Esercizi: Parametri statistici

In uno studio sull'uso dei social network è stato chiesto a un gruppo di adolescenti quante ore al giorno dedicano a guardare video su TikTok. I risultati ottenuti sono:

$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$

Individua la popolazione dello studio e calcola la moda delle ore di utilizzo.

Sette amici confrontano il numero di messaggi non letti nella loro app di messaggistica. I dati sono i seguenti:

$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$

Calcola la media aritmetica ($\bar{x}$) del numero di messaggi in sospeso di questo gruppo.

Durante una settimana di allenamento, un'atleta ha registrato i chilometri corsi ogni giorno per preparare una gara:

$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$

Trova la mediana ($Me$) della distanza percorsa. Che significato ha questo valore in relazione al totale dei giorni di allenamento?

Nel seguente grafico sono mostrate le temperature massime registrate in un rifugio di montagna durante i primi 5 giorni di gennaio.

Sapendo che le temperature sono state $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ e $5^\circ C$, calcola il campo di variazione della temperatura in quei giorni.

Un professore ha organizzato in una tabella di frequenze il numero di errori di ortografia commessi dai suoi alunni nell'ultimo dettato:

Errori ($x_i$)	N. alunni ($f_i$)
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$6$
$3$	$4$

Calcola la media del numero di errori della classe utilizzando i dati della tabella.

Due squadre di e-sport hanno annotato i loro punteggi nelle ultime 5 partite.

• Squadra A: $85, 88, 90, 92, 95$

• Squadra B: $60, 75, 90, 105, 120$

Entrambe le squadre hanno la stessa media, $\bar{x} = 90$. Senza eseguire calcoli complessi di deviazione standard, osserva i dati e spiega quale delle due squadre è più regolare (ha meno dispersione) e perché.

È stata misurata l'altezza di un gruppo di studenti di terza media e i dati sono stati ordinati dal minore al maggiore. I valori dei quartili ottenuti sono:

$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$

1. a) Qual è il valore della mediana?
2. b) Quale percentuale di alunni è alta $172 \text{ cm}$ o meno?

Osserva la seguente rappresentazione di un insieme di dati su una retta numerica. I punti rappresentano il numero di animali domestici che hanno diversi vicini:

A partire dal grafico, scrivi l'elenco dei dati e calcola la moda ($Mo$) e il campo di variazione.

Marco vuole calcolare la mediana dei voti che ha ottenuto in sette verifiche di Matematica durante l'anno: $4$, $8$, $3$, $9$, $5$, $7$ e $2$. Nella sua verifica scrive la seguente giustificazione:

«Poiché sono $7$ voti, la mediana è il dato che occupa la posizione centrale, cioè il quarto elemento dell'elenco. Conto da sinistra a destra e il quarto numero è $9$, quindi la mediana è $Me = 9$».

1. a) Individua e spiega in modo motivato quale errore concettuale ha commesso Marco.
2. b) Senza ancora calcolarla, perché è impossibile che la mediana di quell'insieme di voti sia $9$?
3. c) Correggi il procedimento e calcola il valore reale della mediana e della moda dei suoi voti.

In una gara scolastica di atletica, un'atleta del getto del peso ha registrato nei suoi cinque tentativi le seguenti distanze (in metri): $8,1$; $8,3$; $8,0$; $8,4$ e $12,2$.

1. a) Stima: senza fare operazioni per iscritto, stima tra quali due numeri interi si collocherà la media aritmetica e motiva se pensi che la mediana sarà maggiore, minore o uguale a tale media stimata. Giustifica la risposta osservando come sono distribuiti i valori.
2. b) Verifica: calcola con esattezza la media ($\bar{x}$) e la mediana ($Me$) dei lanci.
3. c) Valuta: confronta i risultati con la tua stima iniziale. Spiega con parole tue come ha influito l'ultimo lancio ($12,2$ m) sulla media e perché ha influito appena sulla mediana.

Un gruppo di 20 adolescenti ha annotato quante volte è andato al cinema negli ultimi sei mesi. I dati ottenuti sono i seguenti:

$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$

Organizza questi dati in una tabella di frequenze e calcola gli indici di posizione centrale: la media aritmetica ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) e la moda ($Mo$). Quale ritieni rappresenti meglio il gruppo?

Due app di messaggistica, "App A" e "App B", competono per essere le più stabili. È stato misurato il tempo di risposta (in millisecondi) in 10 tentativi diversi, ottenendo i seguenti risultati:

• App A: $\bar{x} = 120$ ms; $\sigma = 15$ ms

• App B: $\bar{x} = 125$ ms; $\sigma = 5$ ms

Calcola il coefficiente di variazione ($CV$) di entrambe le app e spiega in modo ragionato quale delle due è più "affidabile" o regolare nel funzionamento per un utente.

Un club di e-sport ha registrato il tempo (in minuti) che i suoi soci impiegano per completare un livello difficile di un videogioco. I risultati sono mostrati in questa tabella di dati raggruppati:

Tempo (min)	[10, 20)	[20, 30)	[30, 40)	[40, 50)
N. giocatori	4	12	8	6

Calcola la media aritmetica e la deviazione standard della distribuzione utilizzando i valori centrali delle classi.

I voti di Lucia nei primi quattro compiti di Matematica sono stati $6,5$, $4$, $8$ e $7,5$. Se le resta ancora un quinto compito da svolgere, che voto deve ottenere affinché la sua media finale sia esattamente $7$? Giustifica la tua risposta impostando un'equazione.

È stato svolto un sondaggio sul numero di ore settimanali che gli alunni di terza media dedicano alla lettura di libri per piacere. I parametri di posizione ottenuti sono:

$Mín = 0$; $Q_1 = 2$; $Me = 4$; $Q_3 = 7$; $Máx = 12$

Disegna il corrispondente diagramma a scatola e baffi (box-plot). Se un alunno legge 6 ore alla settimana, in quale quarto della popolazione si trova (tra 0-25%, 25-50%, 50-75% o 75-100%)?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una lezione di Educazione fisica è stato misurato il tempo di recupero di due gruppi dopo una corsa. Entrambi i gruppi hanno la stessa media di pulsazioni, $\bar{x} = 85$ bpm. Tuttavia, la varianza del Gruppo 1 è $S^2 = 16$ e quella del Gruppo 2 è $S^2 = 100$.

1. a) Calcola la deviazione standard di ciascun gruppo.
2. b) In quale dei due gruppi gli alunni hanno uno stato di forma più simile tra loro? Motiva la risposta basandoti sulla dispersione.

Un negozio di abbigliamento per giovani vuole analizzare l'età dei suoi clienti. Per farlo, preleva un campione di 10 persone un sabato mattina:

$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$

1. a) Calcola il campo di variazione e l'età media.
2. b) La mediana è $15,5$ anni. Se eliminiamo il cliente di 35 anni (considerato un valore anomalo), calcola la nuova media e la nuova mediana. Quale parametro è cambiato di più? Perché pensi che accada questo?

Osserva i seguenti due insiemi di dati che rappresentano i punti ottenuti da due giocatori di basket nelle loro ultime 5 partite:

• Giocatore A: $18, 20, 22, 19, 21$

• Giocatore B: $10, 30, 5, 25, 30$

Nella figura trovi gli stessi dati rappresentati su una retta numerica (ogni punto è una partita).

Senza eseguire calcoli complessi di varianza, osserva i dati e rispondi:

1. Hanno la stessa media aritmetica?

2. Quale dei due giocatori è più "costante" nei suoi punteggi?

3. Se dovessi scegliere uno per giocare l'ultimo minuto di una finale, quale sceglieresti e perché? Usa i concetti di media e dispersione nella tua risposta.

Un gruppo di ricerca sociologica raccoglie un insieme di $5$ numeri interi positivi che corrispondono al numero di libri letti in un anno da un piccolo gruppo di studenti. I dati originali sono andati smarriti, ma nel rapporto finale sono conservati intatti i seguenti parametri:

• La moda è unica ed è uguale a $4$.

• La mediana è $5$.

• Il campo di variazione è $8$.

• La media aritmetica è $7$.

Deduci in modo ordinato e ragionato quali sono i $5$ numeri originali. Giustifica ogni passaggio spiegando quale proprietà statistica ti permette di fissare o scartare ciascuno dei valori.

Una startup di design tecnologico a Bologna ha un organico di $8$ persone. I loro stipendi mensili netti in euro sono: $1\,200$, $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,400$, $1\,450$, $1\,500$ e $6\,600$ (quest'ultimo corrisponde alla socia fondatrice).

1. a) Calcola la media aritmetica, la mediana e la moda degli stipendi.
2. b) In un'offerta di lavoro, l'azienda afferma: «Lo stipendio medio del nostro team è di $2\,000$ € al mese». I rappresentanti dei lavoratori, dal canto loro, sostengono che lo stipendio più rappresentativo si aggira sui $1\,300$ €–$1\,400$ €. Confronta i due metodi di sintesi (media contro mediana): quale descrive con maggiore fedeltà la retribuzione abituale del personale? Giustifica la risposta analizzando l'impatto dello stipendio anomalo.
3. c) Per studiare la dispersione di questi stipendi si propongono due alternative: calcolare il campo di variazione totale oppure lo scarto interquartile ($IQR = Q_3 - Q_1$). Giustifica quale delle due misure è preferibile in questo caso.

In un gruppo di $10$ amici, la media delle loro altezze è $172$ cm. Se si aggiunge al gruppo una persona alta $194$ cm, qual è la nuova media? Se poi se ne va un'altra persona alta $161$ cm, qual è la media finale del gruppo? Giustifica passo per passo come ogni cambiamento influisce sulla somma totale delle altezze per eseguire il calcolo.

Due giocatori di eSport, Alex e Bea, hanno registrato i loro punteggi nelle ultime $8$ partite di un torneo.

• Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$

• Bea: $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$

1. a) Calcola la media e la deviazione standard di entrambi i giocatori.
2. b) Utilizza il coefficiente di variazione ($CV$) per determinare quale dei due è il giocatore più regolare e affidabile per la squadra. Spiega che cosa significa in questo contesto che un giocatore abbia una deviazione standard molto più alta dell'altro se le loro medie fossero simili.

Un'azienda di spedizioni analizza il peso dei pacchi che trasporta. I dati sono stati raggruppati nella seguente tabella di frequenze per intervalli:

Peso in kg $[L_i, L_s)$	N. di pacchi ($f_i$)
$[0, 2)$	$12$
$[2, 4)$	$25$
$[4, 6)$	$38$
$[6, 8)$	$15$
$[8, 10)$	$10$

Calcola la media aritmetica, la varianza e la deviazione standard della distribuzione. Per farlo, individua prima i valori centrali delle classi ($x_i$) di ciascun intervallo.

Osserva il seguente diagramma a scatola (box-plot) che rappresenta le ore settimanali di utilizzo di un'app per cellulare in un campione di adolescenti:

Basandoti sul grafico, rispondi:

1. a) Qual è il valore della mediana, del primo quartile ($Q_1$) e del terzo quartile ($Q_3$)?
2. b) Calcola lo scarto interquartile ($RIC$).
3. c) Stabilisci se la distribuzione è simmetrica o presenta asimmetria. In quale metà dei dati c'è maggiore dispersione?

Un professore ha corretto i compiti di una classe di $25$ alunni. La media è risultata $6,4$ e la deviazione standard $1,2$. Dopo aver rivisto uno degli esercizi, decide di aggiungere $0,5$ punti a tutti gli alunni della classe.

1. a) Quali saranno la nuova media e la nuova deviazione standard?
2. b) Se invece di aggiungere una quantità fissa decidesse di aumentare tutti i voti del $10\%$, come sarebbero influenzati i due parametri? Giustifica la tua risposta basandoti sulle proprietà dei parametri statistici.

Inventa una serie di $6$ dati statistici (numeri interi positivi) che soddisfino contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. La moda è $4$.

2. La mediana è $5$.

3. Il campo di variazione è $10$.

4. La media è maggiore della mediana.

Mostra i calcoli che verificano che la tua serie soddisfa tutti i requisiti.

In una piccola azienda, gli stipendi dei $5$ dipendenti sono: $1100€, 1200€, 1250€, 1300€$ e $1400€$. Il direttore ha uno stipendio di $4500€$.

1. a) Calcola la media e la mediana degli stipendi includendo il direttore.
2. b) Quale delle due misure rappresenta meglio lo stipendio "tipico" dell'azienda? Spiega l'effetto che lo stipendio del direttore (valore estremo) produce sulla media e perché la mediana è in questo caso un parametro più robusto.
3. c) Se si vuole dare un'immagine di prosperità nella pubblicità dell'azienda, quale parametro si utilizzerebbe? Sarebbe ingannevole?

A partire da serie storiche dell'Agenzia meteorologica, sono state registrate le precipitazioni annue (in litri per metro quadrato, $\text{l/m}^2$) di due città italiane nell'arco di cinque anni rappresentativi:

• Genova: $1\,200$, $1\,300$, $1\,100$, $1\,400$, $1\,000$

• Cagliari: $200$, $150$, $300$, $100$, $250$

1. a) Calcola la media ($\bar{x}$), la varianza ($s^2$) e la deviazione standard ($s$) delle precipitazioni di ciascuna città.
2. b) Una persona afferma: «Il volume di pioggia a Genova è molto più irregolare che a Cagliari perché la sua deviazione standard è praticamente il doppio». Utilizza il coefficiente di variazione ($CV = s / \bar{x}$) espresso in percentuale per confutare o difendere con rigore matematico questa affermazione.
3. c) Giustifica perché in questo studio è metodologicamente corretto usare il coefficiente di variazione con le precipitazioni in $\text{l/m}^2$, mentre non avrebbe senso matematico applicarlo direttamente alle temperature medie annue misurate in gradi Celsius ($^\circ\text{C}$).

Una cooperativa risicola della pianura vercellese confeziona pacchi di riso il cui peso nominale è stabilito in $1\,000$ g. Per verificare la taratura di due linee di confezionamento, il controllo qualità preleva un campione di $5$ pacchi da ciascuna macchina:

• Macchina A: $995$, $1\,000$, $1\,005$, $998$, $1\,002$ (in grammi).

• Macchina B: sono stati registrati quattro pacchi con pesi di $980$, $1\,020$, $990$, $1\,010$ (in grammi), ma il peso del quinto pacco non è stato annotato per un guasto informatico.

1. a) Deduci quale deve essere il peso del quinto pacco della Macchina B affinché entrambe le linee abbiano esattamente la stessa media aritmetica di $1\,000$ g.
2. b) Con il valore dedotto, calcola la deviazione standard ($s$) e il coefficiente di variazione percentuale ($CV_{\%}$) di ciascuna delle due macchine.
3. c) Il protocollo di qualità della fabbrica richiede che il coefficiente di variazione di una confezionatrice non superi il $1\%$. Stabilisci in modo ragionato se entrambe le macchine rispettano la norma e spiega quali danni economici o commerciali subirebbe la cooperativa se usasse la macchina più dispersa, pur avendo media esattamente di $1\,000$ g.