Esercizi: Curvatura e rappresentazione completa di funzioni

Data la funzione $f(x) = x^3 - 6x^2$, utilizza la derivata seconda per determinare:

1. Gli intervalli di concavità e convessità.

2. Le coordinate del punto di flesso.

Data la funzione $f(x) = x^4 - 6x^2$:

• a) Calcola la sua derivata seconda.

• b) Determina gli intervalli di concavità ($\cap$) e convessità ($\cup$).

• c) Trova le coordinate dei suoi punti di flesso.

La figura mostra il grafico di una funzione polinomiale di terzo grado, come si vede nella figura.

A partire dal grafico, e senza conoscere la formula:

• a) Indica gli intervalli di crescenza e decrescenza.

• b) Indica dove si trovano un massimo e un minimo relativo.

• c) Indica gli intervalli di concavità e convessità e dove si trova il punto di flesso.

Vero o falso, motivando la risposta: «Se $f''(2) = 0$, allora $f$ ha un punto di flesso in $x = 2$». Illustra la tua risposta con la funzione $f(x) = x^4$ in $x = 0$.

La temperatura di un liquido in un esperimento segue, in gradi Celsius, la funzione $T(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1$, con $t$ in ore e $0 \leq t \leq 4$.

• a) Studia in quali intervalli la temperatura sale e in quali scende.

• b) Trova il punto di flesso e interpreta che cosa accade alla velocità di variazione della temperatura in quell'istante.

Disegna il grafico approssimativo di una funzione continua definita su tutto $\mathbb{R}$ che sia crescente e concava ($\cap$) in tutto il suo dominio. Verifica che la funzione $f(x) = -e^{-x}$ soddisfa tali condizioni calcolando le sue prime due derivate.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Disegna, per ciascun caso, il grafico approssimativo di una funzione che soddisfi quanto indicato:

• a) Crescente e convessa ($\cup$) in tutto il suo dominio.

• b) Decrescente e concava ($\cap$) in tutto il suo dominio.

• c) Crescente fino a $x = 1$, decrescente da $x = 1$, e convessa in tutto il suo dominio.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sia data la funzione $f(x) = x + e^{-x}$.

• a) Calcola $f'$ e $f''$.

• b) Dimostra che la funzione è convessa ($\cup$) in tutto $\mathbb{R}$.

• c) Trova il suo unico estremo relativo e classificalo.

Marco deve trovare i punti di flesso della funzione $f(x) = (x - 3)^4 + 2x - 1$. Nel suo compito scrive il seguente svolgimento:

«Calcolo la derivata prima: $f'(x) = 4(x - 3)^3 + 2$.

Calcolo la derivata seconda: $f''(x) = 12(x - 3)^2$.

Pongo uguale a zero per cercare il flesso: $12(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3$.

Quindi il grafico della funzione presenta un punto di flesso in $(3, f(3)) = (3, 5)$».

1. Spiega in modo motivato l'errore concettuale commesso da Marco. Perché la condizione $f''(x_0) = 0$ è necessaria ma non sufficiente per assicurare l'esistenza di un punto di flesso?

2. Correggi l'esercizio studiando con rigore il segno di $f''(x)$ su tutta la retta reale e determina la curvatura (intervalli di concavità e convessità) della funzione. Esiste infine qualche punto di flesso?

Una cooperativa agricola di Bari modellizza la produzione attesa di limoni $Q(x)$ (in tonnellate) in funzione della spesa in fertilizzanti biologici $x$ (in centinaia di euro) mediante la funzione:

La direzione tecnica vuole giustificare che la funzione presenta rendimenti decrescenti in tutto il suo dominio (cioè che ogni euro investito apporta un incremento di raccolto minore dell'euro precedente). Due membri del team propongono due strade diverse:

• Metodo A: Calcolare i valori $Q(0), Q(1), Q(2), \dots, Q(10)$ e verificare che gli incrementi consecutivi $\Delta Q = Q(x+1) - Q(x)$ diminuiscono.

• Metodo B: Calcolare analiticamente la derivata seconda $Q''(x)$ e determinare il suo segno nell'intervallo $(0, 10)$.

• Applica il Metodo B determinando il segno di $Q''(x)$ e indica se la funzione è concava o convessa.

• Confronta i due metodi e giustifica quale dei due è preferibile dal punto di vista matematico per dimostrare con validità generale la proprietà in un intervallo continuo.

Un analista finanziario studia l'andamento del profitto atteso di una startup tecnologica (in migliaia di euro) mediante la funzione $f(x) = \frac{4x^2}{x^2+4}$, dove $x$ rappresenta il tempo in anni dalla fondazione ($x \ge 0$).

Esegui uno studio completo della funzione analizzando:

1. Dominio e intersezioni con gli assi.

2. Asintoti e posizione della curva rispetto ad essi.

3. Intervalli di crescenza, decrescenza ed esistenza di massimi o minimi.

4. Curvatura (concavità e convessità).

5. Disegna un grafico approssimativo della funzione basandoti sui dati precedenti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stata monitorata la temperatura di una reazione chimica durante i primi 6 minuti. La funzione che descrive la temperatura (in $^\circ C$) è $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 40$.

Studia la funzione nell'intervallo $t \in [0, 6]$ indicando:

1. In quali istanti la temperatura aumenta e in quali diminuisce?

2. Trova la temperatura massima e minima raggiunta in tale intervallo.

3. Determina il momento in cui la velocità di variazione della temperatura cambia tendenza (punto di flesso).

4. Disegna il grafico.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Disegna il grafico di una funzione $f(x)$, continua in $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, che soddisfi contemporaneamente tutte le seguenti condizioni:

• $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ e $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

• Ha un asintoto verticale in $x = 2$, tale che $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ e $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$.

• Passa per il punto $(0, 4)$.

• Ha un minimo relativo nel punto $(4, 1)$.

• È convessa ($\cup$) nell'intervallo $(-\infty, 2)$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Considera la funzione $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$.

1. Determina il suo dominio di definizione (stabilisci se è tutto $\mathbb{R}$).

2. Studia se presenta qualche tipo di simmetria.

3. Trova gli intervalli di crescenza e decrescenza e le coordinate dell'estremo relativo.

4. Studia la curvatura e i punti di flesso.

5. Disegna un grafico approssimativo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sia data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{4x}{x+2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Studia la continuità in $x = 0$.

1. b) Per il primo tratto ($x \le 0$), trova il vertice della parabola e i punti di intersezione con gli assi.

1. c) Per il secondo tratto ($x > 0$), trova i suoi asintoti.

1. d) Rappresenta graficamente la funzione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La figura mostra il grafico di una funzione con il suo punto di flesso evidenziato, come si vede nella figura.

• a) Indica gli intervalli di concavità e convessità della funzione.

• b) Abbozza il segno della derivata seconda in ciascun intervallo.

• c) Spiega che cosa accade al coefficiente angolare della curva passando per il punto di flesso.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Le riproduzioni settimanali di una canzone appena pubblicata seguono il modello $S(t) = t \cdot e^{-t/2}$ (in migliaia), con $t \geq 0$ in settimane.

• a) Trova la settimana con più riproduzioni e calcola tale massimo.

• b) Studia il comportamento a lungo termine (asintoto orizzontale) e interpretalo.

• c) Studia la curvatura: quando la diminuzione delle riproduzioni inizia ad attenuarsi?

• d) Disegna il grafico completo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Esegui lo studio completo della funzione $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ e rappresentala: dominio, intersezioni con gli assi, asintoti (verticali e obliquo), intervalli di monotonia, estremi relativi, curvatura e grafico.

Uno studio dell'ISTAT sulla digitalizzazione nei piccoli comuni rurali modellizza la proporzione di famiglie $P(t)$ (in frazione dell'unità) che dispongono di connessione in fibra ottica dopo $t$ mesi dall'inizio della posa mediante la funzione:

1. Stima: Prima di calcolare derivate:

a) Stabilisci a quale proporzione massima di copertura tenderà il comune a lungo termine (quando $t \to \infty$).

b) Stima se il ritmo dei nuovi allacciamenti mensili sarà sempre maggiore o sempre minore col passare del tempo (effetto di saturazione). Sulla base di questa intuizione, ti aspetti che la funzione sia concava ($\cap$) o convessa ($\cup$)?

1. Verifica:

a) Calcola l'asintoto orizzontale di $P(t)$ mediante il limite corrispondente e confrontalo con la tua stima.

b) Calcola la derivata prima e la derivata seconda di $P(t)$. A partire dal segno di $P''(t)$, verifica formalmente la curvatura della funzione e interpreta il risultato in termini di rendimenti decrescenti della posa.

Un'azienda di commercio elettronico con sede a Bologna analizza la relazione tra il budget giornaliero destinato alla pubblicità digitale $x$ (in centinaia di euro, con $0 \le x \le 8$) e il numero di vendite giornaliere ottenute $V(x)$, secondo la funzione:

1. Determina gli intervalli in cui la funzione è convessa (rendimenti marginali crescenti, dove ogni euro aggiuntivo produce un incremento di vendite sempre maggiore) e in cui è concava (rendimenti marginali decrescenti o saturazione).

2. Calcola le coordinate esatte del punto di flesso della funzione e interpreta il suo significato economico: perché questo punto è chiamato «punto di massima efficienza marginale» dell'investimento?

3. Un dirigente propone: «Per ottenere la massima redditività pubblicitaria, dobbiamo investire esattamente la quantità che produce il massimo assoluto di vendite giornaliere». Giustifica mediante lo studio di $V'(x)$ e $V''(x)$ perché questa affermazione confonde il volume massimo con la maggiore efficienza della spesa.

Un'azienda di biotecnologie ha modellizzato la crescita di una popolazione di batteri in un ambiente controllato mediante la funzione $P(t) = 10 \cdot t^2 \cdot e^{-0,5t}$, dove $P$ è il numero di batteri in migliaia e $t$ è il tempo in giorni dall'inizio dell'esperimento ($t \geq 0$).

Esegui uno studio completo della funzione che includa:

1. Punti di intersezione con gli assi.

2. Comportamento a lungo termine (asintoti orizzontali).

3. Intervalli di crescita e decrescita, determinando in quale momento la popolazione è massima.

4. Intervalli di concavità e convessità, individuando i punti di flesso in cui il ritmo di crescita inizia a diminuire.

5. Schizzo grafico dell'evoluzione della popolazione.

Data la funzione $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - k}$, si chiede:

1. a) Trova il valore di $k$ affinché la funzione abbia un punto di flesso in $x = \sqrt{3}$.
2. b) Per $k = 1$, esegui l'analisi completa della funzione: dominio, simmetria, asintoti (verticali e obliqui), estremi relativi e curvatura.
3. c) Disegna il grafico specificando la posizione della curva rispetto ai suoi asintoti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Considera la funzione con valore assoluto $f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x}$.

1. Esprimi la funzione come funzione definita a tratti.

2. Studia la continuità e la derivabilità della funzione in tutto il suo dominio.

3. Determina gli asintoti e la posizione della curva rispetto ad essi.

4. Trova gli intervalli di monotonia e gli estremi relativi.

5. Esegui una rappresentazione grafica precisa, prestando particolare attenzione ai punti in cui la funzione cambia definizione.

Uno studio di mercato indica che il guadagno mensile $B(x)$ (in migliaia di euro) di un'app per smartphone dipende dalla spesa in pubblicità $x$ (in migliaia di euro) secondo la funzione:

$B(x) = \ln(x^2 - 2x + 5) - \dfrac{x}{4}$ per $x \in [0, 10]$.

Studia la fattibilità della spesa pubblicitaria seguendo questi passi:

1. a) Giustifica il dominio della funzione nel contesto del problema.
2. b) Trova la spesa pubblicitaria che massimizza il profitto.
3. c) Studia se esistono intervalli di "rendimenti decrescenti", cioè dove la funzione è concava ($\cap$).
4. d) Disegna il grafico della funzione profitto nell'intervallo dato.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 1}}$, esegui uno studio completo per la sua rappresentazione grafica:

1. a) Determina il dominio di definizione (attenzione agli intervalli in cui il quoziente è negativo).

1. b) Analizza le simmetrie della curva.

1. c) Calcola gli asintoti orizzontali e verticali, studiando il comportamento della funzione nelle loro vicinanze.

1. d) Trova gli intervalli di crescenza e decrescenza. Esistono massimi o minimi relativi?

1. e) Disegna il grafico della funzione a partire dai risultati precedenti (includi anche i punti di intersezione con gli assi).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina una funzione polinomiale di terzo grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti condizioni:

• Ha un punto di flesso in $I(0, 1)$.

• La retta tangente al grafico in tale punto di flesso è $y = -3x + 1$.

• Presenta un estremo relativo in $x = 1$.

Dopo aver trovato l'espressione della funzione, esegui il suo studio completo (intersezioni, estremi, curvatura) e rappresentala graficamente.

La figura mostra il grafico completo di una funzione, come si vede nella figura.

A partire dal grafico, esegui il suo studio completo:

• a) Dominio e punti di intersezione con gli assi.

• b) Asintoti e rami infiniti.

• c) Intervalli di monotonia ed estremi relativi.

• d) Intervalli di concavità e convessità e punti di flesso.

• e) Proponi una possibile espressione analitica per la funzione e giustifica che è compatibile con tutto ciò che si osserva.

Determina i coefficienti $a$ e $b$ della funzione $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ sapendo che ha un punto di flesso nel punto $(1, 2)$.

• a) Imposta le condizioni che devono essere soddisfatte e trova $a$ e $b$.

• b) Con la funzione ottenuta, esegui il suo studio completo: intersezioni con gli assi, monotonia, estremi, curvatura e grafico.

Si vogliono determinare i coefficienti di una funzione polinomiale di terzo grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ destinata a modellizzare un ciclo economico. Si dispone delle seguenti informazioni sulla sua rappresentazione grafica:

1. Il grafico presenta un punto di flesso in $I(1, 4)$.

2. La retta tangente alla curva in tale punto di flesso è $y = -3x + 7$.

3. La funzione ha un estremo relativo in $x = 0$.

1. a) Imposta un sistema di equazioni lineari con le condizioni date e determina in modo motivato i valori dei parametri $a$, $b$, $c$ e $d$.
2. b) Con la funzione ottenuta, studia gli intervalli di concavità e convessità e classifica l'estremo relativo situato in $x = 0$ (massimo o minimo) utilizzando il criterio della derivata seconda.
3. c) Spiega teoricamente se qualsiasi funzione polinomiale di terzo grado $P(x) = \alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta$ (con $\alpha \ne 0$) ha sempre obbligatoriamente un unico punto di flesso su tutta la retta reale, oppure se potrebbe averne più di uno o nessuno.

La potenza di carica $P(t)$ (in kW) che la batteria di un veicolo elettrico ammette in una stazione di ricarica ultraveloce dipende dal tempo trascorso $t$ (in minuti, per $0 \le t \le 60$) secondo la seguente funzione definita a tratti:

1. Studia la continuità e la derivabilità di $P(t)$ nel punto di cambio di regime $t = 20$. Il grafico presenta una retta tangente unica in quell'istante o forma un punto angoloso?

2. Trova l'espressione della derivata seconda $P''(t)$ in ciascuno dei tratti e determina la concavità e la convessità della curva in $(0, 20)$ e in $(20, 60)$.

3. Stabilisci formalmente se il punto $(20, P(20))$ è un punto di flesso della funzione, analizzando se sono soddisfatti rigorosamente i requisiti teorici (continuità, esistenza della retta tangente e cambio di curvatura), tenendo conto che la derivata seconda non è definita in $t = 20$.

4. Interpreta l'andamento della ricarica: in quale intervallo la perdita di potenza accelera e in quale il ritmo di diminuzione si attenua tendendo a stabilizzarsi?