Esercizi: Variabile statistica

Un gruppo di ricercatori vuole sapere qual è il gruppo musicale preferito dagli adolescenti italiani tra i 12 e i 16 anni. Per questo, conducono un sondaggio su 500 studenti di diverse scuole di Roma. Indica:

1. a) La popolazione oggetto di studio.
2. b) Il campione scelto.
3. c) L'individuo.

Classifica le seguenti variabili statistiche in qualitative o quantitative:

1. a) Il colore preferito della cover di un telefono cellulare.
2. b) Il numero di follower di un account TikTok.
3. c) Il tempo, in minuti, che impieghi per andare da casa a scuola.
4. d) La marca di scarpe da ginnastica preferita dagli studenti della tua classe.

Tra le variabili quantitative dobbiamo distinguere tra discrete e continue. Indica di che tipo è ciascuna delle seguenti:

1. a) Il numero di cugini di ciascuno studente.
2. b) La capacità, in litri, delle bottiglie d'acqua vendute al bar.
3. c) Il numero di messaggi WhatsApp che ricevi nell'arco di una giornata.
4. d) Il peso degli zaini degli studenti di terza media.

Associa ciascuna delle seguenti situazioni alla natura della sua variabile statistica (Qualitativa, Quantitativa discreta o Quantitativa continua):

1. Gli sport praticati nel palazzetto dello sport comunale.

2. La temperatura massima giornaliera registrata nella tua città durante il mese di luglio.

3. Il numero di canali televisivi sintonizzati in una famiglia.

Immagina di voler realizzare uno studio sulla quantità di denaro che i giovani del tuo quartiere spendono ogni settimana per il tempo libero.

1. a) Che tipo di variabile è "denaro speso"?
2. b) Se nel quartiere abitano $1.200$ giovani e ne intervisti $60$, qual è la dimensione del campione?
3. c) Sarebbe rappresentativo se intervistassi solo i giovani che si trovano davanti all'ingresso di un cinema un sabato pomeriggio? Motiva la risposta.

Per ciascuna delle seguenti domande di un sondaggio, individua se la risposta darebbe luogo a una variabile qualitativa nominale, quantitativa discreta o quantitativa continua:

1. a) "Quale applicazione di social network usi più spesso?"
2. b) "Quante ore al giorno (con decimali) passi a studiare?"
3. c) "Quante volte sei andato al cinema nell'ultimo mese?"
4. d) "Qual è il tuo sistema operativo preferito (Android o iOS)?"

Si vuole realizzare uno studio sul consumo di frutta in una scuola. Determina se i seguenti campioni sono casuali (scelti a caso e rappresentativi) o distorti:

1. a) Chiedere ai 25 studenti che arrivano per primi a scuola al mattino.
2. b) Scegliere a caso 5 studenti dal registro di ciascuna classe della scuola.
3. c) Chiedere soltanto agli studenti che stanno comprando da mangiare al bar.
4. d) Estrarre a sorte 50 numeri di matricola tra tutti gli studenti della scuola e intervistarne i titolari.

Osserva la seguente tabella di dati raccolti sulle abitudini di lettura di un gruppo di studenti e classifica ciascuna colonna in base al tipo di variabile statistica che rappresenta:

Nome dello studente	Libri letti all'anno	Genere preferito	Tempo medio di lettura (h)
Lucia	$12$	Fantasy	$0,5$
Marco	$4$	Fantascienza	$1,2$
Elena	$0$	Non legge	$0$

1. a) Libri letti all'anno.
2. b) Genere preferito.
3. c) Tempo medio di lettura giornaliero.

Marco ha condotto un piccolo sondaggio tra i compagni di classe per un lavoro di Matematica sulle abitudini di vita e il tempo libero. Nella sua relazione preliminare ha classificato le seguenti quattro variabili:

1. CAP del domicilio: «Quantitativa continua, perché è formato da un numero di cinque cifre e può assumere valori molto alti».

2. Numero di maglia del suo sportivo preferito: «Quantitativa discreta, perché è sempre un numero intero senza decimali».

3. Tempo giornaliero dedicato all'uso del telefono cellulare: «Quantitativa discreta, perché, quando si chiede alle persone, tutti rispondono con numeri interi di minuti, come $45$ o $60$ minuti».

4. Livello di soddisfazione per gli impianti sportivi del quartiere (Basso, Medio, Alto): «Qualitativa».

Individua gli errori concettuali commessi da Marco, spiega perché la sua giustificazione è errata in ciascun caso e scrivi la classificazione corretta e completa delle quattro variabili.

La dirigenza della tua scuola vuole condurre uno studio statistico sulla mobilità sostenibile e sulle abitudini di trasporto della comunità scolastica. Progetta tu stesso il questionario dello studio rispettando esattamente le seguenti condizioni:

1. a) Scrivi una domanda la cui risposta sia una variabile qualitativa nominale (senza alcun ordine gerarchico naturale).
2. b) Scrivi una domanda la cui risposta sia una variabile quantitativa discreta, chiarendo quale elemento concreto si sta contando.
3. c) Scrivi una domanda la cui risposta sia una variabile quantitativa continua, indicando l'unità di misura fisica che verrà utilizzata.
4. d) Definisci con precisione qual è la popolazione completa dello studio, qual è un individuo concreto e proponi una dimensione ragionevole del campione se nella scuola sono iscritti $750$ studenti in totale.

Un gruppo di ricercatori vuole realizzare uno studio sul consumo di bevande energetiche tra gli adolescenti di una città di $50\,000$ abitanti. A tal fine, seleziona $250$ studenti tra i $12$ e i $18$ anni di diverse scuole e chiede loro quante lattine hanno consumato nell'ultima settimana.

Individua i seguenti elementi dello studio statistico:

1. a) La popolazione oggetto di studio.
2. b) Il campione scelto.
3. c) L'unità statistica.
4. d) La dimensione del campione.
5. e) La variabile statistica e il suo tipo.

Nella tabella seguente sono presentate diverse variabili raccolte in un sondaggio svolto in un club di e-sports. Classifica ciascuna di esse come qualitativa, quantitativa discreta o quantitativa continua:

Variabile	Tipo di variabile
Videogioco preferito
Ore settimanali di allenamento
Numero di periferiche (tastiera, mouse...) possedute
Marca del monitor utilizzato
Velocità della connessione a internet (Mbps)
Posizione nella classifica mondiale

Per conoscere l'opinione dei cittadini sulla costruzione di una nuova pista ciclabile nel centro della città, un giornale locale realizza un sondaggio all'ingresso di un negozio specializzato in mountain bike.

1. a) Pensi che il campione scelto sia rappresentativo della popolazione della città? Motiva la risposta.
2. b) Esiste qualche tipo di distorsione in questa scelta? Spiega perché.
3. c) Proponi un metodo di campionamento più adatto affinché i risultati siano affidabili.

In una scuola ci sono $600$ alunni iscritti. Si vuole estrarre un campione rappresentativo di $60$ alunni mediante un campionamento stratificato per classi per realizzare uno studio sulle abitudini di lettura. La distribuzione per classi è la seguente:

• $1º$ media: $180$ alunni.

• $2º$ media: $160$ alunni.

• $3º$ media: $140$ alunni.

• $4º$ media: $120$ alunni.

Calcola quanti alunni di ciascuna classe si dovrebbero scegliere affinché il campione mantenga la proporzionalità della popolazione.

Un biologo sta misurando la crescita di una specie di felce in una serra. Dopo un mese, annota le altezze (in cm) di $20$ esemplari. I dati ottenuti sono una variabile quantitativa continua. L'istogramma mostra le altezze raggruppate in intervalli di $5$ cm.

1. a) Spiega la differenza tra una variabile quantitativa discreta e una continua usando questo esempio.

1. b) Se i dati sono raggruppati in intervalli come $[10, 15), [15, 20), [20, 25)$..., qual è il valore centrale del secondo intervallo?

1. c) Quale valore rappresenta il valore centrale nei calcoli statistici?

Si realizza uno studio sulla qualità dell'aria in diversi punti di una regione. A tal fine si installano centraline di misurazione che registrano la concentrazione di particolato $PM_{10}$ (in $\mu g/m^3$).

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando ogni risposta:

1. a) La variabile «concentrazione di particolato» è qualitativa perché indica la qualità dell'aria.
2. b) Se misuriamo la concentrazione in $15$ punti scelti a caso, l'unità statistica è ciascuno di quei punti di misurazione.
3. c) Il numero di abitanti delle zone in cui si misura è una variabile quantitativa continua.
4. d) La variabile «livello di inquinamento» con valori (Basso, Medio, Alto) è una variabile qualitativa ordinale.

Un comune vuole conoscere il numero di animali domestici presenti nelle abitazioni di un quartiere di nuova costruzione in cui vivono $1\,200$ famiglie. Per non interpellare tutti, decide di inviare un questionario alle $120$ famiglie che abitano ai primi indirizzi dell'elenco alfabetico delle vie.

1. a) Indica qual è la popolazione e qual è il campione.
2. b) Questo è un metodo di campionamento casuale semplice? Perché?
3. c) Individua la variabile e di' di che tipo è.
4. d) Se nel campione il $15\%$ delle famiglie non ha animali domestici, quante famiglie del quartiere si stima che abbiano almeno un animale domestico?

Immagina di lavorare nel reparto marketing di una piattaforma di streaming musicale. Vuoi indagare la relazione tra l'età degli utenti e lo stile di musica che ascoltano di più.

Per farlo, progetti un database con i seguenti campi per ogni utente:

1. Età (anni compiuti).

2. Minuti giornalieri di ascolto.

3. Genere musicale preferito (Pop, Rock, Trap, Altri).

4. Grado di soddisfazione per il servizio (da $1$ a $5$).

1. a) Classifica ciascuna delle quattro variabili precedenti (qualitativa o quantitativa; e, all'interno di ciascun tipo, nominale od ordinale, discreta o continua).

1. b) Spiega quale tipo di grafico (diagramma a barre, diagramma a torta o istogramma) ritieni più adatto per rappresentare i dati della variabile «Genere musicale preferito» e perché. Indica anche se qualcuno dei tre non sarebbe adatto e motiva la risposta.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

L'Aeronautica Militare dispone di stazioni automatiche di misurazione distribuite in tutta Italia. Durante un'ondata di calore a luglio, un gruppo di analisti raccoglie dati alle $16:00\text{ h}$ da $45$ stazioni selezionate in Campania per studiare l'impatto delle temperature estreme. Di ogni stazione si annotano i seguenti dati:

• La provincia in cui si trova.

• La temperatura dell'aria registrata all'ombra (in $^{\circ}\text{C}$, con precisione al decimo).

• Il numero di raffiche di vento superiori a $40\text{ km/h}$ registrate nelle ultime tre ore.

• L'altitudine sul livello del mare a cui è installata la stazione (in metri).

• Il livello dell'allerta meteorologica in vigore emessa per quella zona (Verde, Gialla, Arancione, Rossa).

1. a) Individua la popolazione dello studio, il campione selezionato, la dimensione del campione e l'unità statistica.
2. b) Classifica ciascuna delle cinque variabili registrate come qualitativa (specificando se è nominale od ordinale) o quantitativa (specificando se è discreta o continua).
3. c) Giustifica se avrebbe senso sostituire questo studio campionario con un censimento completo e argomenta un vantaggio e uno svantaggio che comporterebbe realizzare tale censimento.

In una scuola con $800$ studenti ($200$ di $1.^{\circ}$ di scuola media, $200$ di $2.^{\circ}$, $150$ di $3.^{\circ}$, $150$ di $4.^{\circ}$ e $100$ di liceo), il Consiglio d'istituto vuole scoprire il grado di soddisfazione per il menù e i prezzi del bar della scuola per decidere se rinnovare il contratto del servizio. Dispone di tempo e budget per intervistare $80$ studenti.

Si propongono tre metodi di campionamento:

• Metodo A: Intervistare i primi $80$ studenti che fanno la fila al bar lunedì prossimo durante la ricreazione.

• Metodo B: Lasciare un'urna con delle schede in portineria e chiedere con un annuncio all'altoparlante che $80$ persone vadano a votare volontariamente.

• Metodo C: Ottenere l'elenco ufficiale della scuola e selezionare per sorteggio casuale $20$ studenti: $1.^{\circ}$, $20$ di $2.^{\circ}$, $15$ di $3.^{\circ}$, $15$ di $4.^{\circ}$ e $10$ di liceo.

1. a) Analizza criticamente i metodi A e B: spiega quali distorsioni presentano e perché non garantiscono un campione rappresentativo.
2. b) Dimostra matematicamente che il metodo C ripartisce il campione in modo proporzionale alla dimensione reale di ciascuna classe e giustifica perché è il procedimento più rigoroso dei tre.
3. c) Se il bar fosse utilizzato solo da studenti di $3.^{\circ}$, $4.^{\circ}$ e del liceo, la popolazione definita inizialmente sarebbe ancora adeguata? Ridefinisci la popolazione per questo caso.

Uno sviluppatore di videogiochi sta analizzando il comportamento dei giocatori in una fase Beta. Per ottimizzare le prestazioni, registra i seguenti dati di ogni utente:

1. Il nome del server a cui si collegano (Nord, Sud, Est, Ovest).

2. Il codice identificativo unico dell'account (un numero di 8 cifre).

3. Il tempo di risposta o ping misurato in millisecondi.

4. Il numero di volte che il giocatore ha premuto il pulsante «pausa» in un'ora.

5. Il livello di soddisfazione dell'utente, valutato come: «Molto insoddisfatto», «Insoddisfatto», «Neutrale», «Soddisfatto» o «Molto soddisfatto».

Ragiona e classifica ciascuna delle variabili precedenti. Presta particolare attenzione alla variabile numero 2: il fatto che sia un numero implica che sia una variabile quantitativa? Giustifica la risposta.

Un'azienda di spedizioni vuole migliorare la propria efficienza. Per farlo, definisce la popolazione come «tutti i pacchi spediti in Italia durante un anno». Essendo impossibile studiarli tutti, seleziona un campione di 500 pacchi.

Per ogni pacco annotano: peso in kg, volume in $m^3$, provincia di destinazione e numero di tentativi di consegna.

1. a) Individua la popolazione, il campione e le unità statistiche dello studio.
2. b) Classifica le variabili registrate.
3. c) Se dei 500 pacchi del campione, 450 sono stati ritirati unicamente in un ufficio di una zona di lusso a Roma, possiamo dire che il campione è rappresentativo per trarre conclusioni sul servizio in tutta Italia? Giustifica la risposta usando il concetto di distorsione statistica.

In un laboratorio di biologia si studia la crescita di una colonia di batteri. Il ricercatore decide di registrare la temperatura della coltura ogni ora. La temperatura può assumere valori come $36,42 ^\circ C$, $36,45 ^\circ C$, ecc. Tuttavia, per semplificare il rapporto finale, il ricercatore raggruppa i risultati in tre categorie: «Freddo» (meno di $30 ^\circ C$), «Ottimale» (tra $30 ^\circ C$ e $40 ^\circ C$) e «Caldo eccessivo» (più di $40 ^\circ C$).

1. a) Che tipo di variabile è la temperatura misurata originariamente?
2. b) Che tipo di variabile è quella che compare infine nel rapporto dopo aver raggruppato i dati?
3. c) Si è persa informazione in questo processo? Spiega quale vantaggio e quale svantaggio comporta questa trasformazione dal punto di vista statistico.

Immagina di voler realizzare uno studio statistico sull'uso dei social network tra gli adolescenti della tua città. Devi progettare un questionario che contenga esattamente:

1. Una variabile qualitativa nominale.

2. Una variabile qualitativa ordinale.

3. Una variabile quantitativa discreta.

4. Una variabile quantitativa continua.

Scrivi una domanda per ciascun caso, realistica e utile per la tua ricerca. Spiega perché ogni domanda corrisponde al tipo di variabile richiesto.

Un comune vuole conoscere il grado di accettazione di una nuova norma sulla circolazione. Per farlo, allestisce un banchetto informativo davanti all'ingresso di una scuola alle 9:00 del mattino e interroga i primi 100 adulti che passano di lì.

1. a) Definisci la popolazione oggetto di studio.
2. b) Descrivi il campione selezionato.
3. c) Analizza criticamente il metodo di selezione del campione. Pensi che tutti i cittadini abbiano avuto la stessa probabilità di essere scelti? Proponi un metodo di campionamento casuale stratificato che sarebbe più equo per questo studio.

Spesso le variabili quantitative continue si presentano come discrete a causa della precisione degli strumenti di misura. Un sensore di precisione misura lo spessore di alcune lamiere d'acciaio prodotte in una fabbrica. Il sensore mostra valori come $2,00$ mm, $2,01$ mm, $2,02$ mm...

1. a) Anche se il sensore mostra solo due decimali, perché lo spessore è considerato una variabile quantitativa continua e non discreta?
2. b) Se la fabbrica produce 10.000 lamiere al giorno e il controllo qualità decide di misurare solo quelle fabbricate tra le 12:00 e le 12:15, il campione sarà rappresentativo della produzione totale della giornata? Motiva la risposta indicando possibili fattori che potrebbero variare nel corso della giornata.

Si realizza uno studio sulla salute uditiva dei giovani. Si misura l'intensità del volume a cui ascoltano musica con le cuffie (in decibel, dB).

La figura mostra l'intervallo in cui si trovano i valori misurati e la soglia di 85 dB fissata dall'équipe medica.

1. Classifica la variabile «Intensità del suono in dB».

2. Se i valori ottenuti oscillano tra $65,4$ dB e $105,9$ dB, spiega perché non avrebbe senso trattare questa variabile come una variabile qualitativa nominale.

3. L'équipe di medici decide che, se l'intensità supera i $85$ dB, il rischio è «Alto», e se è inferiore, il rischio è «Basso». Classifica questa nuova variabile «Rischio uditivo».

Una piattaforma di streaming analizza i dati dei suoi abbonati per migliorare i suoi consigli. Classifica le seguenti variabili utilizzate dal suo algoritmo:

1. a) Tempo totale (in secondi) in cui un utente rimane a guardare un video prima di chiuderlo.
2. b) Tipo di dispositivo utilizzato (Smart TV, Smartphone, Tablet, PC).
3. c) Numero di volte che un utente ha condiviso un link della piattaforma nell'ultimo mese.
4. d) Valutazione media dei film visti (da 1 a 5 stelle, ammettendo mezze stelle come 3,5).
5. e) Posizione occupata da una serie nella «Top 10» dei più visti nel paese.

Discuti se la variabile (d) potrebbe essere considerata continua o discreta a seconda di come vengono raccolti i dati originali (voti individuali vs. media calcolata).

Secondo i dati dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), la struttura demografica per età di un comune di $30\,000$ abitanti si divide in: minori di $18$ anni ($18\,\%$), adulti da $18$ a $64$ anni ($62\,\%$) e persone di $65$ o più anni ($20\,\%$). L'assessorato alla mobilità commissiona un sondaggio per strada con un campione di $n = 300$ persone per stimare la frequenza settimanale con cui i residenti usano la pista ciclabile.

Prima di svolgere il lavoro sul campo, il tecnico stima che un campione di $300$ persone sarà pienamente rappresentativo purché rifletta proporzionalmente le tre fasce d'età del comune. Gli intervistatori svolgono le interviste un martedì feriale tra le $10:00$ e le $12:30$ del mattino nella piazza centrale del paese, ottenendo un campione con i seguenti partecipanti reali: $12$ minori di $18$ anni, $114$ persone tra i $18$ e i $64$ anni e $174$ persone di $65$ o più anni.

1. a) Esegui la verifica matematica: calcola quanti individui di ciascuna fascia d'età avrebbero dovuto comporre il campione di $300$ persone per rappresentare fedelmente la popolazione del comune secondo i dati ISTAT.
2. b) Verifica la composizione percentuale del campione effettivamente ottenuto e determina quale gruppo di popolazione è fortemente sovrarappresentato e quale è sottorappresentato.
3. c) Spiega in dettaglio quali fattori del piano di raccolta dei dati (orario, giorno e luogo) hanno provocato questa distorsione e, supponendo che le persone di $65$ o più anni usino la pista ciclabile meno spesso degli altri residenti, giustifica se la variabile oggetto di studio («frequenza d'uso della pista ciclabile») risulterà sovrastimata o sottostimata rispetto alla realtà del comune.

Un gruppo di sociologia dell'educazione vuole indagare le abitudini digitali dei giovani tra i $12$ e i $16$ anni di una regione che conta $120\,000$ persone in quella fascia d'età. Prima di iniziare la raccolta dei dati sorgono due dibattiti metodologici:

Dibattito 1: Definizione operativa della variabile

• La ricercatrice A propone di chiedere: «Quante ore intere dedichi al giorno agli schermi? (Opzioni chiuse: $1$, $2$, $3$, $4$ o più di $4$)».

• Il ricercatore B propone di chiedere ai partecipanti di consultare il registro dell'applicazione «Benessere digitale» del loro telefono e di annotare il tempo totale esatto di schermo del giorno precedente, registrato in minuti e secondi (per esempio, $194\text{ min } 35\text{ s}$).

Classifica rigorosamente il tipo di variabile statistica che genera ciascuna proposta. Argomenta quale delle due opzioni offre maggiore precisione matematica e quale perdita di informazione o distorsione subisce lo studio se si adotta la proposta di A.

Dibattito 2: Scelta del metodo di campionamento

Si dispone di risorse per intervistare $600$ giovani. Si valutano due opzioni:

• Opzione 1: Lanciare una campagna sponsorizzata sui social network con un modulo web aperto, chiudendo il sondaggio non appena si raggiungono le $600$ risposte ricevute.

• Opzione 2: Estrarre a sorte $15$ scuole della regione garantendo che ci siano istituti pubblici e paritari, di ambito rurale e urbano, e scegliere in ciascuno $40$ studenti a caso dagli elenchi degli iscritti.

Confronta le due opzioni analizzando i tre requisiti di un campione rappresentativo: selezione casuale, copertura dei gruppi rilevanti e controllo delle mancate risposte. Giustifica quale delle due opzioni va scelta.