Esercizi: Asintoti e rami infiniti

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$, esegui il seguente studio:

1. a) Individua il suo asintoto verticale.

1. b) Calcola il limite della funzione quando $x$ tende a $+\infty$ per trovare il suo asintoto orizzontale.

Si sta monitorando la velocità di download di un file in Megabyte al secondo (MB/s). La funzione che descrive la velocità dopo $t$ secondi è:

$v(t) = \frac{10t}{t + 5}$

Trova i rami infiniti calcolando il limite quando $t \to +\infty$. A quale valore si stabilizza la velocità di download a lungo termine?

Analizza e disegna lo schizzo della funzione $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ seguendo questi passi:

1. a) Trova il dominio.

1. b) Verifica se ha simmetria.

1. c) Determina se esistono asintoti orizzontali.

1. d) Con le informazioni precedenti, esegui un disegno approssimativo del grafico.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Considera una funzione $f(x)$ che soddisfa le tre caratteristiche seguenti:

1. Presenta un asintoto verticale in $x = 0$.

2. È una funzione sempre crescente nel suo dominio.

3. Interseca l'asse $X$ nel punto $(1, 0)$.

Proponi un'espressione analitica semplice (formula) che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni e verifica che ciascuna di esse sia soddisfatta.

La figura mostra il grafico di una funzione razionale e i suoi due asintoti, come si vede nella figura.

• a) Leggi dal grafico il dominio della funzione.

• b) Scrivi le equazioni dell'asintoto verticale e dell'asintoto orizzontale.

• c) Indica la posizione della curva rispetto all'asintoto orizzontale in ciascun ramo.

Calcola gli asintoti verticali e orizzontali della funzione $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$, scrivendo i limiti che li giustificano.

Sia la funzione $f(x) = e^x + 2$.

• a) Ha asintoti verticali? Perché?

• b) Calcola $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ e deduci il suo asintoto orizzontale.

• c) Il grafico sta sopra o sotto quell'asintoto? E che cosa succede quando $x \to +\infty$?

Vero o falso, motivando la risposta con un esempio: «Ogni funzione razionale ha almeno un asintoto verticale».

Per la funzione razionale $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$, Marco afferma nel suo compito di Matematica: «Poiché i valori che annullano il denominatore sono $x = 2$ e $x = 3$, la funzione ha due asintoti verticali: le rette $x = 2$ e $x = 3$».\na) Individua l'errore concettuale commesso da Marco e spiega perché la sua affermazione è falsa.\nb) Determina quali sono i veri asintoti verticali e orizzontali della funzione, calcolando i limiti laterali necessari per giustificare il comportamento del grafico nei punti critici.

Un rapporto della Banca d'Italia analizza la diffusione del sistema di pagamento Satispay tra le persone con più di 65 anni in una regione. L'evoluzione della percentuale di utenti in questo gruppo è modellizzata dalla funzione:\n$$P(t) = 85 \cdot (1 - e^{-0,3t})$$\ndove $t \ge 0$ è il tempo trascorso in anni dall'inizio delle campagne di digitalizzazione e $P(t)$ rappresenta la percentuale di penetrazione sul totale del gruppo.\na) Verifica se la funzione ha qualche asintoto verticale nel suo dominio.\nb) Calcola l'asintoto orizzontale della funzione giustificando il calcolo del limite per $t \to +\infty$.\nc) Interpreta il significato socioeconomico del valore ottenuto per l'asintoto: secondo questo modello, si raggiungerà mai il $100\,\%$ di adozione in questo gruppo? E l'$85\,\%$? Motiva la risposta.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{ax+b}{x-3}$, determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che:

• La funzione ha un asintoto orizzontale in $y = 2$.

• Il grafico della funzione passa per il punto $P(1, -1)$.

Una volta trovati $a$ e $b$, studia la monotonia della funzione e verifica se ha punti singolari.

Uno studio sociologico sulla diffusione di una voce in una comunità di studenti segue la funzione $P(t) = 100(1 - e^{-0,2t})$, dove $P$ è la percentuale di persone che conoscono la voce e $t$ è il tempo in ore ($t \ge 0$).

1. Calcola la percentuale iniziale di persone che conoscono la voce.

2. A quale valore tende la percentuale di persone col passare del tempo? Interpreta il risultato in termini di asintoti.

3. Giustifica, mediante la derivata prima, che la voce si diffonde sempre (la funzione è crescente).

4. In qualche momento cambia la curvatura della funzione? Motiva la risposta.

Studia i rami infiniti e l'esistenza di asintoti della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x+2}$.

1. Trova l'equazione dell'asintoto obliquo.

2. Determina la posizione della curva rispetto a tale asintoto quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

3. Trova i punti del grafico in cui la tangente è parallela all'asintoto obliquo.

4. Esegui un disegno approssimativo degli asintoti e della funzione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La figura mostra il grafico della funzione $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2}$ e il suo asintoto obliquo, come si vede nella figura.

• a) Trova analiticamente l'equazione dell'asintoto obliquo calcolando $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx)$.

• b) Esegui la divisione tra il numeratore e il denominatore e verifica di ottenere lo stesso risultato.

• c) Studia la posizione della curva rispetto all'asintoto obliquo quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Sia la funzione $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$.

• a) Ha asintoti verticali? Motiva la risposta.

• b) Ha un asintoto orizzontale? Calcolalo se esiste.

• c) Trova il suo asintoto obliquo e studia la posizione della curva rispetto ad esso.

Una funzione $f$ soddisfa $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$, come si vede nella figura con due possibili grafici.

• a) Quale dei due grafici, quello del pannello A o quello del pannello B, può corrispondere a $f$? Motiva la scelta verificando ciascuno dei tre limiti.

• b) Scrivi le equazioni degli asintoti di $f$.

• c) Proponi una formula semplice per una funzione che soddisfi queste tre condizioni.

Studia i rami infiniti della funzione $f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x + 1}$: asintoto verticale, asintoto obliquo e posizione della curva rispetto a quest'ultimo in $+\infty$ e in $-\infty$.

Il costo medio di produzione di una rivista indipendente è $C(x) = \frac{500 + 2x}{x}$ euro per copia, dove $x$ è il numero di copie stampate.

• a) Trova l'asintoto orizzontale di $C(x)$ e interpretalo: perché il costo medio non può scendere sotto un certo valore?

• b) Che cosa succede al costo medio quando si stampano pochissime copie? Collegalo all'asintoto verticale.

• c) Ha senso parlare di asintoto obliquo in questa funzione? Giustificalo.

Progetta l'espressione algebrica semplificata di una funzione razionale della forma $f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + c}{x^2 + d x + e}$ che soddisfi contemporaneamente le quattro condizioni seguenti:\n1. Ha un asintoto verticale nella retta $x = 3$.\n2. Presenta una discontinuità eliminabile in $x = -2$ (cioè il denominatore si annulla in $x = -2$, ma la funzione non ha un asintoto verticale in quel punto).\n3. Ha un asintoto orizzontale nella retta $y = 2$.\n4. Il suo grafico interseca l'asse delle ordinate nel punto $(0, 4)$.\n\nSpiega con chiarezza il ragionamento seguito per dedurre i fattori del numeratore e del denominatore, e verifica mediante il calcolo formale dei limiti che la tua funzione soddisfa la condizione dell'asintoto verticale e di quello orizzontale.

Considera la funzione razionale $f(x) = \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x + 2}$.\nPer trovare il suo asintoto obliquo $y = m x + n$, due studenti propongono strade diverse:\n- Metodo 1 (Limiti generali): Calcolare $m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ e poi $n = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big(f(x) - m x\big)$.\n- Metodo 2 (Divisione tra polinomi): Dividere il polinomio del numeratore per quello del denominatore per esprimere la funzione come $\text{quoziente} + \dfrac{\text{resto}}{\text{divisore}}$.\n\na) Applica entrambi i metodi esponendo tutti i passaggi e verifica che si ottiene la stessa retta.\nb) Giustifica quale dei due metodi risulta più efficiente nelle funzioni razionali e spiega quale informazione aggiuntiva immediata fornisce il resto della divisione riguardo alla posizione relativa della curva rispetto all'asintoto quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Sia la funzione razionale $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x - 2}$. Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che la funzione ha un asintoto obliquo che passa per il punto $(0, 2)$ e che presenta un estremo relativo nel punto di ascissa $x = 0$. Una volta trovati $a$ e $b$, esegui lo studio completo della funzione (dominio, intersezioni con gli assi, asintoti, intervalli di crescita e decrescita, ed estremi) e rappresentala graficamente.

Analizza e rappresenta graficamente la funzione $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 - 3x}$. Nel tuo studio devi includere:

1. Dominio e punti di discontinuità.

2. Limiti infiniti e asintoti verticali.

3. Asintoti orizzontali e rami parabolici (studiando il comportamento sia per $+\infty$ sia per $-\infty$).

4. Calcolo della derivata prima per trovare gli intervalli di monotonia e gli estremi relativi.

5. Schizzo del grafico indicando tutti gli elementi trovati (fallo a mano sul quaderno o con lo strumento che preferisci).

Sia la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$.

• a) Determina il suo dominio e il suo asintoto verticale, studiando i limiti laterali.

• b) Trova l'asintoto obliquo e studia la posizione della curva rispetto ad esso in $+\infty$ e in $-\infty$.

• c) Calcola i punti di intersezione con gli assi e disegna il grafico completo con i suoi asintoti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La figura mostra il grafico di una funzione con un asintoto verticale e un asintoto obliquo, come si vede nella figura.

• a) Deduci dal grafico il suo dominio e le equazioni dei suoi asintoti.

• b) Proponi una funzione razionale il cui grafico possa essere quello della figura e verifica che i suoi asintoti coincidono con quelli che hai dedotto.

Sia la funzione $f(x) = x \cdot e^{1/x}$ per $x > 0$.

• a) Studia il suo comportamento quando $x \to 0^+$.

• b) Dimostra che ha un asintoto obliquo quando $x \to +\infty$ e trova la sua equazione (suggerimento: calcola prima $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ e ricorda che $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$).

Sia la funzione $f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

• a) Studia il ramo infinito quando $x \to 0^+$. Di che tipo è?

• b) Studia il ramo infinito quando $x \to +\infty$, sapendo che $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. Quale asintoto compare?

• c) In quale punto il grafico interseca quell'asintoto? Ragiona se è contraddittorio che una curva intersechi il proprio asintoto orizzontale.

Determina il valore di $b$ affinché la funzione $f(x) = \frac{x^2 + a}{x + b}$ abbia un asintoto verticale in $x = 3$ e un asintoto obliquo di equazione $y = x + 3$.

• a) Imposta le condizioni che devono essere soddisfatte e trova $b$.

• b) Quale condizione deve verificare $a$ affinché l'asintoto verticale esista davvero (cioè affinché la discontinuità non sia eliminabile)?

• c) Scegli un valore valido di $a$ e verifica i due asintoti.

Confronta il comportamento all'infinito di $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$ e $g(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

• a) Studia i rami infiniti di $f$ in $+\infty$ e in $-\infty$, indicando di che tipo è ciascun ramo (puoi usare che l'esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi potenza).

• b) Fai lo stesso con $g$.

• c) Spiega, alla luce dei risultati, perché si dice che «l'esponenziale vince sempre sulle potenze».

Una piattaforma logistica situata a Bologna (interporto) studia il costo medio per pacco lavorato $\overline{C}(x)$ (in euro) in funzione del volume giornaliero di spedizioni $x$ (misurato in centinaia di pacchi, con $x > 0$), secondo il modello:\n$$\overline{C}(x) = \dfrac{0,2x^2 + 4x + 80}{x}$$\n\na) Stima: Prima di calcolare qualsiasi asintoto, rispondi in modo argomentato a queste due domande intuitive:\n - Se l'attività giornaliera è praticamente nulla ($x \to 0^+$), è logico che il costo unitario tenda a stabilizzarsi o che salga verso l'infinito? Mettilo in relazione con il peso dei costi fissi.\n - Se il volume giornaliero cresce indefinitamente ($x \to +\infty$), il costo medio per pacco tenderà a zero, a un tetto orizzontale fisso o crescerà in modo lineare a causa di problemi di saturazione logistica?\nb) Calcola: Determina formalmente tutti i rami infiniti della funzione (asintoti verticali, orizzontali e obliqui) per $x > 0$, calcolando i limiti necessari.\nc) Verifica e valuta: Confronta i risultati analitici con le tue stime preliminari. A partire dall'equazione dell'asintoto ottenuta, interpreta che cosa rappresenta economicamente ciascuno dei suoi termini quando il volume di spedizioni è molto elevato.

Una società di consulenza economica definisce l'indice di fattibilità $V(x)$ di un progetto di investimento in funzione dell'indice di rischio di mercato $x \in \mathbb{R}$ mediante la seguente funzione definita a tratti:\n$$V(x) = \begin{cases} \dfrac{a x^2 + 4x - 1}{x - 3} & \text{se } x < 2 \\[2ex] \dfrac{b x + 5}{x - 1} & \text{se } x \ge 2 \end{cases}$$\n\na) Un analista afferma frettolosamente: «La funzione ha due asintoti verticali: le rette $x = 3$ e $x = 1$, perché sono i valori che annullano i denominatori». Giustifica in modo rigoroso perché l'analista commette un grave errore concettuale ignorando i domini di definizione di ciascun tratto.\nb) Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che:\n - Quando il rischio cresce illimitatamente ($x \to +\infty$), l'indice di fattibilità tende a stabilizzarsi sul valore $3$.\n - All'estremo opposto ($x \to -\infty$), la funzione presenta un asintoto obliquo il cui coefficiente angolare è $m = -2$.\nc) Per i valori di $a$ e $b$ trovati, calcola l'equazione completa di tale asintoto obliquo ($y = mx + n$) e studia se la funzione presenta qualche discontinuità nel punto di raccordo $x = 2$, classificando il tipo di discontinuità se presente.