Esercizi: Tabelle

Per conoscere l'opinione sull'uso dei telefoni cellulari in classe, è stato somministrato un questionario a $45$ studenti di una scuola che ha in tutto $600$ alunni. Indica quali sono gli elementi fondamentali di questo studio statistico:

1. a) La popolazione oggetto di studio.

1. b) Il campione selezionato.

1. c) L'individuo.

Classifica le seguenti variabili statistiche in qualitative, quantitative discrete o quantitative continue, basandoti sui dati di un'applicazione musicale:

1. a) Il genere musicale delle canzoni (Pop, Rock, Trap...).
2. b) Il numero di "like" di una playlist.
3. c) La durata di una canzone in secondi.
4. d) Il nome dell'artista o del gruppo.
5. e) Lo spazio di memoria occupato dall'applicazione sul cellulare (in MB).

Un gruppo di amici annota il numero di volte che sono andati al cinema nell'ultimo mese. I dati ottenuti sono:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 2$.

Organizza questi dati in una tabella delle frequenze che comprenda:

• Il conteggio (usando le lineette).

• La frequenza assoluta ($f_i$).

In una classe terza media è stato chiesto agli alunni qual è il loro sport preferito. Completa i valori mancanti nella seguente tabella delle frequenze:

Sport	Frequenza assoluta ($f_i$)	Frequenza relativa ($h_i$)	Percentuale (%)
Pallacanestro	$6$	$0,24$	$24\%$
Calcio	$10$
Tennis	$4$	$0,16$
Nuoto		$0,20$	$20\%$
Totale	$25$	$1,00$	$100\%$

È stato condotto uno studio sul numero di libri letti dagli alunni di un club di lettura durante l'estate. Osserva la tabella e rispondi alle domande utilizzando le frequenze cumulate:

Libri letti ($x_i$)	Alunni ($f_i$)	Frequenza cumulata ($F_i$)
$0$	$2$	$2$
$1$	$5$	$7$
$2$	$8$	$15$
$3$	$6$	$21$
$4$	$4$	$25$

1. a) Quanti alunni hanno letto esattamente $2$ libri?
2. b) Quanti alunni hanno letto $2$ libri o meno?
3. c) Qual è il numero totale di alunni che partecipano allo studio?

Per uno studio sul peso degli zaini degli studenti, i dati sono stati raggruppati in intervalli di $1$ kg. Calcola la marca di classe ($x_i$) per ciascuno degli intervalli della tabella:

Peso (kg)	Marca di classe ($x_i$)	Frequenza ($f_i$)
$[2, 3)$		$4$
$[3, 4)$		$12$
$[4, 5)$		$9$
$[5, 6)$		$5$

È stata fatta un'indagine sul numero di animali domestici delle famiglie di un quartiere. Per un errore, alcuni dati della tabella sono stati cancellati. Sapendo che sono state intervistate in tutto $40$ famiglie, calcola i valori mancanti:

N. animali	Famiglie ($f_i$)	Frequenza relativa ($h_i$)
$0$	$12$	$0,30$
$1$		$0,45$
$2$	$7$
$3$	$3$	$0,075$
Totale	$40$	$1,00$

Un'azienda di corrieri studia il peso dei pacchi che spedisce ogni giorno. Ha organizzato le informazioni nella seguente tabella delle frequenze relative cumulate ($H_i$):

Peso (kg)	$f_i$	$h_i$	$H_i$
$[0, 2)$	$20$	$0,40$	$0,40$
$[2, 4)$	$15$	$0,30$	$0,70$
$[4, 6)$	$10$	$0,20$	$0,90$
$[6, 8)$	$5$	$0,10$	$1,00$

Rispondi alle seguenti domande a partire dalla tabella:

1. a) Quale percentuale di pacchi pesa meno di $4$ kg?
2. b) Quale frequenza relativa rappresentano i pacchi che pesano $6$ kg o più?
3. c) Qual è il numero totale di pacchi analizzati in questo studio?

Lucia ha fatto un'indagine tra i suoi 25 compagni di classe sul numero di vecchi telefoni cellulari inutilizzati che tengono a casa. Dopo aver contato i dati, costruisce la seguente tabella delle frequenze:

• Per $x_1 = 0$: $f_1 = 5$, $F_1 = 5$

• Per $x_2 = 1$: $f_2 = 10$, $F_2 = 15$

• Per $x_3 = 2$: $f_3 = 7$, $F_3 = 22$

• Per $x_4 = 3$: $f_4 = 3$, $F_4 = 25$

Presentando il lavoro, Lucia aggiunge due conclusioni sul quaderno:

1. «La somma della colonna delle frequenze cumulate è $5 + 15 + 22 + 25 = 67$, il che significa che sono stati analizzati 67 telefoni in totale».

2. «Poiché la frequenza cumulata per 2 telefoni è $F_3 = 22$, esattamente 22 alunni hanno 2 telefoni inutilizzati».

Individua l'errore concettuale che commette Lucia in ciascuna delle sue due affermazioni, spiega con chiarezza perché il suo ragionamento è sbagliato basandoti sulla definizione matematica di frequenza cumulata e scrivi l'interpretazione corretta che avrebbe dovuto dare ai numeri 25 e 22.

In una classe terza media di 40 studenti si svolge un'indagine sul mezzo principale che usano per raggiungere la scuola. I risultati sono: 20 vanno a piedi, 12 in autobus, 6 in auto privata e 2 in monopattino elettrico.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo o operazione con i decimali, stima in modo motivato:

• Quale percentuale esatta rappresenta il gruppo di chi va a piedi rispetto al totale della classe?

• La frequenza relativa di chi va in autobus sarà maggiore, minore o uguale a $0,25$? Giustificalo confrontando il numero 12 con la quarta parte di 40.

• Il gruppo che va in monopattino elettrico supererà il $10\,\%$ degli studenti?

1. b) Costruisci la tabella delle frequenze calcolando per ciascun mezzo di trasporto la frequenza assoluta ($f_i$), la frequenza relativa ($h_i$) in forma di frazione e di decimale, e la percentuale corrispondente.

1. c) Verifica se le tue stime iniziali erano corrette e controlla numericamente se la somma di tutte le frequenze relative soddisfa la proprietà fondamentale di dare come risultato l'unità.

Si vuole realizzare uno studio sul tipo di contenuto più visto su una nota piattaforma di streaming dagli adolescenti di una città. Per farlo, si intervistano $150$ studenti di $3^\text{o}$ di tre scuole diverse scelte a caso. Individua i seguenti elementi dello studio statistico:

1. a) Popolazione.

1. b) Campione.

1. c) Individuo.

1. d) Tipo di variabile statistica.

Un gruppo di $25$ giovani ha annotato il numero di volte in cui è andato al cinema nell'ultimo trimestre, ottenendo i seguenti dati:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1$

Organizza queste informazioni in una tabella di frequenze che comprenda: frequenza assoluta ($n_i$), frequenza relativa ($h_i$) e frequenza percentuale ($\%$).

In un sondaggio sul numero di animali domestici che hanno le famiglie di un quartiere, sono stati ottenuti i risultati mostrati nella seguente tabella delle frequenze assolute:

N. di animali domestici ($x_i$)	N. di famiglie ($n_i$)
$0$	$12$
$1$	$18$
$2$	$14$
$3$	$6$

Calcola la colonna delle frequenze assolute cumulate ($N_i$) e quella delle frequenze relative cumulate ($H_i$). Quale percentuale di famiglie ha al massimo $2$ animali domestici?

È stato misurato il tempo, in minuti, che $20$ studenti impiegano per andare da casa a scuola. I dati sono:

$5, 12, 18, 24, 7, 15, 30, 10, 22, 14, 8, 11, 28, 5, 19, 13, 16, 25, 12, 9$

Costruisci una tabella di frequenze raggruppando i dati in $5$ intervalli di uguale ampiezza, a partire da $5$ e fino a $30$. Includi nella tabella i valori centrali delle classi ($x_i$) e le frequenze assolute ($n_i$).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Completa gli spazi vuoti della seguente tabella di frequenze di una variabile quantitativa discreta:

Dato ($x_i$)	Freq. assoluta ($n_i$)	Freq. relativa ($h_i$)	Freq. percentuale ($\%$)
$1$	$8$	$0,20$
$2$		$0,35$
$3$	$12$
$4$			$15\%$
Totale	$N=$	$1,00$	$100\%$

In una classe di Educazione fisica è stato chiesto agli studenti qual è il loro sport preferito fuori dall'orario scolastico. I risultati sono:

• Calcio: $12$ studenti.

• Pallacanestro: $8$ studenti.

• Nuoto: $6$ studenti.

• Tennis: $4$ studenti.

Costruisci una tabella che riporti le frequenze assolute e calcola i gradi necessari per rappresentare questi dati in un diagramma a torta (ampiezza dell'angolo al centro).

Un nutrizionista analizza la quantità di zucchero (in grammi) per ogni $100\text{ ml}$ di $40$ bibite diverse. I risultati sono stati raggruppati nella seguente tabella:

Quantità di zucchero ($g$)	Valore centrale ($x_i$)	Freq. assoluta ($n_i$)
$[0, 4)$		$5$
$[4, 8)$		$12$
$[8, 12)$		$18$
$[12, 16]$		$5$

1. a) Completa la colonna dei valori centrali delle classi.
2. b) Calcola la colonna delle frequenze relative ($h_i$).
3. c) Indica quante bibite hanno $8$ grammi di zucchero o più.

È stato condotto un sondaggio tra i dipendenti di un ufficio sul numero di lingue che parlano. Sappiamo che il $40\%$ parla una sola lingua, il $35\%$ parla due lingue, il $20\%$ parla tre lingue e il resto parla quattro lingue.

Se nell'ufficio lavorano in totale $60$ persone, costruisci la tabella completa delle frequenze (assoluta, relativa e percentuale). Quante persone parlano esattamente quattro lingue?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una campagna ambientale organizzata in un comune, è stato chiesto a un campione di $N = 50$ famiglie quanti bidoni o contenitori per la raccolta differenziata hanno in casa ($x_i$). Tuttavia, parte del rapporto è stata cancellata e si dispone solo delle seguenti informazioni:

• I possibili valori della variabile sono $1, 2, 3$ e $4$ bidoni.

• La frequenza relativa cumulata corrispondente a 2 bidoni o meno è $H_2 = 0,64$.

• La percentuale di famiglie che hanno 4 bidoni è esattamente il $12\,\%$.

• Il numero di famiglie che hanno 1 bidone è il triplo del numero di famiglie che hanno 2 bidoni.

1. a) Deduci, motivando ogni passaggio, la frequenza assoluta ($f_i$) di ciascuno dei quattro valori della variabile.
2. b) Costruisci la tabella delle frequenze completa che comprenda: variabile ($x_i$), frequenza assoluta ($f_i$), frequenza relativa ($h_i$), percentuale, frequenza assoluta cumulata ($F_i$) e frequenza relativa cumulata ($H_i$).
3. c) Utilizzando la tabella ottenuta, determina quale percentuale delle famiglie del campione fa la raccolta differenziata in modo attivo disponendo di almeno 3 bidoni in casa.

Dai registri dell'Agenzia Meteorologica Nazionale, sono state raccolte le temperature massime giornaliere ($^{\circ}\text{C}$) di una località del sud Italia durante i 31 giorni del mese di luglio. I dati sono stati raggruppati in quattro intervalli contigui:

• Intervallo $[28, 32)$: 5 giorni.

• Intervallo $[32, 36)$: 11 giorni.

• Intervallo $[36, 40)$: 12 giorni.

• Intervallo $[40, 44)$: 3 giorni.

1. a) Giustifica perché in questo studio statistico conviene raggruppare i dati in intervalli semiaperti $[a, b)$ con la rispettiva marca di classe, invece di costruire una tabella con ogni singolo valore registrato.
2. b) Costruisci la tabella delle frequenze completa del mese, comprendendo per ogni riga: intervallo, marca di classe ($c_i$), frequenza assoluta ($f_i$), frequenza relativa ($h_i$) arrotondata a tre cifre decimali, percentuale e frequenza assoluta cumulata ($F_i$).
3. c) Si considera situazione di allerta speciale per caldo quando la temperatura massima raggiunge o supera $36\,^{\circ}\text{C}$. Utilizzando le frequenze della tabella, calcola per quanti giorni la località è stata in allerta e quale percentuale del mese ha rappresentato tale situazione.

In un negozio di videogiochi hanno condotto uno studio sul numero di periferiche (controller, tastiere, mouse) che i clienti acquistano in una sola visita. Tuttavia, parte delle informazioni della tabella delle frequenze è andata persa. Sappiamo che lo studio è stato condotto su un totale di $N = 80$ clienti.

Completa i dati mancanti nella tabella sapendo che la frequenza relativa cumulata dell'acquisto di 3 periferiche o meno è $0,875$.

Periferiche ($x_i$)	Freq. assoluta ($f_i$)	Freq. relativa ($h_i$)	Freq. assoluta cumulata ($F_i$)	Freq. relativa cumulata ($H_i$)
1	24
2
3	16
4
5	6

Un laboratorio di tecnologia sta testando la durata in ore di una nuova batteria per droni. I risultati sono stati raggruppati in una tabella di frequenze di variabile continua, ma ci hanno fornito solo i valori centrali delle classi ($x_i$) e alcune frequenze.

Si sa che tutti gli intervalli hanno la stessa ampiezza e che l'estremo inferiore del primo intervallo è $1,2$ ore. Ricostruisci la tabella completa (intervalli, valori centrali e frequenze) sapendo che la frequenza assoluta cumulata del terzo intervallo è $42$ e che il totale dei droni testati è $N = 50$.

Valore centrale ($x_i$)	Freq. assoluta ($f_i$)	Freq. assoluta cumulata ($F_i$)
$1,45$	8
$1,95$	14
$2,45$
$2,95$
$3,45$	3

Per organizzare un torneo di e-sport, l'organizzazione analizza le ore settimanali che i giovani di un club dedicano all'allenamento. La seguente tabella delle frequenze relative cumulate ($H_i$) mostra la distribuzione, ma mancano i dati delle categorie centrali.

Se sappiamo che il numero di giovani che si allenano "Da 5 a 10 ore", "Da 10 a 15 ore" e "Da 15 a 20 ore" è lo stesso, e che il club ha un totale di $120$ soci, calcola quanti soci si allenano esattamente in ciascuno degli intervalli della tabella.

Ore di allenamento	Freq. relativa cumulata ($H_i$)
$[0, 5)$	$0,15$
$[5, 10)$
$[10, 15)$	$0,65$
$[15, 20)$
$[20, 25]$	$1,00$

In uno studio sul consumo di acqua per abitazione in un complesso residenziale, sono stati ottenuti i seguenti dati di frequenze cumulate, ma sono state omesse le singole frequenze assolute.

Consumo ($m^3$)	Freq. assoluta cumulata ($F_i$)
$[0, 10)$	$12$
$[10, 20)$	$30$
$[20, 30)$	$65$
$[30, 40)$	$90$
$[40, 50]$	$100$

Si è deciso che le abitazioni che consumano più di $30 m^3$ paghino una maggiorazione. Tuttavia, dopo una verifica, si scopre che $10$ abitazioni dell'intervallo $[20, 30)$ consumavano in realtà $32 m^3$. Calcola la nuova tabella delle frequenze relative percentuali ($\%$) corretta e determina quale percentuale del totale delle abitazioni dovrà alla fine pagare la maggiorazione.

Una scuola vuole condurre un sondaggio rappresentativo sull'uso dei libri digitali. La scuola ha $400$ studenti in prima, $350$ in seconda, $300$ in terza e $250$ in quarta. Vogliono estrarre un campione di $130$ studenti mediante campionamento casuale stratificato con rappresentazione proporzionale.

Disegna la tabella della popolazione totale e, a partire da essa, costruisci la tabella delle frequenze del campione che indichi quanti studenti di ciascuna classe devono essere intervistati. Qual è la frequenza relativa degli studenti di terza nel campione rispetto a quella della popolazione totale?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stato condotto un sondaggio sul numero di animali domestici in $200$ famiglie. I risultati sono presentati nella seguente tabella incompleta delle frequenze relative ($h_i$).

N. animali domestici	$h_i$
0	$0,35$
1	$x$
2	$y$
3	$0,12$
4 o più	$0,08$

Calcola i valori di $x$ e $y$ sapendo che la media del numero di animali domestici è esattamente $1,25$ (per l'intervallo "4 o più" usa il valore $4$ come valore centrale della classe). Una volta trovati, costruisci la tabella completa delle frequenze assolute.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un comune analizza l'età degli utenti di un centro sportivo. I dati dei primi $160$ utenti sono riassunti in questa tabella delle frequenze cumulate:

Età	$F_i$
$[0, 18)$	$40$
$[18, 35)$	$95$
$[35, 60)$	$140$
$[60, 85]$	$160$

Se durante il pomeriggio si iscrivono $40$ nuovi utenti, tutti appartenenti alla fascia di età $[18, 35)$, come varia la tabella delle frequenze relative? Calcola la tabella delle frequenze relative percentuali ($\%$) risultante dopo le nuove iscrizioni e commenta come questo cambiamento ha influito sull'importanza relativa del gruppo degli over $60$ anni.

Si dispone della seguente tabella di frequenze di una variabile quantitativa discreta $X$ che rappresenta il numero di volte che un gruppo di studenti è andato al cinema questo mese. Tuttavia, le frequenze assolute $f_2$ e $f_3$ sono state cancellate.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$H_i$
0	5	5	$0,125$
1			$0,400$
2		31
3	9		$1,000$

Calcola il numero totale di dati ($N$) e le frequenze mancanti per completare la tabella. Giustifica ogni passaggio utilizzando le proprietà delle frequenze cumulate e relative.

Due scuole secondarie di uno stesso territorio vogliono confrontare l'abitudine alla lettura dei loro studenti di terza media attraverso le ore settimanali dedicate alla lettura per piacere. La scuola A ha 120 alunni di terza media e la scuola B ne ha 200 nello stesso anno. Per presentare i risultati, i docenti discutono due decisioni metodologiche fondamentali:

1. Decisione sul tipo di frequenza: Il docente della scuola A propone di confrontare direttamente le frequenze assolute ($f_i$) delle due scuole (ad esempio, quanti alunni leggono più di 4 ore a settimana). La docente della scuola B afferma che tale confronto non ha validità statistica e che è indispensabile ricorrere alle frequenze relative ($h_i$) o alle percentuali.

2. Decisione sul raggruppamento: Una parte del gruppo vuole mostrare ciascun valore intero separatamente ($0, 1, 2, \dots, 10$ ore settimanali), mentre un'altra parte propone di raggruppare i dati in intervalli di ampiezza 2: $[0, 2), [2, 4), [4, 6), \dots$

1. a) Giustifica chi ha ragione nel dibattito sul tipo di frequenza. Per farlo, inventa un caso numerico realistico con i totali delle due scuole (120 contro 200 alunni) in cui una scuola abbia una frequenza assoluta maggiore in una fascia ma una proporzione reale di lettori minore, dimostrando perché la frequenza assoluta induce in errore.
2. b) Valuta i due metodi di organizzazione della variabile: quale informazione matematica esatta si perde trasformando i dati individuali in intervalli raggruppati rappresentati dal loro valore centrale, e quale vantaggio analitico si ottiene in cambio nell'interpretare il campione complessivo?

Una delegazione dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) conduce un sondaggio sulla spesa mensile per servizi digitali e connettività su un campione di $N = 200$ famiglie di un territorio. Gli importi in euro sono stati raggruppati in quattro intervalli di uguale ampiezza: $[10, 30)$, $[30, 50)$, $[50, 70)$ e $[70, 90)$. A causa di un guasto informatico, nel rapporto finale compaiono solo i seguenti indizi statistici:

• La frequenza relativa cumulata del terzo intervallo è $H_3 = 0,90$.

• La percentuale di famiglie appartenenti alla prima fascia di spesa ($[10, 30)$) supera di 10 punti percentuali la percentuale di famiglie della fascia più alta ($[70, 90)$).

• La frequenza assoluta del secondo intervallo ($[30, 50)$) coincide esattamente con la media aritmetica delle frequenze assolute del primo e del terzo intervallo.

1. a) Imposta in modo ragionato le relazioni matematiche e le equazioni necessarie per dedurre la frequenza assoluta ($f_i$) di ciascuno dei quattro intervalli.
2. b) Con i valori ottenuti, costruisci la tabella completa della distribuzione di frequenze: intervalli, valori centrali ($c_i$), frequenze assolute ($f_i$), frequenze relative ($h_i$), frequenze assolute cumulate ($F_i$) e percentuali.
3. c) Un portavoce dei residenti afferma: «Dalla tabella risulta che esattamente 60 famiglie spendono 40 € al mese per la connettività». Analizza criticamente se questa affermazione sia necessariamente vera, falsa o indeterminabile in base alle sole informazioni della tabella, spiegando con rigore che cosa rappresenta il valore centrale della classe e quale limite presenta lavorando con dati raggruppati.