Esercizi: Algoritmo euclideo, MCD e mcm

Scomponi in fattori primi i numeri $84$ e $126$. Poi calcola $\text{MCD}(84, 126)$ e $\text{mcm}(84, 126)$.

Applica l'algoritmo euclideo delle divisioni successive per calcolare $\text{MCD}(252, 105)$. Scrivi tutte le divisioni con quoziente e resto.

Calcola con l'algoritmo euclideo $\text{MCD}(91, 35)$ e stabilisci se i numeri $91$ e $35$ sono primi tra loro.

Una pasticceria di Bologna ha $180$ cannoli e $252$ bignè. Vuole preparare vassoi identici, ciascuno con lo stesso numero di cannoli e lo stesso numero di bignè, senza avanzi.

1. a) Qual è il massimo numero di vassoi che può preparare?
2. b) Quanti cannoli e quanti bignè contiene ciascun vassoio?

Due autobus partono insieme alle $6{:}00$ dal capolinea di Firenze. Il primo ritorna al capolinea ogni $36$ minuti, il secondo ogni $48$ minuti.

1. a) Dopo quanti minuti si ritrovano insieme al capolinea per la prima volta?
2. b) A che ora accade?
3. c) Quante volte si ritrovano insieme tra le $6{:}00$ e le $18{:}00$ (esclusa la partenza)?

Calcola con l'algoritmo euclideo $\text{MCD}(1.071, 462)$ e ricava $\text{mcm}(1.071, 462)$ usando la relazione $\text{MCD}(a,b)\cdot\text{mcm}(a,b)=a\cdot b$. Verifica poi il risultato con la scomposizione in fattori primi.

Un pavimento rettangolare di $4,95\text{ m}\times 3,30\text{ m}$ deve essere ricoperto con piastrelle quadrate intere, tutte uguali, senza tagli.

1. a) Determina il lato massimo (in cm) delle piastrelle.
2. b) Quante piastrelle servono?
3. c) Giustifica perché ogni lato valido per le piastrelle è un divisore del MCD delle due misure espresse in cm.

Siano $a$ e $b$ due numeri naturali con $a>b$.

1. a) Dimostra che ogni divisore comune di $a$ e $b$ divide anche il resto $r$ della divisione di $a$ per $b$.
2. b) Deduci che $\text{MCD}(a,b)=\text{MCD}(b,r)$ e spiega perché ciò giustifica l'algoritmo euclideo.

Due numeri naturali hanno $\text{MCD}=12$ e $\text{mcm}=360$. Uno dei due è $72$.

1. a) Trova l'altro numero.
2. b) Trova tutte le coppie $(a,b)$ di numeri naturali con $a