Esercizi: Luoghi geometrici

Un ragazzo addestra il suo cane in un terreno incolto. Il cane è legato a un guinzaglio estensibile di lunghezza massima $5$ metri, fissato a un picchetto conficcato nel terreno. Disegna e descrivi il luogo geometrico formato dalle posizioni in cui può muoversi il cane se tiene il guinzaglio sempre teso (cioè allungato al massimo). Scegli una scala adeguata, ad esempio $1$ cm nel disegno equivale a $1$ m nella realtà, e indica nel disegno il picchetto e la posizione del cane.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due paesi, Paese A e Paese B, si trovano a una distanza di $8$ km l'uno dall'altro, come mostra la figura. Le autorità vogliono costruire una fermata dell'autobus che si trovi esattamente alla stessa distanza da entrambi i paesi. Su quale linea o luogo geometrico devono collocare la fermata? Rappresentalo graficamente sul quaderno.

In un museo, due pareti formano un angolo di $70^\circ$. Si vuole installare una vetrina che si trovi sempre alla stessa distanza da entrambe le pareti. Disegna l'angolo e traccia il luogo geometrico in cui si potrebbero collocare gli oggetti della vetrina. Come si chiama tecnicamente questa linea?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Individua il punto notevole del triangolo descritto in ciascun caso:

1. a) È il punto equidistante dai tre vertici del triangolo.
2. b) È il punto in cui si incontrano le tre altezze di un triangolo.
3. c) È il centro della circonferenza inscritta nel triangolo (quella che tocca i suoi tre lati).
4. d) È il baricentro del triangolo e il punto in cui si incontrano le mediane.

Disegna sul quaderno un triangolo i cui lati misurino $6$ cm, $8$ cm e $10$ cm (nella figura trovi uno schema del triangolo). Traccia i suoi tre assi e segna il punto in cui si incontrano. Verifica, usando il compasso, che quel punto è il centro di una circonferenza che passa per i tre vertici. Come si chiama quel punto?

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Un parco ha forma triangolare, come mostra la figura. Si vuole installare una fontana all'interno del parco in modo che la distanza della fontana da ciascuno dei tre viali (lati del parco) sia la stessa.

1. a) Quali rette notevoli del triangolo dovresti disegnare per trovare la posizione?

1. b) Come si chiama il punto ottenuto?

È stata progettata una nuova pista ciclabile rettilinea che attraversa il centro di una città. Per sicurezza, non è consentito costruire alcun edificio a meno di $15$ metri da tale pista. Descrivi il luogo geometrico che delimita la zona vietata ai due lati della pista ciclabile e disegna uno schema semplice.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È possibile che in un triangolo circocentro, incentro, baricentro e ortocentro coincidano nello stesso punto? In caso affermativo, indica che tipo di triangolo deve essere e disegnalo segnando tale punto.

In classe, in terza media, l'insegnante chiede di definire e tracciare il luogo geometrico dei punti che si trovano alla stessa distanza da due pali, $A$ e $B$, separati da una distanza di $6\text{ m}$. Sergio scrive sul quaderno:\n\n«Il luogo geometrico è il segmento di lunghezza $6\text{ m}$ che passa proprio per il punto medio tra $A$ e $B$ ed è perpendicolare alla retta che li unisce; se usciamo da quei $6\text{ m}$, i punti non possono più essere alla stessa distanza da $A$ e da $B$ perché sarebbero troppo lontani».\n\na) Individua i due errori concettuali che commette Sergio nel suo ragionamento.\nb) Spiega perché la distanza a cui si trova un punto non gli impedisce di appartenere a tale luogo geometrico e scrivi la definizione corretta del luogo geometrico in questione.

In un campo polisportivo, due paletti di allenamento sono situati nei punti $A$ e $B$, separati esattamente da $8\text{ m}$. Vogliamo collocare un pallone in una posizione che soddisfi contemporaneamente due condizioni: essere alla stessa distanza da $A$ e da $B$, e trovarsi esattamente a $5\text{ m}$ dal paletto $A$.\n\na) Stima: prima di fare calcoli o tracciati precisi, stima in modo motivato quante posizioni possibili esistono nel campo per collocare il pallone (nessuna, una, due o infinite?). Basa la tua previsione sul confronto intuitivo tra il raggio di ricerca e la distanza tra i paletti.\nb) Verifica: individua formalmente quali due luoghi geometrici corrispondono a ciascuna condizione. Poi calcola la distanza esatta a cui si troverà il pallone dalla retta che unisce $A$ e $B$ applicando il teorema di Pitagora nel triangolo corrispondente, e concludi se la tua stima iniziale era corretta.

Nel cortile di una scuola, due antenne Wi-Fi sono situate nei punti $A$ e $B$, distanti $12$ metri (la figura mostra solo le antenne). Uno studente cerca un posto dove sedersi in cui riceva la stessa intensità di segnale da entrambe le antenne.

1. a) Descrivi quale luogo geometrico formano tutti i punti equidistanti da $A$ e da $B$.

1. b) Se lo studente vuole inoltre trovarsi esattamente a $10$ metri dall'antenna $A$, in quanti punti possibili del cortile potrebbe collocarsi? Spiega quali figure geometriche dovresti disegnare per trovarli.

Un comune vuole installare un lampione in una piccola piazza di forma triangolare i cui vertici sono situati nei punti $P$, $Q$ e $R$ (guarda la figura). Hanno deciso che il lampione deve trovarsi alla stessa distanza dai tre angoli (vertici) della piazza affinché l'illuminazione sia equilibrata.

1. a) Come si chiama il punto notevole del triangolo in cui devono installare il lampione?

1. b) Quali rette notevoli del triangolo è necessario tracciare per individuare tale punto? Disegnalo in modo schematico.

Due strade rettilinee di un quartiere, Via Maggiore e Via Minore, si incrociano in un punto $O$ formando un angolo di $60^\circ$, come si vede nella figura. Si vuole collocare un cestino che soddisfi due condizioni: che sia alla stessa distanza da entrambe le strade e che disti esattamente $5$ metri dal punto di intersezione $O$. Considera le strade come rette che si prolungano indefinitamente nei due sensi.

1. a) Definisci il luogo geometrico che soddisfa la prima condizione (essere alla stessa distanza da entrambe le strade).

1. b) Usa il concetto di luogo geometrico per spiegare come determineresti la posizione esatta del cestino. Quante soluzioni possibili esistono in totale?

In un allenamento di calcio, un pallone viene collocato in un punto equidistante dalle due linee laterali (parallele tra loro). Se la larghezza del campo è di $60$ metri:

1. a) Descrivi il luogo geometrico in cui può trovarsi il pallone.
2. b) Se l'allenatore aggiunge una restrizione e dice che il pallone deve trovarsi a $20$ metri da una specifica bandierina d'angolo, disegna lo schema della situazione e individua i punti che soddisfano entrambe le condizioni.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un grafico sta creando un logo basato su un triangolo scaleno. Vuole inscrivere una circonferenza all'interno del triangolo in modo che sia tangente ai tre lati.

1. a) Quale punto notevole del triangolo deve essere il centro di questa circonferenza?
2. b) Se la distanza da quel centro a uno dei lati è di $3$ cm, quale sarà la distanza dagli altri due lati? Giustifica la tua risposta basandoti sulla definizione di tale luogo geometrico.

Tre amici, Alba, Bruno e Carla, si trovano in un parco formando un triangolo. Alba e Bruno distano $10$ metri. Carla osserva di trovarsi in un punto tale che l'angolo formato dalle visuali verso Alba e Bruno è sempre di $90^\circ$. La figura mostra una delle posizioni possibili di Carla.

1. a) Come si chiama il luogo geometrico in cui si trova Carla?
2. b) Se Carla si muove mantenendo sempre quell'angolo di $90^\circ$ rispetto ai suoi amici, quale figura geometrica descriverebbe la sua traiettoria? Indica dove si trova il suo centro e quanto misura il suo raggio.

È stato ideato un gioco da tavolo in cui una pedina deve essere collocata nel "baricentro" di un pezzo triangolare di cartone, in modo che resti in equilibrio sulla punta di una matita. I lati del triangolo misurano $15$ cm, $20$ cm e $25$ cm. Nella figura puoi vedere il pezzo $ABC$ (con l'angolo retto in $A$), le sue tre mediane e il punto $P$ in cui si colloca la pedina.

1. a) Come si chiama in geometria questo punto di equilibrio?
2. b) Se tracciamo una delle mediane di questo triangolo, in quale rapporto il punto di equilibrio divide tale mediana? Esprimi la relazione tra la distanza del punto dal vertice e la distanza del punto dal lato opposto.

Un'azienda di logistica vuole collocare un magazzino centrale che serva tre negozi situati nei punti $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ e $C(10, 0)$ (unità in km). Per minimizzare i costi di trasporto, il magazzino deve trovarsi alla stessa distanza dai tre negozi.

1. a) Determina le coordinate del punto in cui deve essere collocato il magazzino studiando gli assi dei segmenti.

1. b) Come si chiama il luogo geometrico dei punti che si trovano a una distanza di $5$ km dal punto $B$? Il negozio $C$ si troverebbe all'interno di quella zona?

I servizi di emergenza del Piemonte studiano la collocazione di una base di ambulanze comprensoriale che serva con identico tempo di risposta i centri abitati di tre comuni: Asti ($A$), Alba ($M$) e Bra ($O$). Le distanze in linea retta tra i loro centri sono approssimativamente: $AM = 34\text{ km}$, $AO = 22\text{ km}$ e $MO = 20\text{ km}$. Si decide di collocare la base in un punto equidistante esattamente dai tre comuni.\n\na) Modella la situazione: definisci quale luogo geometrico determina i punti equidistanti da due comuni qualsiasi e quale punto notevole del triangolo formato da $A$, $M$ e $O$ rappresenta la posizione della base.\nb) Applica la relazione tra i lati di un triangolo ($c^2$ rispetto a $a^2 + b^2$) per classificare il triangolo $AMO$ come acutangolo, rettangolo od ottusangolo.\nc) In base alla classificazione precedente, ragiona se la base si troverà dentro il triangolo delimitato dai tre paesi o fuori di esso. Spiega quale conseguenza pratica ha questa proprietà dei luoghi geometrici per la gestione del territorio.

In un piano cartesiano di progettazione urbanistica, si vuole che il confine di ripartizione del servizio tra due ripetitori, $A$ e $B$ (cioè l'asse del segmento $AB$), sia esattamente la retta bisettrice del primo e del terzo quadrante, la cui equazione è $y = x$.\n\na) Se il ripetitore $A$ viene installato nel punto di coordinate $(0, 8)$, deduci in modo ragionato le coordinate in cui deve necessariamente trovarsi il ripetitore $B$. Verifica la tua deduzione controllando che il punto medio del segmento $AB$ appartenga alla retta $y = x$ e che il segmento $AB$ sia perpendicolare a essa.\nb) Generalizza: formula quale relazione algebrica deve esistere tra le coordinate $(x_A, y_A)$ e $(x_B, y_B)$ di una qualsiasi coppia di punti affinché il loro asse resti la retta $y = x$. Proponi altre due coppie di punti diverse che condividano lo stesso asse.

Una squadra di soccorso alpino riceve segnali da due escursionisti dispersi, situati nei punti $A$ e $B$. Il centro di comando sa che la zona di ricerca è formata dai punti che si trovano esattamente alla stessa distanza da $A$ e da $B$. L'elicottero di soccorso deve seguire una traiettoria rettilinea rappresentata da una strada secondaria $r$. In una mappa con coordinate, i punti sono $A(1, 6)$ e $B(5, 2)$, e la strada segue la direzione della retta che passa per $(0, 0)$ e $(4, 8)$.

Determina, con ragionamenti sui luoghi geometrici, il punto esatto in cui l'elicottero attraverserà la linea su cui potrebbero trovarsi gli escursionisti.

Si vuole installare un'antenna di telefonia che serva tre paesi situati nei vertici di un triangolo i cui lati misurano $13\text{ km}$, $14\text{ km}$ e $15\text{ km}$. L'ingegnere capo decide che l'antenna deve trovarsi nel circocentro del triangolo affinché la distanza dai tre paesi sia la stessa. Se l'area del triangolo è $84\text{ km}^2$, calcola il raggio di copertura che deve avere l'antenna (la distanza dal circocentro da uno qualsiasi dei vertici) sapendo che in ogni triangolo il raggio della circonferenza circoscritta soddisfa la relazione $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{Area}}$.

In un parco divertimenti, una nuova attrazione di «volo sospeso» si muove in modo da mantenersi sempre alla stessa distanza da due torri di controllo fisse, $T_1$ e $T_2$, distanti tra loro $30$ metri.

1. Identifica di quale luogo geometrico si tratta e descrivilo.

2. Se collochiamo le torri nei punti $T_1(-15, 0)$ e $T_2(15, 0)$ di un piano (unità in metri), quale retta descrive la traiettoria dell'attrazione? Indica la sua equazione.

3. L'attrazione passa esattamente sopra una casetta di manutenzione situata nel punto $P(0, 20)$. Verifica che la casetta sia equidistante dalle due torri calcolando entrambe le distanze.

Un architetto progetta una piazza triangolare i cui lati misurano $30$, $40$ e $50$ metri. All'interno vuole collocare una fontana che sia alla stessa distanza dalle tre strade (i tre lati del triangolo).

1. Come si chiama il luogo geometrico che determina la posizione della fontana?

2. Calcola la distanza della fontana da ciascuna delle strade. (Suggerimento: l'area di un triangolo si può calcolare anche come prodotto del semiperimetro per il raggio del cerchio inscritto, $A = s \cdot r$).

Considera due rette incidenti $r$ e $s$ che si intersecano in un punto $V$ formando un angolo di $60^\circ$. Si vuole disegnare una circonferenza di raggio $10\text{ cm}$ tangente a entrambe le rette e situata all'interno dell'angolo di $60^\circ$ mostrato in figura.

1. a) Spiega su quale linea deve trovarsi il centro $O$ di tale circonferenza.

1. b) Calcola a quale distanza dal punto di intersezione $V$ delle due rette deve trovarsi il centro della circonferenza. (Suggerimento: unendo il centro con il punto di tangenza si forma un triangolo rettangolo; usa le proprietà dei triangoli con angoli di $30^\circ$ e $60^\circ$).

Due boe di salvataggio, $A$ e $B$, galleggiano in mare a una distanza di $8$ km l'una dall'altra. I servizi di soccorso vogliono installare una piattaforma che soddisfi contemporaneamente due condizioni: che sia equidistante da entrambe le boe e che disti esattamente $5$ km dalla boa $A$.

Nella mappa della figura, con unità in km, le boe si trovano in $A(0, 0)$ e $B(8, 0)$.

1. a) Quale luogo geometrico formano i punti equidistanti da $A$ e da $B$? E i punti che distano $5$ km da $A$?

1. b) In quanti punti distinti si può installare la piattaforma? Giustificalo ragionando sulla posizione reciproca dei due luoghi geometrici precedenti.

1. c) Calcola le coordinate di tutti i punti in cui si può installare la piattaforma. (Suggerimento: usa il teorema di Pitagora).

Un faro emette un segnale che si riceve solo a una distanza inferiore a $10\text{ km}$. Un'imbarcazione si muove lungo una costa rettilinea $c$ che dista $8\text{ km}$ dal faro nel suo punto più vicino.

1. Descrivi il luogo geometrico dei punti della costa che ricevono il segnale del faro.

2. Calcola la lunghezza del tratto di costa in cui l'imbarcazione sarà dentro il raggio d'azione del faro.

In un triangolo isoscele $ABC$, con $AB = AC$, sappiamo che il baricentro (punto in cui si incontrano le mediane), l'ortocentro (punto in cui si incontrano le altezze) e il circocentro (punto in cui si incontrano gli assi dei lati) sono tutti allineati su una stessa retta.

1. Tale retta coincide con la mediana, l'altezza, l'asse e la bisettrice tracciate dal vertice $A$. Che relazione ha con l'asse di simmetria del triangolo? Giustifica la tua risposta.

2. Se la base $BC$ misura $12\text{ cm}$ e l'altezza relativa a quella base misura $9\text{ cm}$, determina a quale distanza dalla base si trova il baricentro, sapendo che il baricentro divide ogni mediana in due segmenti in modo tale che quello che arriva al vertice è il doppio dell'altro.

Una cooperativa agricola acquista un terreno triangolare con gli angoli negli incroci di tre strade provinciali rettilinee. Le strade formano un triangolo rettangolo i cui lati misurano $60\text{ m}$, $80\text{ m}$ e $100\text{ m}$. Occorre costruire un pozzo comune all'interno dell'appezzamento e si discutono due metodi geometrici basati sui luoghi geometrici:\n\n- Metodo 1: collocare il pozzo nel circocentro del terreno (intersezione degli assi dei lati), con l'argomento che deve trovarsi alla stessa distanza dai tre vertici (incroci delle strade).\n- Metodo 2: collocare il pozzo nell'incentro del terreno (intersezione delle bisettrici interne), con l'argomento che deve trovarsi alla stessa distanza dalle tre strade (lati del terreno).\n\nPer garantire la sicurezza dei macchinari ed evitare sversamenti, la normativa agraria richiede che il pozzo sia situato strettamente all'interno del terreno e alla maggiore distanza possibile dal bordo di qualsiasi strada.\n\na) Analizza la fattibilità di entrambi i metodi calcolando a quale distanza esatta si troverebbe il pozzo da ciascuna delle tre strade nel Metodo 1 e nel Metodo 2 (puoi calcolare il raggio della circonferenza inscritta uguagliando l'area del triangolo, $A = \frac{b \cdot h}{2}$, alla somma delle aree dei tre triangoli che si formano a partire dall'incentro, $A = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$).\nb) Giustifica in modo critico quale dei due metodi vada scelto e perché l'altro sia del tutto inammissibile secondo la normativa richiesta.

La Guardia Costiera rileva un segnale di soccorso nei pressi dello Stretto di Messina. Due stazioni costiere situate a Messina ($T$) e a Reggio Calabria ($A$), distanti $20\text{ km}$ in linea retta, coordinano la ricerca sulla base di tre dati tecnici:\n\n1. L'intensità del segnale ricevuto è identica in entrambe le stazioni costiere.\n2. L'autonomia della barca di soccorso con base a Messina le consente di coprire un raggio massimo di ricerca di $15\text{ km}$ da tale stazione.\n3. Per evitare le scogliere e il fitto canale di navigazione costiero, si scarta qualsiasi posizione la cui distanza dalla retta che unisce Messina e Reggio Calabria sia minore o uguale a $6\text{ km}$.\n\na) Modella matematicamente il problema traducendo ciascuna delle tre condizioni nel linguaggio dei luoghi geometrici (asse del segmento, circonferenza/cerchio o fasce parallele di distanza da una retta).\nb) Deduci con rigore la forma geometrica della zona in cui può trovarsi l'imbarcazione: determina se si tratta di una regione bidimensionale o di un insieme di segmenti, e calcola la distanza minima e massima dalla retta $TA$ dei punti che formano tale zona.\nc) Se una boa sonar conferma che la distanza esatta dell'imbarcazione da Messina è $12,5\text{ km}$, calcola quante posizioni possibili restano per l'imbarcazione e a quale distanza esatta dalla retta $TA$ si trova ciascuna di esse.