Esercizi: Individuazione del modello funzionale adeguato

Il grafico mostra i dati degli utenti mensili di una piattaforma di podcast durante il suo primo anno, come illustrato nella figura.

Quale di questi modelli funzionali descrive meglio l'andamento: lineare, quadratico, esponenziale o logaritmico? Giustifica la tua scelta scartando almeno due degli altri modelli.

Si misura la temperatura di una tazza di caffè ogni $5$ minuti dopo averla servita:

• a) Rappresenta i punti e spiega perché un modello lineare non è adeguato.

• b) Sapendo che la temperatura ambiente è di $22\ ^\circ$C, spiega quale tipo di modello (con quale asintoto) descrive meglio il raffreddamento.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Vero o falso, motivando la risposta con un controesempio: «Qualsiasi insieme di dati crescenti si adatta bene a un modello lineare».

Questi dati mostrano il costo di stampa di manifesti in funzione del numero di unità:

• a) Verifica che le differenze tra costi consecutivi sono costanti.

• b) Quale modello funzionale è adatto? Determina la sua espressione e calcola quanto costerebbero $100$ manifesti.

Un tecnico comunale della mobilità, Ugo, analizza l'installazione di punti di ricarica per veicoli elettrici nella sua città durante quattro trimestri consecutivi. I dati registrati sono:

Ugo afferma nella sua relazione tecnica: «Poiché tra il primo e il secondo trimestre il numero di colonnine raddoppia esattamente (da $12$ a $24$), il fenomeno risponde indubbiamente a una crescita esponenziale del tipo $y = 12 \cdot 2^{x-1}$».

1. a) Individua l'errore concettuale nel ragionamento di Ugo. Perché verificare un rapporto o quoziente in un solo intervallo non basta per concludere che una funzione è esponenziale?
2. b) Calcola le differenze prime $(\Delta y)$ tra trimestri consecutivi e individua in modo motivato quale sia il modello funzionale adeguato, indicandone l'equazione.
3. c) Valuta quale valore prevedrebbe il modello errato di Ugo per il trimestre $4$ e confrontalo con il dato reale per illustrare l'entità del suo errore.

Per tarare un simulatore di gestione aziendale, devi costruire una tabella di dati di prova per tre variabili indipendenti ($A$, $B$ e $C$) valutate negli istanti discreti $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$ e $x = 3$. Le condizioni di progetto sono le seguenti:

• Variabile $A$: parte da $y(0) = 15$ e le sue differenze prime consecutive devono essere costanti e uguali a $-3$.

• Variabile $B$: parte da $y(0) = 8$ e il quoziente tra ogni valore e il precedente, $\frac{y(x+1)}{y(x)}$, deve restare costante e uguale a $1{,}5$.

• Variabile $C$: presenta un minimo assoluto nel punto $(1, 2)$, ha differenze seconde costanti $\Delta^2 y = 4$ e soddisfa $y(0) = 4$.

1. a) Costruisci la tabella con i valori numerici delle tre variabili per $x \in \{0, 1, 2, 3\}$.
2. b) Deduci la formula analitica esplicita $y = f(x)$ che genera i dati della variabile $A$ e della variabile $B$.

La figura mostra tre nuvole di punti corrispondenti a tre fenomeni diversi, come si vede nella figura.

Associa ogni grafico a uno di questi fenomeni e al modello funzionale più adatto, giustificando ogni associazione:

• 1. Il costo medio di produzione di un'azienda in funzione del numero di unità fabbricate.
• 1. I follower di un account che cresce grazie ai consigli tra gli utenti.
• 1. La spesa mensile per i trasporti di una famiglia in funzione del numero di tragitti effettuati.

La popolazione di un piccolo paese con disponibilità limitata di abitazioni è passata da $800$ a $1.600$ abitanti in dieci anni, ma il ritmo di crescita sta rallentando man mano che le abitazioni disponibili vengono occupate (capacità massima stimata: $2.000$ abitanti).

• a) Spiega perché un modello esponenziale puro non sarebbe realistico a lungo termine.

• b) Quale modello con asintoto orizzontale sarebbe più adatto? Descrivi la sua forma e i suoi parametri qualitativi.

• c) Quale previsione a $30$ anni darebbe ciascun modello? Commenta la differenza.

Una studentessa di quinto liceo registra il numero cumulato di termini specifici di Economia ($P$) che riesce a trattenere nella memoria a lungo termine in funzione delle ore totali di studio intensivo ($t$):

1. a) Prima di eseguire calcoli formali, osserva i dati e stima qualitativamente se il rendimento marginale dello studio (termini appresi per ogni ora aggiuntiva investita) aumenta, resta costante o diminuisce con il passare del tempo. In base a questa stima iniziale, quali modelli scarteresti subito tra quello lineare e quello esponenziale?
2. b) Verifica la tua stima calcolando il tasso di variazione medio (TVM) dell'apprendimento negli intervalli $[1, 2]$, $[2, 4]$ e $[4, 8]$. Che cosa conferma questo calcolo sulla linearità del processo?
3. c) Osserva che cosa accade all'incremento di termini ogni volta che il tempo di studio cumulato raddoppia. Spiega perché un modello logaritmico del tipo $P(t) = a + b \ln t$ descrive questo fenomeno cognitivo meglio di un modello polinomiale di secondo grado e rifletti su che cosa accadrebbe alla validità del modello se $t = 100$ ore.

Un oleificio cooperativo di Foggia ha raccolto i dati delle ultime campagne per analizzare come il volume di produzione di olio extravergine d'oliva influisca sul suo utile netto mensile. La tabella seguente riporta l'utile $B(x)$ (in migliaia di euro) in base al volume di olio confezionato $x$ (in decine di migliaia di litri):

1. a) Costruisci la tabella delle differenze prime ($\Delta B$) e delle differenze seconde ($\Delta^2 B$) per i dati osservati. Giustifica, a partire da questi risultati, perché il comportamento osservato corrisponde a un modello quadratico e scarta formalmente il modello lineare e quello esponenziale.
2. b) Sapendo che per un passo costante $h=1$ la differenza seconda soddisfa $\Delta^2 B = 2a$, determina i coefficienti della parabola $B(x) = ax^2 + bx + c$ che interpola esattamente i dati.
3. c) Interpreta il significato economico del vertice della parabola: a partire da quale volume confezionato l'utile totale della cooperativa comincia a diminuire e qual è il guadagno massimo che può aspirare a ottenere?

I casi settimanali di un'epidemia influenzale in un territorio sono stati:

• a) Rappresenta i dati e spiega perché né un modello esponenziale né uno logistico descrivono l'intero processo.

• b) Proponi quale tipo di modello (o combinazione di modelli a tratti) potrebbe adattarsi a ciascuna fase del fenomeno, giustificandolo.

• c) Quale previsione ragionevole faresti per la settimana $10$?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un analista interpola i dati del consumo elettrico mensile di un comune (alto in inverno, basso in primavera e che torna a salire in estate per l'aria condizionata) con un polinomio di secondo grado.

• a) Spiega perché un modello quadratico può dare previsioni assurde a medio termine per questo fenomeno.

• b) Quale famiglia di funzioni sarebbe più adatta per un fenomeno che si ripete ogni anno? Scrivi la forma generale di tale modello e spiega il significato dei suoi parametri.

• c) Quale precauzione generale bisogna adottare quando si estrapola un qualsiasi modello adattato ai dati?

Dopo la liberalizzazione del trasporto ferroviario ad alta velocità in Italia, un gruppo di analisti dell'Autorità di regolazione dei trasporti monitora la quota di mercato del treno rispetto all'aereo in un nuovo corridoio. I dati dei primi quattro semestri successivi all'ingresso dei nuovi operatori sono:

Per prevedere l'evoluzione a medio e lungo termine (ad esempio, nel semestre $t = 10$), tre membri del gruppo propongono approcci diversi:

• Metodo 1 (Modello esponenziale): Propone $C(t) = 12 \cdot (1{,}4)^{t-1}$, sostenendo che nei primi periodi il tasso di crescita relativo è elevato e costante.

• Metodo 2 (Modello parabolico): Propone di interpolare un polinomio di secondo grado $C(t) = at^2 + bt + c$, adducendo che le differenze prime aumentano di semestre in semestre.

• Metodo 3 (Modello logistico o con tetto): Propone una funzione del tipo $C(t) = \dfrac{M}{1 + a e^{-kt}}$, dove $M$ rappresenta la quota massima teorica raggiungibile nel corridoio (ad esempio, $M = 85\%$).

1. a) Dimostra analiticamente l'inadeguatezza del Metodo 1 a medio termine calcolando la quota che prevederebbe per il semestre $t = 8$ e spiegando l'incongruenza che emerge nel contesto del problema.
2. b) Spiega perché il Metodo 2, pur potendosi adattare bene ai primi quattro punti, fallirà concettualmente sia a lungo termine se i rami della parabola sono rivolti verso $+\infty$, sia se lo si forza ad avere un vertice di massimo poco dopo $t=4$.
3. c) Sostieni in modo motivato perché il Metodo 3 è l'unico dei tre con un fondamento strutturale per modellizzare la penetrazione di un mercato chiuso. Nella tua giustificazione, analizza il cambio di concavità (flesso) e la presenza dell'asintoto orizzontale in relazione alla saturazione della domanda.

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) raccoglie i dati sulla popolazione residente in un comune di una zona dell'Appennino, colpita intensamente dallo spopolamento rurale negli ultimi decenni:

(Il valore di $2020$ è arrotondato al numero intero di persone più vicino).

1. a) Analizza rigorosamente se la perdita di popolazione segue un andamento lineare, quadratico o esponenziale decrescente. Per farlo, calcola e confronta sia le differenze consecutive sia i quozienti consecutivi tra periodi regolari di 5 anni.
2. b) Ricava l'espressione analitica del modello funzionale $P(t) = P_0 \cdot b^t$, dove $t$ è il numero di anni trascorsi dall'anno $2000$.
3. c) Durante il consiglio comunale del 2020, un consigliere sostiene: «Tra il 2000 e il 2020 abbiamo perso in media circa $118$ persone all'anno; se continuiamo a perdere esattamente lo stesso numero ogni anno, nell'anno $2034$ il paese avrà $0$ abitanti (spopolamento totale)». Individua quale modello matematico sta usando implicitamente il consigliere, spiega perché la sua ipotesi è incoerente con la tendenza reale dei dati e deduci che cosa prevede in realtà il tuo modello esponenziale per l'anno $2034$ e per il limite a lungo termine ($t \to +\infty$).

Sfida del tema. Può una funzione prevedere il comportamento del mercato energetico? Come analista socioeconomico, modellizzerai la domanda di potenza elettrica in funzione dell'ora del giorno con dati reali di Terna.

1. Campionamento e stima: Accedi al portale di Terna e preleva un campione casuale semplice di $n=10$ registrazioni orarie di consumo in un giorno feriale. In un foglio di calcolo, calcola la media campionaria $\bar{x}$ e la varianza campionaria corretta $s^2_{n-1}$, spiegando perché $\bar{x}$ è uno stimatore non distorto della domanda media giornaliera.

2. Individuazione del modello: Inserisci i dati in GeoGebra e scegli la funzione $f(t)$ più coerente (ad esempio, una semplice funzione razionale $f(t)=\frac{a\cdot t}{t^2+b}$ o polinomiale) per descrivere la tendenza osservata.

3. Studio analitico: Determina sul quaderno il dominio di definizione contestualizzato, le intersezioni con gli assi, la simmetria, gli intervalli di monotonia con i relativi estremi relativi e i rami infiniti (asintoti) di $f(t)$.

4. Relazione finale: Redigi una relazione di una pagina che confronti la curva analitica con la nuvola di punti e valuti la validità del modello asintotico rispetto alla realtà socioeconomica stimata.

Verrà valutato:

• Correttezza nel calcolo degli stimatori campionari, della distorsione e della varianza campionaria corretta.

• Giustificazione motivata del modello funzionale scelto rispetto al campione.

• Rigore matematico nello studio analitico (dominio, intersezioni, monotonia e asintoti).

• Chiarezza e senso critico nell'interpretazione della relazione finale.