.

• Elena afferma che si possono sottrarre direttamente i periodi al numeratore e poi dividere i numeri decimali risultanti.

• Davide converte ogni termine nella sua frazione generatrice irriducibile e opera con le frazioni passo dopo passo.

• Applica il metodo di Ugo e calcola il valore decimale che ottiene.

• Applica il metodo di Davide usando le frazioni generatrici irriducibili e semplifica il risultato fino a una frazione irriducibile. Ricava la sua espressione decimale periodica esatta.

• Valuta in modo critico le proposte:

a) Calcola l'errore assoluto commesso da Ugo confrontando il suo risultato con il valore esatto di Davide e rifletti sul rischio di arrotondare prima di operare in situazioni di precisione scientifica o finanziaria.

b) Giustifica perché l'idea di Elena di operare direttamente con le cifre decimali periodiche non è un metodo valido in generale per il prodotto o la divisione.

Si vuole progettare un codice numerico a partire da una frazione irriducibile $\frac{a}{b}$ (con $a, b \in \mathbb{N}$ e $a < b$) che soddisfi le seguenti condizioni:

• Il suo sviluppo decimale è periodico misto, con un antiperiodo di una cifra e un periodo di due cifre: $0,x\widehat{yz}$.

• La frazione è compresa sulla retta reale strettamente tra $0,15$ e $0,20$.

• Il denominatore $b$ è il più piccolo numero naturale possibile che permette di ottenere tale struttura decimale.

• Analizza la frazione generatrice teorica $\frac{N - a}{990}$ e spiega quali fattori primi deve contenere obbligatoriamente il denominatore semplificato $b$. Dimostra perché il più piccolo denominatore possibile non può essere $22$ e deve essere $b = 55$.

• Trova l'unico numeratore $a$ che rende $\frac{a}{55}$ irriducibile e lo colloca nell'intervallo $(0,15;\; 0,20)$. Determina il suo sviluppo decimale individuando l'antiperiodo e il periodo.

• Trova la frazione generatrice irriducibile del numero $0,1\widehat{9}$. Alla luce del risultato, classificalo nell'insieme numerico più ristretto a cui appartiene ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) e scrivi un esempio di numero irrazionale che sia strettamente compreso tra la tua frazione $\frac{a}{55}$ e questo numero $0,1\widehat{9}$.