Esercizi: Rappresentazione dei dati

Classifica le seguenti variabili statistiche ottenute da un sondaggio svolto in una scuola, indicando se sono qualitative o quantitative (in quest'ultimo caso, specifica se sono discrete o continue):

1. a) Il nome del social network preferito di ciascuno studente.
2. b) Il numero di ore settimanali dedicate a giocare ai videogiochi.
3. c) L'altezza, misurata in metri, dei giocatori della squadra di basket.
4. d) Il numero di fratelli e sorelle di ciascun alunno di una classe.

Un gruppo di $20$ adolescenti ha risposto su quale sia il proprio genere cinematografico preferito. I risultati sono:

Azione, Commedia, Horror, Azione, Commedia, Fantascienza, Horror, Azione, Azione, Commedia, Horror, Fantascienza, Azione, Commedia, Horror, Azione, Azione, Fantascienza, Commedia, Azione.

Costruisci una tabella di frequenze che comprenda la frequenza assoluta ($n_i$) e realizza un diagramma a barre per rappresentare questi dati in modo chiaro.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Completa la seguente tabella di frequenze parziale sul numero di volte che un gruppo di amici è andato al cinema nell'ultimo mese:

Film ($x_i$)	Frequenza assoluta ($n_i$)	Frequenza relativa ($h_i$)	Percentuale ($\%$)
$0$	$4$	$0,20$	$20\%$
$1$	$8$
$2$	$5$	$0,25$
$3$		$0,15$	$15\%$
Totale	$20$	$1,00$	$100\%$

Il seguente diagramma a torta mostra la distribuzione dei $400$ alunni di una scuola secondo la lingua extrascolastica che hanno scelto di studiare. Osserva il grafico e rispondi:

1. a) Quale percentuale di alunni studia Tedesco?
2. b) Quanti alunni in totale studiano Inglese?
3. c) Qual è la lingua meno richiesta?

È stato registrato il tempo (in minuti) che $15$ alunni impiegano per arrivare da casa a scuola. I dati sono i seguenti:

$12, 15, 8, 22, 10, 14, 18, 25, 11, 13, 20, 9, 15, 12, 17$.

Raggruppa questi dati in una tabella di frequenze utilizzando classi di ampiezza $5$, a partire da $5$. Cioè: $[5, 10), [10, 15), \dots$

A partire dalla seguente tabella di intervalli, disegna il corrispondente istogramma delle frequenze. Assicurati che le barre siano attaccate tra loro per indicare che la variabile è continua.

Intervallo	Frequenza ($f_i$)
$[5, 10)$	2
$[10, 15)$	5
$[15, 20)$	8
$[20, 25)$	6
$[25, 30)$	3

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Un "influencer" ha annotato il numero di nuovi follower guadagnati ogni giorno durante una settimana:

Lunedì: $120$, Martedì: $150$, Mercoledì: $130$, Giovedì: $180$, Venerdì: $210$, Sabato: $250$, Domenica: $230$.

Rappresenta questa evoluzione mediante un poligono di frequenza. Per farlo, colloca i punti in un sistema di assi cartesiani (Giorno, Follower) e uniscili con segmenti.

Indica qual è il tipo di grafico statistico più adatto (Diagramma a barre, Istogramma o Diagramma a torta) per rappresentare le seguenti situazioni:

1. a) Vogliamo confrontare la percentuale di riciclo di vetro, carta e plastica in un quartiere.
2. b) Vogliamo mostrare il numero di assenze di ciascun alunno di una classe (da $0$ a $5$ assenze).
3. c) Vogliamo rappresentare il peso dei neonati in un ospedale durante un mese (dati raggruppati in intervalli).
4. d) Vogliamo confrontare le preferenze per $4$ marche diverse di bibite tra i giovani di un paese.

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In una classe di terza media state organizzando i risultati di un progetto sulle abitudini degli alunni. Avete raccolto informazioni su due diverse variabili statistiche:

• Variabile A: il mezzo di trasporto che ciascuno studente usa per andare a scuola (a piedi, autobus, bicicletta, auto di famiglia).

• Variabile B: la temperatura media esterna (in gradi Celsius) registrata nel cortile alle 11:30 ogni giorno di scuola nell'arco di tre mesi.

1. a) Per la Variabile A, un compagno propone di disegnare un istogramma con barre continue attaccate, mentre tu proponi un diagramma a barre separate. Giustifica in modo ragionato quale opzione è corretta in base alla natura della variabile.
2. b) Per la Variabile B, si discute se usare un diagramma a torta o un diagramma a linee. Confronta i due tipi di grafico e argomenta quale sia il più adatto per analizzare l'andamento e l'evoluzione delle temperature nel tempo.

In un sondaggio svolto tra i $80$ alunni di terza media di una scuola sul loro tipo di musica preferito, $20$ di loro hanno scelto la «Musica urbana». Sofia vuole rappresentare questi dati in un diagramma a torta ed esegue alla lavagna la seguente operazione per calcolare l'ampiezza del settore corrispondente:

$$\text{Angolo} = \frac{20}{80} \cdot 100 = 25^\circ$$

Sofia conclude che il settore della «Musica urbana» deve essere disegnato con un angolo di $25^\circ$.

1. a) Individua e spiega in modo ragionato l'errore concettuale commesso da Sofia. Quale grandezza ha calcolato in realtà moltiplicando per $100$?
2. b) Correggi il suo procedimento applicando la formula matematica adeguata e calcola l'angolo al centro corretto (in gradi) che deve avere il settore corrispondente alla «Musica urbana».

Un gruppo di 30 adolescenti ha annotato quante ore a settimana dedica a guardare serie sulle piattaforme di streaming. I dati ottenuti sono:

$4, 7, 5, 8, 10, 4, 6, 7, 5, 9, 12, 6, 8, 7, 5, 4, 10, 8, 7, 6, 5, 9, 11, 4, 7, 6, 5, 8, 7, 6$.

1. a) Classifica la variabile statistica.

1. b) Costruisci una tabella delle frequenze che comprenda la frequenza assoluta ($f_i$) e la frequenza relativa ($h_i$).

1. c) Rappresenta i dati mediante un diagramma a barre.

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È stato condotto uno studio sul tipo di trasporto che gli alunni di una scuola usano per andare a lezione. I risultati sono mostrati nel seguente diagramma a torta, ma alcuni dati sono stati cancellati:

• Il settore "A piedi" occupa un angolo di $144^\circ$.

• Il settore "Autobus" rappresenta il $25\%$ degli alunni.

• Gli altri alunni vengono in "Bicicletta".

1. a) Calcola la percentuale di alunni che vengono a piedi.
2. b) Determina l'angolo in gradi che corrisponde al settore "Autobus" e al settore "Bicicletta".
3. c) Se nella scuola ci sono 600 alunni, quanti vengono con ciascun mezzo?

Un club di atletica ha registrato i tempi (in secondi) dei suoi atleti in una gara dei 400 metri piani. Trattandosi di una variabile continua, i tempi sono stati raggruppati nei seguenti intervalli: $[50, 55), [55, 60), [60, 65), [65, 70)$. Le frequenze assolute sono $4, 12, 18$ e $6$ rispettivamente.

1. a) Costruisci la tabella delle frequenze comprendendo la marca di classe di ciascun intervallo.
2. b) Disegna l'istogramma delle frequenze.
3. c) Quale percentuale di atleti ha impiegato meno di un minuto ($60$ secondi) per completare la gara?

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Nel compito di italiano, i voti ottenuti da una classe terza media sono stati i seguenti:

Voti: $3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10$.

1. a) Costruisci una tabella delle frequenze con le frequenze assolute ($f_i$) e le frequenze assolute cumulate ($F_i$).

1. b) Rappresenta il diagramma a barre dei voti e, a partire da esso, il poligono delle frequenze assolute (unisci con segmenti i punti più alti delle barre).

1. c) Osservando il poligono, tra quali voti cresce la frequenza e di quanto aumenta in ciascun tratto?

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Un influencer analizza la crescita dei suoi follower su due diversi social network negli ultimi 5 mesi. I dati (in migliaia di nuovi follower al mese) sono:

• Rete A: $2, 5, 8, 12, 15$

• Rete B: $6, 7, 6, 8, 7$

1. a) Rappresenta entrambe le serie di dati nello stesso grafico a linee (poligono delle frequenze). Usa un colore diverso per ciascuna rete o un tratteggio per una delle due.
2. b) Spiega, basandoti sulla forma dei grafici, quale dei due social ha una crescita più stabile e quale ha una tendenza al rialzo più chiara.

È stato pesato lo zaino di 40 studenti all'ingresso della scuola per uno studio sulla salute. I risultati sono stati organizzati nella seguente tabella:

Peso (kg)	$[0, 2)$	$[2, 4)$	$[4, 6)$	$[6, 8)$	$[8, 10]$
Studenti ($f_i$)	$3$	$8$	$15$	$10$	$4$

1. a) Disegna l'istogramma delle frequenze.

1. b) Traccia, sullo stesso grafico, il poligono delle frequenze.

1. c) Quanti alunni hanno uno zaino che pesa $6$ kg o più? Calcola la frequenza relativa di questo gruppo (la frazione del totale che rappresenta), espressa in forma decimale.

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In un controllo di qualità di una fabbrica di lampadine intelligenti, è stata misurata la durata (in migliaia di ore) di un campione di $100$ unità. Si sa che:

• Il $20\%$ è durato tra $10$ e $15$ mila ore.

• Il $50\%$ è durato tra $15$ e $20$ mila ore.

• Il resto è durato tra $20$ e $25$ mila ore.

1. a) Costruisci la tabella delle frequenze assolute e relative.
2. b) Rappresenta l'istogramma delle frequenze relative. Che cosa rappresenta l'area di ciascun rettangolo in questo caso?
3. c) Se una lampadina è considerata "eccellente" quando dura più di $20$ mila ore, quante lampadine del campione lo sono?

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L'assessorato all'ambiente di un comune vuole rappresentare il consumo mensile di acqua delle famiglie di un quartiere. Sono stati raccolti i dati dell'ultima bolletta e sono stati classificati in metri cubi ($\text{m}^3$):

Consumo ($\text{m}^3$)	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
Famiglie ($f_i$)	$15$	$45$	$30$	$10$

1. a) Calcola la frequenza relativa cumulata ($H_i$) per ciascun intervallo.

1. b) Rappresenta i dati in un grafico delle frequenze cumulate (o ogiva).

1. c) Se il comune decide di dare un'agevolazione alle famiglie che consumano meno di $20\ \text{m}^3$, a quale percentuale della popolazione del quartiere giova questa misura?

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In uno studio sulla mobilità sostenibile in un comune italiano, si raccolgono i dati di $720$ spostamenti giornalieri di studenti: $360$ avvengono a piedi, $180$ con i mezzi pubblici, $120$ in bicicletta o monopattino elettrico e $60$ in auto privata. Questi dati verranno rappresentati in un diagramma a torta.

1. a) Prima di calcolare qualsiasi angolo esatto, stima in modo ragionato la frazione di cerchio e la percentuale che occuperà lo spostamento «a piedi» e deduci se il suo angolo sarà acuto, retto o piatto. Stima anche se il settore dei «mezzi pubblici» occuperà un quadrante esatto della circonferenza ($90^\circ$).
2. b) Utilizzando la formula $\text{Angolo} = h_i \cdot 360^\circ$ (dove $h_i$ è la frequenza relativa), calcola con esattezza l'angolo al centro in gradi per ciascuna delle quattro modalità di trasporto.
3. c) Verifica se i tuoi calcoli confermano le stime fatte al punto a) e verifica matematicamente che la somma di tutti gli angoli ottenuti coincide con l'ampiezza di una circonferenza completa.

La direzione di una biblioteca comunale ha analizzato i prestiti di libri per ragazzi effettuati nell'ultimo mese mediante un diagramma a torta. Nel rapporto finale non è stato incluso il numero totale di prestiti, ma sono riportati gli angoli al centro delle categorie registrate:

• Fumetti e manga: $144^\circ$

• Romanzi d'avventura: $108^\circ$

• Fantascienza: $72^\circ$

• Poesia e teatro: il settore restante.

Inoltre, il registro informatico indica che sono stati prestati esattamente $54$ libri di «Romanzi d'avventura».

1. a) Calcola la misura in gradi dell'angolo al centro corrispondente alla categoria «Poesia e teatro».
2. b) Determina la frequenza relativa ($h_i$) e la percentuale che ciascuna delle quattro categorie di libri rappresenta sul totale dei prestiti.
3. c) A partire dai dati precedenti, scopri quanti libri per ragazzi sono stati prestati in totale durante il mese e ricostruisci la frequenza assoluta ($f_i$) di ciascuna delle quattro categorie.

Due classi terze hanno registrato il tempo giornaliero (in minuti) dedicato ai videogiochi. I risultati sono stati rappresentati nei seguenti diagrammi a scatola.

Analizza i grafici e rispondi motivando:

1. a) Qual è il tempo massimo di gioco nel Gruppo B? E il valore del terzo quartile ($Q_3$) nel Gruppo A?
2. b) In quale gruppo i dati sono più dispersi? Usa il campo di variazione e lo scarto interquartile per giustificarlo.
3. c) Se un alunno afferma che il $75\%$ degli studenti del Gruppo B gioca più tempo della mediana del Gruppo A, ha ragione? Perché?

Un marchio di bibite ha condotto uno studio su quante lattine consuma a settimana un gruppo di adolescenti. Tuttavia, la tabella delle frequenze si è macchiata e si leggono solo alcuni dati delle frequenze relative cumulate ($H_i$):

Lattine ($x_i$)	Freq. assoluta ($f_i$)	Freq. relativa cum. ($H_i$)
0		$0,15$
1	$12$
2		$0,65$
3		$0,85$
4	$6$	$1,00$

Sapendo che la dimensione del campione è di $40$ individui:

1. a) Ricostruisci la tabella delle frequenze completa (calcolando $f_i$, $F_i$, $n_i$ e $H_i$).
2. b) Rappresenta i dati mediante un poligono delle frequenze cumulate.

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Un comune vuole conoscere l'opinione dei giovani sulle nuove piste da skate. La popolazione totale è di $12.000$ giovani, distribuiti in tre quartieri: Centro ($5.000$), Nord ($4.000$) e Sud ($3.000$). Decidono di prendere un campione rappresentativo di $600$ individui mediante un campionamento casuale stratificato.

1. a) Quanti giovani di ciascun quartiere devono essere selezionati perché il campione sia rappresentativo?
2. b) Dopo aver svolto l'indagine, risulta che il $40\%$ al Centro, il $60\%$ al Nord e il $30\%$ al Sud sono "Molto soddisfatti". Rappresenta questi risultati di soddisfazione mediante un diagramma a barre comparativo (barre affiancate).

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Osserva il seguente istogramma che rappresenta le pulsazioni a riposo di un gruppo di sportivi. Tieni conto che gli intervalli non hanno la stessa ampiezza.

In questo tipo di grafici, la frequenza è proporzionale all'area della barra, non alla sua altezza. Se nell'intervallo $[40, 50)$ ci sono $10$ sportivi:

1. a) Quanti sportivi ci sono in totale nello studio?
2. b) Costruisci la tabella delle frequenze raggruppate negli intervalli mostrati, indicando la marca di classe di ciascuno.

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Un creatore di contenuti sui social analizza la durata (in secondi) dei suoi ultimi video. I dati ottenuti sono: $15, 42, 55, 12, 18, 30, 45, 95, 110, 20, 35, 48$.

1. a) Calcola lo scarto interquartile e individua se esiste qualche valore anomalo (quelli che si trovano a una distanza maggiore di $1,5 \cdot \text{IQR}$ dai quartili).
2. b) Rappresenta il diagramma a scatola e baffi segnando chiaramente, se ci sono, i valori anomali con un punto evidenziato.

In un diagramma a torta è mostrata la distribuzione dei tipi di rifiuti raccolti in una campagna scolastica di riciclo (carta, plastica e vetro), dove il settore della carta misura $120^\circ$ e quello del vetro misura $60^\circ$. Si sa che sono stati raccolti in totale $180$ kg di rifiuti.

1. a) Calcola l'angolo corrispondente al settore "Plastica".
2. b) Calcola quanti chilogrammi di ciascun tipo di rifiuto sono stati raccolti.
3. c) Se l'anno prossimo si prevede di raddoppiare la quantità di vetro a scapito della carta, mantenendo costante il totale dei rifiuti, come cambierebbero i gradi del settore della carta?

È stato pubblicato un grafico in una notizia sull'aumento del prezzo degli affitti in una città. Alcuni critici dicono che il grafico è ingannevole perché l'asse delle ordinate non parte da zero.

1. a) Secondo il grafico, quale percentuale di aumento sembra esserci visivamente confrontando l'altezza delle barre (misurata dall'asse orizzontale)?

1. b) Calcola l'aumento percentuale reale del prezzo dell'affitto tra il 2022 ($800$ €) e il 2024 ($900$ €).

1. c) Ridisegna mentalmente (o descrivi) come cambierebbe la percezione dell'aumento se l'asse $Y$ partisse da $0$ €.

Una stazione meteorologica ha registrato le temperature massime durante il mese di novembre. Raggruppando i dati in intervalli, si è ottenuto il seguente poligono delle frequenze:

I valori dell'asse $X$ sono le marche di classe di intervalli di ampiezza $4^\circ\text{C}$.

1. a) Determina gli intervalli di temperatura che sono stati utilizzati.
2. b) Sapendo che i punti rappresentano la frequenza assoluta ($f_i$), quanti giorni ha avuto il mese di novembre secondo questa registrazione? Il totale dei giorni è corretto?
3. c) In quale intervallo di temperatura si trova la moda?

L'Agenzia Meteorologica Nazionale ha registrato la quantità di pioggia cumulata (in litri per metro quadrato, $\text{l/m}^2$) durante $50$ giornate di temporale in una zona agricola. Trattandosi di una variabile continua, i dati sono stati raggruppati nei seguenti intervalli semiaperti: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$ e $[40, 50]$. Il numero di giorni registrato in ciascun intervallo è stato $18$, $15$, $10$, $5$ e $2$, rispettivamente.

1. a) Spiega perché per modellizzare questi dati è necessario usare un istogramma con rettangoli adiacenti (attaccati) e non un diagramma a barre separate. Specifica con precisione quale grandezza si rappresenta sull'asse orizzontale ($X$) e quale sull'asse verticale ($Y$).
2. b) Per costruire il poligono delle frequenze associato, serve un punto rappresentativo di ciascun intervallo. Definisci il concetto matematico di «marca di classe», calcola il suo valore per ciascuno dei cinque intervalli e determina le coordinate cartesiane $(x, y)$ dei punti che verrebbero uniti per tracciare il poligono.
3. c) Analizza la forma del poligono delle frequenze ottenuto: la distribuzione è simmetrica rispetto al centro o presenta asimmetria? Calcola quale percentuale cumulata dei giorni di temporale ha registrato meno di $20\text{ l/m}^2$ e interpreta quale implicazione ha questa concentrazione di precipitazioni per l'uso agricolo della zona.

Un tecnico comunale dello sport deve presentare le statistiche annuali di un centro sportivo e ha proposto tre grafici preliminari per la relazione di gestione:

• Grafico 1: Un istogramma per rappresentare lo sport principale praticato dagli utenti (calcio a 5, nuoto, tennis, padel, ginnastica).

• Grafico 2: Un diagramma a barre separate per mostrare l'andamento del numero di utenti giornalieri che hanno frequentato la palestra nel corso delle $52$ settimane dell'anno.

• Grafico 3: Un diagramma a torta per rappresentare la distribuzione dei $1\,200$ soci secondo la fascia d'età: bambini ($180$ soci), giovani ($360$ soci), adulti ($480$ soci) e over 65 ($180$ soci).

1. a) Individua e spiega l'errore metodologico commesso nella scelta del Grafico 1. Giustifica perché è concettualmente scorretto usare un istogramma con quella variabile e quale tipo di grafico si deve usare al suo posto.
2. b) Confronta l'idoneità del Grafico 2 rispetto a un diagramma a linee per mostrare i dati delle $52$ settimane. Giustifica quale delle due opzioni riflette meglio la continuità temporale e permette di individuare con maggiore chiarezza i picchi di affluenza o la stagionalità.
3. c) Nel Grafico 3, calcola l'angolo al centro che corrisponde a ciascuna delle quattro fasce d'età. Argomenta se sarebbe possibile sostituire questo diagramma a torta con un istogramma delle frequenze, spiegando quale difficoltà tecnica pone il gruppo «over 65» nel definire l'ampiezza degli intervalli.