Esercizi: Problemi con le equazioni

In un torneo di eSports, la squadra di Alex ha ottenuto il triplo dei punti della squadra di Salma. Se le due squadre insieme hanno totalizzato $152$ punti, quanti punti ha ottenuto ciascuna squadra?

Aisha ha $4$ anni più di suo fratello minore, Luca. Fra $6$ anni, la somma delle età di entrambi sarà $32$ anni. Calcola l'età attuale di ciascuno impostando un'equazione di primo grado.

Si vuole recintare un orto scolastico di forma rettangolare per proteggere le coltivazioni. Sappiamo che la lunghezza dell'orto misura $5$ metri in più della larghezza e che per circondarlo completamente sono serviti $38$ metri di recinzione. Quali sono le dimensioni dell'orto?

Un gruppo di amici compra i biglietti per un concerto. I biglietti del «parterre» costano $15$ € più di quelli della «gradinata». Se ne comprano uno per tipo e il totale della fattura è $85$ €, qual è il prezzo di ciascun biglietto?

La somma di tre pettorali di una gara, che risultano essere tre numeri interi consecutivi, è uguale a $63$. Quali numeri portano quei tre corridori sulla maglietta?

Un fattorino di un'app di consegna di cibo a domicilio porta nello zaino il doppio di pizze rispetto agli hamburger. Se in totale trasporta $12$ ordini tra pizze e hamburger, quanti ce ne sono di ciascun tipo?

Kenia ha iniziato a risparmiare per comprarsi un tablet che costa $240$ €. Ha già risparmiato $60$ € e, da ora in poi, metterà da parte $12$ € della paghetta ogni settimana. Quante settimane impiegherà ad avere abbastanza soldi per l'acquisto?

Calcola il lato di un pannello pubblicitario di forma quadrata sapendo che, se il suo lato aumentasse di $2$ metri, la sua area aumenterebbe di $16$ metri quadrati.

Per risolvere il problema: «Lucia ha $38$ anni e suo figlio Ugo ha $10$ anni. Fra quanti anni l'età di Lucia sarà esattamente il doppio di quella del figlio?», Matteo ha scritto nella sua verifica:

$38 + x = 2 \cdot 10 + x$

1. a) Spiega con parole tue i due errori concettuali commessi da Matteo nel tradurre il testo in linguaggio algebrico.
2. b) Definisci con precisione cosa rappresenta l'incognita $x$ e imposta l'equazione corretta.
3. c) Risolvi l'equazione passo per passo e verifica che la soluzione risponda in modo sensato alla domanda del testo.

Il comune di una località vuole recintare un terreno rettangolare destinato ad area cani. Per le caratteristiche del terreno, la lunghezza deve misurare esattamente il triplo della larghezza, e si dispone di un budget fisso per comprare un rotolo completo di $160\text{ m}$ di rete metallica.

1. a) Prima di calcolare, fai una stima ragionata: la larghezza potrebbe misurare $30\text{ m}$? Giustifica se con quella misura servirebbe più rete di quella disponibile, meno o la quantità esatta.
2. b) Definisci l'incognita $x$, imposta un'equazione di primo grado che rappresenti il perimetro totale e risolvila per trovare le dimensioni esatte dell'area (lunghezza e larghezza).
3. c) Verifica se il risultato ottenuto conferma la tua stima iniziale e calcola l'area totale di cui disporranno i cani per correre.

Trova tre numeri interi consecutivi tali che la somma dei primi due sia uguale al triplo del terzo meno 14 unità.

Si sta progettando una nuova area giochi rettangolare in un parco comunale. Si sa che la lunghezza dell'area deve essere $5$ metri maggiore della larghezza. Se l'area totale destinata ai giochi è $150$ $m^2$, calcola le dimensioni (lunghezza e larghezza) di tale area.

Attualmente l'età di un padre è il triplo di quella di sua figlia. Fra $12$ anni, l'età del padre sarà solo il doppio di quella della figlia. Quanti anni ha ciascuno attualmente?

Due ciclisti, Lucia e Marco, si trovano a una distanza di $60$ $km$ e decidono di incontrarsi in un punto intermedio. Lucia parte da $A$ verso Marco a velocità costante di $20$ $km/h$. Nello stesso momento, Marco parte da $B$ verso Lucia alla velocità di $10$ $km/h$. Quanto tempo impiegheranno a incrociarsi e a che distanza dal punto $A$ avverrà l'incontro?

In un negozio gourmet si vogliono mescolare due tipi di caffè. Il caffè «Arabica» costa $12$ €/kg e il caffè «Robusta» costa $8$ €/kg. Se vogliamo ottenere una miscela di $20$ $kg$ al prezzo di $10,50$ €/kg, quanti chilogrammi di ciascun tipo di caffè dobbiamo usare?

Trova un numero naturale tale che la differenza tra il suo quadrato e il suo triplo sia uguale a $40$. La soluzione di questo problema è unica nell'insieme dei numeri naturali? Giustifica la risposta impostando l'equazione corrispondente.

Un gruppo di amici vuole comprare un regalo di compleanno che costa $120$ €. All'inizio erano un certo numero di persone, ma all'ultimo momento si sono aggiunti $2$ amici, per cui ciascuno ha dovuto pagare $5$ € in meno. Quanti amici c'erano inizialmente nel gruppo?

Calcola le dimensioni di un triangolo isoscele sapendo che la base misura $4$ $cm$ in meno di ciascuno dei lati uguali e che il perimetro totale è $26$ $cm$. Una volta trovati i lati, calcola l'area del triangolo.

Un'azienda di spedizioni ecologiche che opera a Napoli offre due tariffe mensili per i negozi di vicinato:

• Tariffa Base: una quota fissa di $15\text{ \euro}$ al mese più $4,50\text{ \euro}$ per ogni spedizione effettuata.

• Tariffa Eco-Plus: senza quota fissa mensile; costa $7\text{ \euro}$ a spedizione per le prime $10$ spedizioni del mese, e riduce il prezzo a $3,50\text{ \euro}$ per ogni spedizione aggiuntiva a partire dall'undicesima.

Una libreria del quartiere il mese scorso ha spedito più di $10$ pacchi e ha verificato che la fattura finale sarebbe stata esattamente la stessa con entrambe le tariffe.

1. a) Definisci l'incognita $x$ come numero totale di spedizioni mensili e scrivi l'espressione algebrica del costo totale con ciascuna tariffa nel caso in cui $x > 10$.
2. b) Imposta e risolvi l'equazione corrispondente per scoprire quante spedizioni ha effettuato la libreria il mese scorso.
3. c) A partire dalla soluzione, spiega ai proprietari della libreria quale tariffa converrebbe sottoscrivere se prevedono che le spedizioni aumenteranno il mese prossimo.

Immagina di essere un insegnante di Matematica e di dover creare una domanda per una verifica di terza media che rispetti esattamente queste tre condizioni:

1. Deve riguardare un orto scolastico rettangolare la cui area totale sia $140\text{ m}^2$.

2. La sua lunghezza deve essere $4\text{ metri}$ maggiore della sua larghezza.

3. Deve risolversi mediante un'equazione di secondo grado che abbia una soluzione positiva e una negativa.

1. a) Scrivi il testo completo del problema con una formulazione chiara e precisa, senza risolverlo nel testo stesso.
2. b) Definisci l'incognita $x$, scrivi l'equazione di secondo grado che si ricava dal tuo testo e risolvila passo per passo.
3. c) Argomenta quale criterio geometrico gli studenti devono applicare per scartare una delle due soluzioni matematiche e determina le dimensioni finali dell'orto scolastico.

Un grafico sta lavorando al logo di una nuova azienda. Il disegno è formato da un rettangolo centrale per il nome, circondato da un bordo decorativo di spessore uniforme $x$. Il rettangolo interno ha dimensioni $12\text{ cm}$ per $8\text{ cm}$. Se l'area totale del logo (bordo incluso) deve essere esattamente il doppio dell'area del rettangolo interno, quale deve essere lo spessore $x$ del bordo?

L'età attuale di una madre è il quadrato dell'età di sua figlia. Fra $9$ anni, l'età della madre sarà solo il triplo dell'età che avrà la figlia in quel momento. Trova le età attuali di entrambe.

Due città, $A$ e $B$, distano $155\text{ km}$. Alle 10:00 un ciclista parte da $A$ verso $B$ a velocità costante di $20\text{ km/h}$. Un'ora e mezza dopo, una moto parte da $B$ verso $A$ alla velocità di $80\text{ km/h}$. A che ora si incroceranno e a che distanza dalla città $A$ avverrà l'incontro?

In un laboratorio chimico servono $20\text{ litri}$ di una soluzione acida al $25\%$. Il tecnico dispone di due taniche: una con una miscela al $10\%$ di acido e un'altra con una miscela concentrata al $50\%$. Quanti litri di ciascuna tanica deve mescolare per ottenere la concentrazione desiderata?

Mario ha vinto $1200\text{ €}$ in un concorso di programmazione e li divide in due parti da depositare in due prodotti finanziari diversi. Il primo offre un rendimento annuo del $4\%$, mentre il secondo, più rischioso, offre il $7\%$ annuo. Se alla fine dell'anno i guadagni totali sono stati $63\text{ €}$, quale somma ha destinato a ciascun prodotto?

L'area di un triangolo rettangolo è $30\text{ cm}^2$ e la sua ipotenusa misura $13\text{ cm}$. Calcola la misura dei due cateti del triangolo.

Due tubature collegate a una cisterna possono riempirla insieme in $4\text{ ore}$. Se usate separatamente, la tubatura di diametro minore impiega $6\text{ ore}$ in più della tubatura di diametro maggiore per riempire l'intera cisterna. Quanto tempo impiegherebbe ciascuna tubatura da sola?

Un allevatore in Trentino dispone di $60\text{ metri}$ di recinzione per delimitare un recinto rettangolare destinato al pascolo dei suoi vitelli. Per risparmiare materiale, sfrutterà un muro di pietra già esistente, così deve recintare solo tre lati: due lati corti uguali e un lato lungo opposto al muro. Il suo obiettivo è che il recinto abbia una superficie di $400\text{ m}^2$.

Due studenti propongono modi diversi di impostare il problema:

• Metodo A: chiamare $x$ la lunghezza del lato lungo parallelo al muro, per cui ciascuno dei due lati corti misurerà $\frac{60 - x}{2}\text{ metri}$.

• Metodo B: chiamare $y$ la lunghezza di ciascuno dei due lati corti perpendicolari al muro, per cui il lato lungo misurerà $60 - 2y\text{ metri}$.

1. a) Scrivi l'equazione di secondo grado che si ottiene con ciascun metodo per calcolare l'area ($400\text{ m}^2$).
2. b) Analizza i due metodi: quale dei due risulta algebricamente più semplice da svolgere a mano e perché? Giustifica la risposta considerando la presenza o l'assenza di denominatori.
3. c) Risolvi l'equazione usando il metodo che hai ritenuto più vantaggioso e trova le possibili dimensioni del recinto.
4. d) Interpreta il risultato: ha senso fisico che esistano due soluzioni valide per le dimensioni del recinto? Spiega la forma che avrebbe il recinto in ciascun caso.

Un consorzio di irrigazione di Bologna conserva l'acqua in un bacino rettangolare lungo $30\text{ m}$ e largo $20\text{ m}$. Per affrontare un periodo di siccità, decide di ampliare il bacino aggiungendo la stessa quantità di metri, $x$, sia alla lunghezza sia alla larghezza. La nuova superficie deve essere esattamente $936\text{ m}^2$ e, per motivi di sicurezza ambientale, la normativa del bacino vieta bacini che superino $1000\text{ m}^2$.

1. a) Prima di risolvere algebricamente, fai una stima ragionata del valore di $x$: calcola l'area se $x = 5\text{ m}$ e se $x = 10\text{ m}$, e giustifica tra quali due valori interi deve trovarsi l'ampliamento $x$.
2. b) Scrivi l'equazione di secondo grado in forma generale $ax^2 + bx + c = 0$ che modellizza la situazione e risolvila passo per passo.
3. c) Analizza le due soluzioni dell'equazione: perché una di esse non ha senso pratico? Le dimensioni finali del bacino ampliato rispettano la normativa ambientale?
4. d) Se il costo di scavo e impermeabilizzazione è $35\text{ \euro}$ per ogni metro quadrato di superficie aggiunta rispetto al bacino originale, calcola il preventivo totale necessario al consorzio.

Sfida del tema. È fattibile organizzare una mini fiera giovanile sostenibile nel tuo comune? Diventa responsabile del progetto e presenta una breve relazione di fattibilità strutturata in tre fasi:

1. Consumo e primo grado: consulta sul sito di Terna il prezzo medio del kWh di oggi. Con un costo fisso dello stand di $12,50$ € e una spesa elettrica stimata di $1,20$ €/ora, imposta e risolvi un'equazione di primo grado per calcolare quante ore puoi stare aperto con un budget di $24,50$ €.

2. Spazio e sistemi: disegna con GeoGebra o su carta un tendone rettangolare di $54\text{ m}^2$ in cui la lunghezza misuri $3\text{ m}$ in più della larghezza ($x(x+3)=54$); trova le sue dimensioni risolvendo l'equazione di secondo grado. Poi imposta un sistema lineare sapendo che ci sono $15$ stand tra cibo e laboratori ecologici, e che pagano in totale $330$ € ($30$ € e $15$ € ciascuno, rispettivamente), per calcolare quanti ce ne sono di ogni tipo.

3. Sondaggio e probabilità: chiedi a $10$ vicini se preferiscono partecipare il venerdì o il sabato. Registra i dati in un foglio di calcolo, calcola la probabilità sperimentale che un vicino preferisca ciascun giorno e scrivi la tua proposta finale motivata.

Verranno valutati:

• La precisione matematica nell'impostazione e nella risoluzione algebrica di equazioni e sistemi.

• L'ottenimento rigoroso di dati reali e il trattamento probabilistico con foglio di calcolo o GeoGebra.

• La coerenza, la chiarezza e il senso critico nelle conclusioni della relazione finale.